Calcolo Esempi

$f (θ) = \sec^{2} (4 θ)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ è $f' (g (θ)) g' (θ)$ dove $f (θ) = θ^{2}$ e $g (θ) = \sec (4 θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sec (4 θ)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\sec (4 θ)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d θ} [\sec (4 θ)]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sec (4 θ)$ .

$2 \sec (4 θ) \frac{d}{d θ} [\sec (4 θ)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ è $f' (g (θ)) g' (θ)$ dove $f (θ) = \sec (θ)$ e $g (θ) = 4 θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $4 θ$ .

$2 \sec (4 θ) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d θ} [4 θ])$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\sec (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$2 \sec (4 θ) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d θ} [4 θ])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $4 θ$ .

$2 \sec (4 θ) (\sec (4 θ) \tan (4 θ) \frac{d}{d θ} [4 θ])$

Passaggio 1.3

Eleva $\sec (4 θ)$ alla potenza di $1$ .

$2 (\sec^{1} (4 θ) \sec (4 θ)) (\tan (4 θ) \frac{d}{d θ} [4 θ])$

Passaggio 1.4

Eleva $\sec (4 θ)$ alla potenza di $1$ .

$2 (\sec^{1} (4 θ) \sec^{1} (4 θ)) (\tan (4 θ) \frac{d}{d θ} [4 θ])$

Passaggio 1.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 {\sec (4 θ)}^{1 + 1} (\tan (4 θ) \frac{d}{d θ} [4 θ])$

Passaggio 1.6

Somma $1$ e $1$ .

$2 \sec^{2} (4 θ) (\tan (4 θ) \frac{d}{d θ} [4 θ])$

Passaggio 1.7

Poiché $4$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $4 θ$ rispetto a $θ$ è $4 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$2 \sec^{2} (4 θ) \tan (4 θ) (4 \frac{d}{d θ} [θ])$

Passaggio 1.8

Moltiplica $4$ per $2$ .

$8 \sec^{2} (4 θ) \tan (4 θ) \frac{d}{d θ} [θ]$

Passaggio 1.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ è $n θ^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 \sec^{2} (4 θ) \tan (4 θ) \cdot 1$

Passaggio 1.10

Moltiplica $8$ per $1$ .

$f' (θ) = 8 \sec^{2} (4 θ) \tan (4 θ)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $8 \sec^{2} (4 θ) \tan (4 θ)$ rispetto a $θ$ è $8 \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (4 θ) \tan (4 θ)]$ .

$8 \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (4 θ) \tan (4 θ)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ è $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ dove $f (θ) = \sec^{2} (4 θ)$ e $g (θ) = \tan (4 θ)$ .

$8 (\sec^{2} (4 θ) \frac{d}{d θ} [\tan (4 θ)] + \tan (4 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (4 θ)])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ è $f' (g (θ)) g' (θ)$ dove $f (θ) = \tan (θ)$ e $g (θ) = 4 θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $4 θ$ .

$8 (\sec^{2} (4 θ) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d θ} [4 θ]) + \tan (4 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (4 θ)])$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\tan (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\sec^{2} (u_{1})$ .

$8 (\sec^{2} (4 θ) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d θ} [4 θ]) + \tan (4 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (4 θ)])$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $4 θ$ .

$8 (\sec^{2} (4 θ) (\sec^{2} (4 θ) \frac{d}{d θ} [4 θ]) + \tan (4 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (4 θ)])$

Passaggio 2.4

Moltiplica $\sec^{2} (4 θ)$ per $\sec^{2} (4 θ)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Sposta $\sec^{2} (4 θ)$ .

$8 (\sec^{2} (4 θ) \sec^{2} (4 θ) \frac{d}{d θ} [4 θ] + \tan (4 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (4 θ)])$

Passaggio 2.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 ({\sec (4 θ)}^{2 + 2} \frac{d}{d θ} [4 θ] + \tan (4 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (4 θ)])$

Passaggio 2.4.3

Somma $2$ e $2$ .

$8 (\sec^{4} (4 θ) \frac{d}{d θ} [4 θ] + \tan (4 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (4 θ)])$

Passaggio 2.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $4 θ$ rispetto a $θ$ è $4 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$8 (\sec^{4} (4 θ) (4 \frac{d}{d θ} [θ]) + \tan (4 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (4 θ)])$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ è $n θ^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 (\sec^{4} (4 θ) (4 \cdot 1) + \tan (4 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (4 θ)])$

Passaggio 2.5.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$8 (\sec^{4} (4 θ) \cdot 4 + \tan (4 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (4 θ)])$

Passaggio 2.5.3.2

Sposta $4$ alla sinistra di $\sec^{4} (4 θ)$ .

$8 (4 \cdot \sec^{4} (4 θ) + \tan (4 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (4 θ)])$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ è $f' (g (θ)) g' (θ)$ dove $f (θ) = θ^{2}$ e $g (θ) = \sec (4 θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\sec (4 θ)$ .

$8 (4 \sec^{4} (4 θ) + \tan (4 θ) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\sec (4 θ)]))$

Passaggio 2.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$8 (4 \sec^{4} (4 θ) + \tan (4 θ) (2 u_{2} \frac{d}{d θ} [\sec (4 θ)]))$

Passaggio 2.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sec (4 θ)$ .

