Calcolo Esempi

$w = 3 z^{- z} - \frac{1}{z}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 z^{- z} - \frac{1}{z}$ rispetto a $z$ è $\frac{d}{d z} [3 z^{- z}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$ .

$\frac{d}{d z} [3 z^{- z}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d z} [3 z^{- z}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $3 z^{- z}$ rispetto a $z$ è $3 \frac{d}{d z} [z^{- z}]$ .

$3 \frac{d}{d z} [z^{- z}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Passaggio 1.2.2

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare la differenziazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Riscrivi $z^{- z}$ come $e^{\ln (z^{- z})}$ .

$3 \frac{d}{d z} [e^{\ln (z^{- z})}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Passaggio 1.2.2.2

Espandi $\ln (z^{- z})$ spostando $- z$ fuori dal logaritmo.

$3 \frac{d}{d z} [e^{- z \ln (z)}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ è $f' (g (z)) g' (z)$ dove $f (z) = e^{z}$ e $g (z) = - z \ln (z)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- z \ln (z)$ .

$3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d z} [- z \ln (z)]) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$3 (e^{u} \frac{d}{d z} [- z \ln (z)]) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Passaggio 1.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- z \ln (z)$ .

$3 (e^{- z \ln (z)} \frac{d}{d z} [- z \ln (z)]) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Passaggio 1.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $- z \ln (z)$ rispetto a $z$ è $- \frac{d}{d z} [z \ln (z)]$ .

$3 (e^{- z \ln (z)} (- \frac{d}{d z} [z \ln (z)])) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Passaggio 1.2.5

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ è $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ dove $f (z) = z$ e $g (z) = \ln (z)$ .

$3 (e^{- z \ln (z)} (- (z \frac{d}{d z} [\ln (z)] + \ln (z) \frac{d}{d z} [z]))) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Passaggio 1.2.6

La derivata di $\ln (z)$ rispetto a $z$ è $\frac{1}{z}$ .

$3 (e^{- z \ln (z)} (- (z \frac{1}{z} + \ln (z) \frac{d}{d z} [z]))) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Passaggio 1.2.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 (e^{- z \ln (z)} (- (z \frac{1}{z} + \ln (z) \cdot 1))) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Passaggio 1.2.8

$z$ e $\frac{1}{z}$ .

$3 (e^{- z \ln (z)} (- (\frac{z}{z} + \ln (z) \cdot 1))) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Passaggio 1.2.9

Elimina il fattore comune di $z$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1

Elimina il fattore comune.

$3 (e^{- z \ln (z)} (- (\frac{z}{z} + \ln (z) \cdot 1))) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Passaggio 1.2.9.2

Riscrivi l'espressione.

$3 (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z) \cdot 1))) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Passaggio 1.2.10

Moltiplica $\ln (z)$ per $1$ .

$3 (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Passaggio 1.2.11

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z)) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ è $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ dove $f (z) = - 1$ e $g (z) = \frac{1}{z}$ .

$- 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z)) - \frac{d}{d z} [\frac{1}{z}] + \frac{1}{z} \frac{d}{d z} [- 1]$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi $\frac{1}{z}$ come $z^{- 1}$ .

$- 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z)) - \frac{d}{d z} [z^{- 1}] + \frac{1}{z} \frac{d}{d z} [- 1]$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z)) - - z^{- 2} + \frac{1}{z} \frac{d}{d z} [- 1]$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $z$ è $0$ .

$- 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z)) - - z^{- 2} + \frac{1}{z} \cdot 0$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z)) + 1 z^{- 2} + \frac{1}{z} \cdot 0$

Passaggio 1.3.6

Moltiplica $z^{- 2}$ per $1$ .

$- 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z)) + z^{- 2} + \frac{1}{z} \cdot 0$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $\frac{1}{z}$ per $0$ .

$- 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z)) + z^{- 2} + 0$

Passaggio 1.3.8

Somma $z^{- 2}$ e $0$ .

