Calcolo Esempi

$y = \sin (x) + \tan (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (x) + \tan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 1.3

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) + \sec^{2} (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cos (x) + \sec^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

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Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (x)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sec (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 2.3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sec (x)$ .

$- \sin (x) + 2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$- \sin (x) + 2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))$

Passaggio 2.3.3

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$- \sin (x) + 2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)$

Passaggio 2.3.4

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$- \sin (x) + 2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)$

Passaggio 2.3.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \sin (x) + 2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)$

Passaggio 2.3.6

Somma $1$ e $1$ .

$- \sin (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Riordina i termini.

$2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)$

Passaggio 2.4.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.4.2.1

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x) - \sin (x)$

Passaggio 2.4.2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \sin (x)$

Passaggio 2.4.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \sin (x)$

Passaggio 2.4.2.4

$2$ e $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \sin (x)$

Passaggio 2.4.2.5

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x)$

Passaggio 2.4.2.6

Combina.

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)} - \sin (x)$

Passaggio 2.4.2.7

Moltiplica $\cos^{2} (x)$ per $\cos (x)$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.4.2.7.1

Moltiplica $\cos^{2} (x)$ per $\cos (x)$ .

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Passaggio 2.4.2.7.1.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)} - \sin (x)$

Passaggio 2.4.2.7.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}} - \sin (x)$

Passaggio 2.4.2.7.2

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} - \sin (x)$

Passaggio 2.4.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.4.3.1

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos^{3} (x)$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)} - \sin (x)$

Passaggio 2.4.3.2

Frazioni separate.

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x)$

Passaggio 2.4.3.3

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \sin (x)$

Passaggio 2.4.3.4

Moltiplica per $1$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (x) \cdot 1} \tan (x) - \sin (x)$

Passaggio 2.4.3.5

Frazioni separate.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \sin (x)$

Passaggio 2.4.3.6

Converti da $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ a $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{2}{1} \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)$

Passaggio 2.4.3.7

Dividi $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)$