Calcolo Esempi

$y = \tan (2 x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\tan (u)$ rispetto a $u$ è $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)$

Passaggio 1.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\sec^{2} (2 x) \cdot 2$

Passaggio 1.2.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec^{2} (2 x)$ .

$f' (x) = 2 \sec^{2} (2 x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \sec^{2} (2 x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sec (2 x)$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sec (2 x)$ .

$2 (2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Passaggio 2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$4 \sec (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.4.2

La derivata di $\sec (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$4 \sec (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$4 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.5

Eleva $\sec (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$4 (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.6

Eleva $\sec (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$4 (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 {\sec (2 x)}^{1 + 1} (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.8

Somma $1$ e $1$ .

$4 \sec^{2} (2 x) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.9

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.10

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) \cdot 1$

Passaggio 2.12

Moltiplica $8$ per $1$ .

$f'' (x) = 8 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

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Passaggio 3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x) \tan (2 x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x) \tan (2 x)]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sec^{2} (2 x)$ e $g (x) = \tan (2 x)$ .

$8 (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$8 (\sec^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Passaggio 3.3.2

La derivata di $\tan (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\sec^{2} (u_{1})$ .

$8 (\sec^{2} (2 x) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$8 (\sec^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Passaggio 3.4

Moltiplica $\sec^{2} (2 x)$ per $\sec^{2} (2 x)$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.1

Sposta $\sec^{2} (2 x)$ .

$8 (\sec^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Passaggio 3.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 ({\sec (2 x)}^{2 + 2} \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Passaggio 3.4.3

Somma $2$ e $2$ .

$8 (\sec^{4} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Passaggio 3.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (\sec^{4} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Passaggio 3.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 (\sec^{4} (2 x) (2 \cdot 1) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Passaggio 3.5.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$8 (\sec^{4} (2 x) \cdot 2 + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Passaggio 3.5.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec^{4} (2 x)$ .

$8 (2 \cdot \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\sec (2 x)$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]))$

Passaggio 3.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]))$

Passaggio 3.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sec (2 x)$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) (2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]))$

Passaggio 3.7

Sposta $2$ alla sinistra di $\tan (2 x)$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \cdot \tan (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $2 x$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x]))$

Passaggio 3.8.2

La derivata di $\sec (u_{3})$ rispetto a $u_{3}$ è $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Passaggio 3.8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $2 x$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Passaggio 3.9

Eleva $\tan (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 (\tan^{1} (2 x) \tan (2 x)) \sec (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Passaggio 3.10

Eleva $\tan (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 (\tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x)) \sec (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Passaggio 3.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 {\tan (2 x)}^{1 + 1} \sec (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Passaggio 3.12

Somma $1$ e $1$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Passaggio 3.13

Eleva $\sec (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 3.14

Eleva $\sec (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 3.15

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) {\sec (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 3.16

Somma $1$ e $1$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 3.17

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 3.18

Moltiplica $2$ per $2$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.19

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \cdot 1)$

Passaggio 3.20

Moltiplica $4$ per $1$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))$

Passaggio 3.21

Semplifica.

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Passaggio 3.21.1

Applica la proprietà distributiva.

$8 (2 \sec^{4} (2 x)) + 8 (4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))$

Passaggio 3.21.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.21.2.1

Moltiplica $2$ per $8$ .

$16 \sec^{4} (2 x) + 8 (4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))$

Passaggio 3.21.2.2

Moltiplica $4$ per $8$ .

$16 \sec^{4} (2 x) + 32 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x)$

Passaggio 3.21.3

Riordina i termini.

$f''' (x) = 32 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 16 \sec^{4} (2 x)$