$- 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z)) + z^{- 2}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 - 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z) + z^{- 2}$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 3 e^{- z \ln (z)} - 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z) + z^{- 2}$

Passaggio 1.4.3

Riordina i termini.

$f' (z) = - 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z) + z^{- 2} - 3 e^{- z \ln (z)}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z) + z^{- 2} - 3 e^{- z \ln (z)}$ rispetto a $z$ è $\frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)] + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$ .

$\frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)] + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $- 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$ rispetto a $z$ è $- 3 \frac{d}{d z} [e^{- z \ln (z)} \ln (z)]$ .

$- 3 \frac{d}{d z} [e^{- z \ln (z)} \ln (z)] + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ è $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ dove $f (z) = e^{- z \ln (z)}$ e $g (z) = \ln (z)$ .

$- 3 (e^{- z \ln (z)} \frac{d}{d z} [\ln (z)] + \ln (z) \frac{d}{d z} [e^{- z \ln (z)}]) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Passaggio 2.2.3

La derivata di $\ln (z)$ rispetto a $z$ è $\frac{1}{z}$ .

$- 3 (e^{- z \ln (z)} \frac{1}{z} + \ln (z) \frac{d}{d z} [e^{- z \ln (z)}]) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ è $f' (g (z)) g' (z)$ dove $f (z) = e^{z}$ e $g (z) = - z \ln (z)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- z \ln (z)$ .

$- 3 (e^{- z \ln (z)} \frac{1}{z} + \ln (z) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d z} [- z \ln (z)])) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Passaggio 2.2.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- 3 (e^{- z \ln (z)} \frac{1}{z} + \ln (z) (e^{u_{1}} \frac{d}{d z} [- z \ln (z)])) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Passaggio 2.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- z \ln (z)$ .

$- 3 (e^{- z \ln (z)} \frac{1}{z} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} \frac{d}{d z} [- z \ln (z)])) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Passaggio 2.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $- z \ln (z)$ rispetto a $z$ è $- \frac{d}{d z} [z \ln (z)]$ .

$- 3 (e^{- z \ln (z)} \frac{1}{z} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- \frac{d}{d z} [z \ln (z)]))) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Passaggio 2.2.6

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ è $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ dove $f (z) = z$ e $g (z) = \ln (z)$ .

$- 3 (e^{- z \ln (z)} \frac{1}{z} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (z \frac{d}{d z} [\ln (z)] + \ln (z) \frac{d}{d z} [z])))) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Passaggio 2.2.7

La derivata di $\ln (z)$ rispetto a $z$ è $\frac{1}{z}$ .

$- 3 (e^{- z \ln (z)} \frac{1}{z} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (z \frac{1}{z} + \ln (z) \frac{d}{d z} [z])))) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Passaggio 2.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 (e^{- z \ln (z)} \frac{1}{z} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (z \frac{1}{z} + \ln (z) \cdot 1)))) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Passaggio 2.2.9

$e^{- z \ln (z)}$ e $\frac{1}{z}$ .

$- 3 (\frac{e^{- z \ln (z)}}{z} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (z \frac{1}{z} + \ln (z) \cdot 1)))) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Passaggio 2.2.10

$z$ e $\frac{1}{z}$ .

$- 3 (\frac{e^{- z \ln (z)}}{z} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (\frac{z}{z} + \ln (z) \cdot 1)))) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Passaggio 2.2.11

Elimina il fattore comune di $z$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.11.1

Elimina il fattore comune.

$- 3 (\frac{e^{- z \ln (z)}}{z} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (\frac{z}{z} + \ln (z) \cdot 1)))) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Passaggio 2.2.11.2

Riscrivi l'espressione.

$- 3 (\frac{e^{- z \ln (z)}}{z} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z) \cdot 1)))) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Passaggio 2.2.12

Moltiplica $\ln (z)$ per $1$ .

$- 3 (\frac{e^{- z \ln (z)}}{z} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z))))) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Passaggio 2.2.13

Per scrivere $\ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z))))$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{z}{z}$ .