$8 (4 \sec^{4} (4 θ) + \tan (4 θ) (2 \sec (4 θ) \frac{d}{d θ} [\sec (4 θ)]))$

Passaggio 2.7

Sposta $2$ alla sinistra di $\tan (4 θ)$ .

$8 (4 \sec^{4} (4 θ) + 2 \cdot \tan (4 θ) \sec (4 θ) \frac{d}{d θ} [\sec (4 θ)])$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ è $f' (g (θ)) g' (θ)$ dove $f (θ) = \sec (θ)$ e $g (θ) = 4 θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $4 θ$ .

$8 (4 \sec^{4} (4 θ) + 2 \tan (4 θ) \sec (4 θ) (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d θ} [4 θ]))$

Passaggio 2.8.2

La derivata di $\sec (u_{3})$ rispetto a $u_{3}$ è $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ .

$8 (4 \sec^{4} (4 θ) + 2 \tan (4 θ) \sec (4 θ) (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d θ} [4 θ]))$

Passaggio 2.8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $4 θ$ .

$8 (4 \sec^{4} (4 θ) + 2 \tan (4 θ) \sec (4 θ) (\sec (4 θ) \tan (4 θ) \frac{d}{d θ} [4 θ]))$

Passaggio 2.9

Eleva $\tan (4 θ)$ alla potenza di $1$ .

$8 (4 \sec^{4} (4 θ) + 2 (\tan^{1} (4 θ) \tan (4 θ)) \sec (4 θ) (\sec (4 θ) \frac{d}{d θ} [4 θ]))$

Passaggio 2.10

Eleva $\tan (4 θ)$ alla potenza di $1$ .

$8 (4 \sec^{4} (4 θ) + 2 (\tan^{1} (4 θ) \tan^{1} (4 θ)) \sec (4 θ) (\sec (4 θ) \frac{d}{d θ} [4 θ]))$

Passaggio 2.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 (4 \sec^{4} (4 θ) + 2 {\tan (4 θ)}^{1 + 1} \sec (4 θ) (\sec (4 θ) \frac{d}{d θ} [4 θ]))$

Passaggio 2.12

Somma $1$ e $1$ .

$8 (4 \sec^{4} (4 θ) + 2 \tan^{2} (4 θ) \sec (4 θ) (\sec (4 θ) \frac{d}{d θ} [4 θ]))$

Passaggio 2.13

Eleva $\sec (4 θ)$ alla potenza di $1$ .

$8 (4 \sec^{4} (4 θ) + 2 \tan^{2} (4 θ) (\sec^{1} (4 θ) \sec (4 θ)) \frac{d}{d θ} [4 θ])$

Passaggio 2.14

Eleva $\sec (4 θ)$ alla potenza di $1$ .

$8 (4 \sec^{4} (4 θ) + 2 \tan^{2} (4 θ) (\sec^{1} (4 θ) \sec^{1} (4 θ)) \frac{d}{d θ} [4 θ])$

Passaggio 2.15

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 (4 \sec^{4} (4 θ) + 2 \tan^{2} (4 θ) {\sec (4 θ)}^{1 + 1} \frac{d}{d θ} [4 θ])$

Passaggio 2.16

Somma $1$ e $1$ .

$8 (4 \sec^{4} (4 θ) + 2 \tan^{2} (4 θ) \sec^{2} (4 θ) \frac{d}{d θ} [4 θ])$

Passaggio 2.17

Poiché $4$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $4 θ$ rispetto a $θ$ è $4 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$8 (4 \sec^{4} (4 θ) + 2 \tan^{2} (4 θ) \sec^{2} (4 θ) (4 \frac{d}{d θ} [θ]))$

Passaggio 2.18

Moltiplica $4$ per $2$ .

$8 (4 \sec^{4} (4 θ) + 8 \tan^{2} (4 θ) \sec^{2} (4 θ) \frac{d}{d θ} [θ])$

Passaggio 2.19

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ è $n θ^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 (4 \sec^{4} (4 θ) + 8 \tan^{2} (4 θ) \sec^{2} (4 θ) \cdot 1)$

Passaggio 2.20

Moltiplica $8$ per $1$ .

$8 (4 \sec^{4} (4 θ) + 8 \tan^{2} (4 θ) \sec^{2} (4 θ))$

Passaggio 2.21

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.1

Applica la proprietà distributiva.

$8 (4 \sec^{4} (4 θ)) + 8 (8 \tan^{2} (4 θ) \sec^{2} (4 θ))$

Passaggio 2.21.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.2.1

Moltiplica $4$ per $8$ .

$32 \sec^{4} (4 θ) + 8 (8 \tan^{2} (4 θ) \sec^{2} (4 θ))$

Passaggio 2.21.2.2

Moltiplica $8$ per $8$ .

$32 \sec^{4} (4 θ) + 64 \tan^{2} (4 θ) \sec^{2} (4 θ)$

Passaggio 2.21.3

Riordina i termini.

$f'' (θ) = 64 \sec^{2} (4 θ) \tan^{2} (4 θ) + 32 \sec^{4} (4 θ)$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (θ)$ rispetto a $θ$ è $64 \sec^{2} (4 θ) \tan^{2} (4 θ) + 32 \sec^{4} (4 θ)$ .

$64 \sec^{2} (4 θ) \tan^{2} (4 θ) + 32 \sec^{4} (4 θ)$