Calcolo Esempi

$g' (x) = (2 x + 3) (5 x - 7)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 2 x + 3$ e $g (x) = 5 x - 7$ .

$(2 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x - 7] + (5 x - 7) \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x - 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$(2 x + 3) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) + (5 x - 7) \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 x + 3) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) + (5 x - 7) \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(2 x + 3) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) + (5 x - 7) \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$(2 x + 3) (5 + \frac{d}{d x} [- 7]) + (5 x - 7) \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Passaggio 1.2.5

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(2 x + 3) (5 + 0) + (5 x - 7) \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Passaggio 1.2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.2.6.1

Somma $5$ e $0$ .

$(2 x + 3) \cdot 5 + (5 x - 7) \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Passaggio 1.2.6.2

Sposta $5$ alla sinistra di $2 x + 3$ .

$5 \cdot (2 x + 3) + (5 x - 7) \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Passaggio 1.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$5 (2 x + 3) + (5 x - 7) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 1.2.8

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (2 x + 3) + (5 x - 7) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 1.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 (2 x + 3) + (5 x - 7) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 1.2.10

Moltiplica $2$ per $1$ .

$5 (2 x + 3) + (5 x - 7) (2 + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 1.2.11

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 (2 x + 3) + (5 x - 7) (2 + 0)$

Passaggio 1.2.12

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.2.12.1

Somma $2$ e $0$ .

$5 (2 x + 3) + (5 x - 7) \cdot 2$

Passaggio 1.2.12.2

Sposta $2$ alla sinistra di $5 x - 7$ .

$5 (2 x + 3) + 2 \cdot (5 x - 7)$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 (2 x) + 5 \cdot 3 + 2 (5 x - 7)$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$5 (2 x) + 5 \cdot 3 + 2 (5 x) + 2 \cdot - 7$

Passaggio 1.3.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.3.3.1

Moltiplica $2$ per $5$ .

$10 x + 5 \cdot 3 + 2 (5 x) + 2 \cdot - 7$

Passaggio 1.3.3.2

Moltiplica $5$ per $3$ .

$10 x + 15 + 2 (5 x) + 2 \cdot - 7$

Passaggio 1.3.3.3

Moltiplica $5$ per $2$ .

$10 x + 15 + 10 x + 2 \cdot - 7$

Passaggio 1.3.3.4

Moltiplica $2$ per $- 7$ .

$10 x + 15 + 10 x - 14$

Passaggio 1.3.3.5

Somma $10 x$ e $10 x$ .

$20 x + 15 - 14$

Passaggio 1.3.3.6

Sottrai $14$ da $15$ .

$f' (x) = 20 x + 1$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $20 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [20 x]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $20 x$ rispetto a $x$ è $20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $20$ per $1$ .

$20 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$20 + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $20$ e $0$ .

$f'' (x) = 20$

Passaggio 3

La derivata seconda di $g' (x)$ rispetto a $x$ è $20$ .

$20$