Calcolo Esempi

$f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ rispetto a $θ$ è $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $2 \cos (θ)$ rispetto a $θ$ è $2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\cos (θ)$ rispetto a $θ$ è $- \sin (θ)$ .

$2 (- \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

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Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ è $f' (g (θ)) g' (θ)$ dove $f (θ) = θ^{2}$ e $g (θ) = \cos (θ)$ .

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Passaggio 1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Passaggio 1.3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 u \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Passaggio 1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Passaggio 1.3.2

La derivata di $\cos (θ)$ rispetto a $θ$ è $- \sin (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) (- \sin (θ))$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \sin (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Passaggio 1.4

Riordina i termini.

$f' (θ) = - 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ rispetto a $θ$ è $\frac{d}{d θ} [- 2 \cos (θ) \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [- 2 \cos (θ) \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d θ} [- 2 \cos (θ) \sin (θ)]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ rispetto a $θ$ è $- 2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ) \sin (θ)]$ .

$- 2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ) \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ è $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ dove $f (θ) = \cos (θ)$ e $g (θ) = \sin (θ)$ .

$- 2 (\cos (θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)] + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Passaggio 2.2.3

La derivata di $\sin (θ)$ rispetto a $θ$ è $\cos (θ)$ .

$- 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Passaggio 2.2.4

La derivata di $\cos (θ)$ rispetto a $θ$ è $- \sin (θ)$ .

$- 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Passaggio 2.2.5

Eleva $\cos (θ)$ alla potenza di $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Passaggio 2.2.6

Eleva $\cos (θ)$ alla potenza di $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Passaggio 2.2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 2 ({\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Passaggio 2.2.8

Somma $1$ e $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Passaggio 2.2.9

Eleva $\sin (θ)$ alla potenza di $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Passaggio 2.2.10

Eleva $\sin (θ)$ alla potenza di $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ))) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Passaggio 2.2.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 2 (\cos^{2} (θ) - {\sin (θ)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Passaggio 2.2.12

Somma $1$ e $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $- 2 \sin (θ)$ rispetto a $θ$ è $- 2 \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) - 2 \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\sin (θ)$ rispetto a $θ$ è $\cos (θ)$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) - 2 \cos (θ)$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 \cos^{2} (θ) - 2 (- \sin^{2} (θ)) - 2 \cos (θ)$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f'' (θ) = - 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ)$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (θ)$ rispetto a $θ$ è $- 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ)$ .

$- 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ)$