Calcolo Esempi

$y = 9 x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + d$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [a x^{3}] + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [a x^{3}] + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [9 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{4}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [a x^{3}] + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$9 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [a x^{3}] + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $4$ per $9$ .

$36 x^{3} + \frac{d}{d x} [a x^{3}] + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [a x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a x^{3}$ rispetto a $x$ è $a \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$36 x^{3} + a \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$36 x^{3} + a (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Passaggio 1.3.3

Sposta $3$ alla sinistra di $a$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [b x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $b$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $b x^{2}$ rispetto a $x$ è $b \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + b \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + b (2 x) + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Passaggio 1.4.3

Sposta $2$ alla sinistra di $b$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Passaggio 1.5

Calcola $\frac{d}{d x} [c x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Poiché $c$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $c x$ rispetto a $x$ è $c \frac{d}{d x} [x]$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + c \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [d]$

Passaggio 1.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + c \cdot 1 + \frac{d}{d x} [d]$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $c$ per $1$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + c + \frac{d}{d x} [d]$

Passaggio 1.6

Poiché $d$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $d$ rispetto a $x$ è $0$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + c + 0$

Passaggio 1.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Somma $36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + c$ e $0$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + c$

Passaggio 1.7.2

Riordina i termini.

$f' (x) = 36 x^{3} + c + 3 x^{2} a + 2 b x$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $36 x^{3} + c + 3 x^{2} a + 2 b x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [36 x^{3}] + \frac{d}{d x} [c] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [2 b x]$ .

$\frac{d}{d x} [36 x^{3}] + \frac{d}{d x} [c] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [2 b x]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [36 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $36 x^{3}$ rispetto a $x$ è $36 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$36 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [c] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [2 b x]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$36 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [c] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [2 b x]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $36$ .

$108 x^{2} + \frac{d}{d x} [c] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [2 b x]$

Passaggio 2.3

Poiché $c$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $c$ rispetto a $x$ è $0$ .

$108 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [2 b x]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2} a]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $3 a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2} a$ rispetto a $x$ è $3 a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$108 x^{2} + 0 + 3 a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 b x]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$108 x^{2} + 0 + 3 a (2 x) + \frac{d}{d x} [2 b x]$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$108 x^{2} + 0 + 6 a x + \frac{d}{d x} [2 b x]$

Passaggio 2.5

Calcola $\frac{d}{d x} [2 b x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Poiché $2 b$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 b x$ rispetto a $x$ è $2 b \frac{d}{d x} [x]$ .

$108 x^{2} + 0 + 6 a x + 2 b \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$108 x^{2} + 0 + 6 a x + 2 b \cdot 1$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$108 x^{2} + 0 + 6 a x + 2 b$

Passaggio 2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Somma $108 x^{2}$ e $0$ .

$108 x^{2} + 6 a x + 2 b$

Passaggio 2.6.2

Riordina i termini.

$f'' (x) = 108 x^{2} + 2 b + 6 a x$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $108 x^{2} + 2 b + 6 a x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [108 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 b] + \frac{d}{d x} [6 a x]$ .

$\frac{d}{d x} [108 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 b] + \frac{d}{d x} [6 a x]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [108 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $108$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $108 x^{2}$ rispetto a $x$ è $108 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$108 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 b] + \frac{d}{d x} [6 a x]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$108 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 b] + \frac{d}{d x} [6 a x]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $2$ per $108$ .

$216 x + \frac{d}{d x} [2 b] + \frac{d}{d x} [6 a x]$

Passaggio 3.3

Poiché $2 b$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 b$ rispetto a $x$ è $0$ .

$216 x + 0 + \frac{d}{d x} [6 a x]$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [6 a x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Poiché $6 a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 a x$ rispetto a $x$ è $6 a \frac{d}{d x} [x]$ .

$216 x + 0 + 6 a \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$216 x + 0 + 6 a \cdot 1$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$216 x + 0 + 6 a$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Somma $216 x$ e $0$ .

$216 x + 6 a$

Passaggio 3.5.2

Riordina i termini.

$f''' (x) = 6 a + 216 x$