$- 3 (\frac{e^{- z \ln (z)}}{z} + \frac{\ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z}{z}) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Passaggio 2.2.14

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 3 \frac{e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z}{z} + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Passaggio 2.2.15

$- 3$ e $\frac{e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z}{z}$ .

$\frac{- 3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Passaggio 2.2.16

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $- 3 e^{- z \ln (z)}$ rispetto a $z$ è $- 3 \frac{d}{d z} [e^{- z \ln (z)}]$ .

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} - 3 \frac{d}{d z} [e^{- z \ln (z)}]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ è $f' (g (z)) g' (z)$ dove $f (z) = e^{z}$ e $g (z) = - z \ln (z)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- z \ln (z)$ .

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} - 3 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d z} [- z \ln (z)])$

Passaggio 2.4.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} - 3 (e^{u_{2}} \frac{d}{d z} [- z \ln (z)])$

Passaggio 2.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- z \ln (z)$ .

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} - 3 (e^{- z \ln (z)} \frac{d}{d z} [- z \ln (z)])$

Passaggio 2.4.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $- z \ln (z)$ rispetto a $z$ è $- \frac{d}{d z} [z \ln (z)]$ .

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} - 3 (e^{- z \ln (z)} (- \frac{d}{d z} [z \ln (z)]))$

Passaggio 2.4.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ è $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ dove $f (z) = z$ e $g (z) = \ln (z)$ .

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} - 3 (e^{- z \ln (z)} (- (z \frac{d}{d z} [\ln (z)] + \ln (z) \frac{d}{d z} [z])))$

Passaggio 2.4.5

La derivata di $\ln (z)$ rispetto a $z$ è $\frac{1}{z}$ .

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} - 3 (e^{- z \ln (z)} (- (z \frac{1}{z} + \ln (z) \frac{d}{d z} [z])))$

Passaggio 2.4.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} - 3 (e^{- z \ln (z)} (- (z \frac{1}{z} + \ln (z) \cdot 1)))$

Passaggio 2.4.7

$z$ e $\frac{1}{z}$ .

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} - 3 (e^{- z \ln (z)} (- (\frac{z}{z} + \ln (z) \cdot 1)))$

Passaggio 2.4.8

Elimina il fattore comune di $z$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.8.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} - 3 (e^{- z \ln (z)} (- (\frac{z}{z} + \ln (z) \cdot 1)))$

Passaggio 2.4.8.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} - 3 (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z) \cdot 1)))$

Passaggio 2.4.9

Moltiplica $\ln (z)$ per $1$ .

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} - 3 (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z))))$

Passaggio 2.4.10

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z))$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- 1 \cdot 1 - \ln (z))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z))$

Passaggio 2.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- 1 \cdot 1) + e^{- z \ln (z)} (- \ln (z))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z))$

Passaggio 2.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + (\ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- 1 \cdot 1)) + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z))$

Passaggio 2.5.4

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- 1 \cdot 1)) z + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- \ln (z))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z))$

Passaggio 2.5.5

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{3 e^{- z \ln (z)} + 3 (\ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- 1 \cdot 1)) z) + 3 (\ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- \ln (z))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z))$

Passaggio 2.5.6

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{3 e^{- z \ln (z)} + 3 (\ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- 1 \cdot 1)) z) + 3 (\ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- \ln (z))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

Passaggio 2.5.7

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.7.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{3 e^{- z \ln (z)} + 3 (\ln (z) (e^{- z \ln (z)} \cdot - 1) z) + 3 (\ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- \ln (z))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

Passaggio 2.5.7.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- z \ln (z)}$ .

$- \frac{3 e^{- z \ln (z)} + 3 (\ln (z) (- 1 \cdot e^{- z \ln (z)}) z) + 3 (\ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- \ln (z))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

Passaggio 2.5.7.3

Riscrivi $- 1 e^{- z \ln (z)}$ come $- e^{- z \ln (z)}$ .

$- \frac{3 e^{- z \ln (z)} + 3 (\ln (z) (- e^{- z \ln (z)}) z) + 3 (\ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- \ln (z))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

Passaggio 2.5.7.4

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- \frac{3 e^{- z \ln (z)} - 3 (\ln (z) (e^{- z \ln (z)}) z) + 3 (\ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- \ln (z))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

Passaggio 2.5.7.5

Eleva $\ln (z)$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{3 e^{- z \ln (z)} - 3 \ln (z) e^{- z \ln (z)} z + 3 (e^{- z \ln (z)} (- (\ln^{1} (z) \ln (z))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

Passaggio 2.5.7.6

Eleva $\ln (z)$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{3 e^{- z \ln (z)} - 3 \ln (z) e^{- z \ln (z)} z + 3 (e^{- z \ln (z)} (- (\ln^{1} (z) \ln^{1} (z))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

Passaggio 2.5.7.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{3 e^{- z \ln (z)} - 3 \ln (z) e^{- z \ln (z)} z + 3 (e^{- z \ln (z)} (- {\ln (z)}^{1 + 1}) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

Passaggio 2.5.7.8

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{3 e^{- z \ln (z)} - 3 \ln (z) e^{- z \ln (z)} z + 3 (e^{- z \ln (z)} (- \ln^{2} (z)) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

Passaggio 2.5.7.9

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- \frac{3 e^{- z \ln (z)} - 3 \ln (z) e^{- z \ln (z)} z - 3 (e^{- z \ln (z)} (\ln^{2} (z)) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

Passaggio 2.5.7.10

Per scrivere $- 2 z^{- 3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{z}{z}$ .

$- \frac{3 e^{- z \ln (z)} - 3 \ln (z) e^{- z \ln (z)} z - 3 e^{- z \ln (z)} \ln^{2} (z) z}{z} - 2 z^{- 3} \cdot \frac{z}{z} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

Passaggio 2.5.7.11

$- 2 z^{- 3}$ e $\frac{z}{z}$ .

$- \frac{3 e^{- z \ln (z)} - 3 \ln (z) e^{- z \ln (z)} z - 3 e^{- z \ln (z)} \ln^{2} (z) z}{z} + \frac{- 2 z^{- 3} z}{z} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

Passaggio 2.5.7.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- (3 e^{- z \ln (z)} - 3 \ln (z) e^{- z \ln (z)} z - 3 e^{- z \ln (z)} \ln^{2} (z) z) - 2 z^{- 3} z}{z} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

Passaggio 2.5.7.13

Eleva $z$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- (3 e^{- z \ln (z)} - 3 \ln (z) e^{- z \ln (z)} z - 3 e^{- z \ln (z)} \ln^{2} (z) z) - 2 (z^{1} z^{- 3})}{z} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

Passaggio 2.5.7.14

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- (3 e^{- z \ln (z)} - 3 \ln (z) e^{- z \ln (z)} z - 3 e^{- z \ln (z)} \ln^{2} (z) z) - 2 z^{1 - 3}}{z} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

Passaggio 2.5.7.15

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{- (3 e^{- z \ln (z)} - 3 \ln (z) e^{- z \ln (z)} z - 3 e^{- z \ln (z)} \ln^{2} (z) z) - 2 z^{- 2}}{z} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

Passaggio 2.5.7.16

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{- (3 e^{- z \ln (z)} - 3 \ln (z) e^{- z \ln (z)} z - 3 e^{- z \ln (z)} \ln^{2} (z) z) - 2 z^{- 2}}{z} + 3 e^{- z \ln (z)} + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

Passaggio 2.5.8

Riordina i termini.

$f'' (z) = 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z) + \frac{- (3 e^{- z \ln (z)} - 3 \ln (z) e^{- z \ln (z)} z - 3 e^{- z \ln (z)} \ln^{2} (z) z) - 2 z^{- 2}}{z} + 3 e^{- z \ln (z)}$