Calcolo Esempi

$P' (t) = \frac{d}{d t} {(0.97)}^{t}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Elimina il fattore comune di $d$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d}{d t} [\frac{d}{d t} \cdot {(0.97)}^{t}]$

Passaggio 1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t} \cdot {(0.97)}^{t}]$

Passaggio 1.1.2

$\frac{1}{t}$ e ${(0.97)}^{t}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{{(0.97)}^{t}}{t}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = {0.97}^{t}$ e $g (t) = t$ .

$\frac{t \frac{d}{d t} [{0.97}^{t}] - {0.97}^{t} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ è $a^{t} \ln (a)$ dove $a$ = $0.97$ .

$\frac{t ({0.97}^{t} \ln (0.97)) - {0.97}^{t} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{t ({0.97}^{t} \ln (0.97)) - {0.97}^{t} \cdot 1}{t^{2}}$

Passaggio 1.4.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{t ({0.97}^{t} \ln (0.97)) - 1 \cdot {0.97}^{t}}{t^{2}}$

Passaggio 1.4.2.2

Riscrivi $- 1 \cdot {0.97}^{t}$ come $- {0.97}^{t}$ .

$\frac{t ({0.97}^{t} \ln (0.97)) - {0.97}^{t}}{t^{2}}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\ln (0.97) t \cdot {0.97}^{t} - {0.97}^{t}}{t^{2}}$

Passaggio 1.5.1.2

Riordina i fattori in $\ln (0.97) t \cdot {0.97}^{t} - {0.97}^{t}$ .

$\frac{t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97) - {0.97}^{t}}{t^{2}}$

Passaggio 1.5.2

Riordina i termini.

$\frac{{0.97}^{t} t \ln (0.97) - {0.97}^{t}}{t^{2}}$

Passaggio 1.5.3

Scomponi ${0.97}^{t}$ da ${0.97}^{t} t \ln (0.97) - {0.97}^{t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Scomponi ${0.97}^{t}$ da ${0.97}^{t} t \ln (0.97)$ .

$\frac{{0.97}^{t} (t \ln (0.97)) - {0.97}^{t}}{t^{2}}$

Passaggio 1.5.3.2

Scomponi ${0.97}^{t}$ da $- {0.97}^{t}$ .

$\frac{{0.97}^{t} (t \ln (0.97)) + {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{2}}$

Passaggio 1.5.3.3

Scomponi ${0.97}^{t}$ da ${0.97}^{t} (t \ln (0.97)) + {0.97}^{t} \cdot - 1$ .

$f' (t) = \frac{{0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1)}{t^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [{0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1)] - {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [{0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1)] - {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [{0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1)] - {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = {0.97}^{t}$ e $g (t) = t \ln (0.97) - 1$ .

$\frac{t^{2} ({0.97}^{t} \frac{d}{d t} [t \ln (0.97) - 1] + (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [{0.97}^{t}]) - {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $t \ln (0.97) - 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t \ln (0.97)] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{t^{2} ({0.97}^{t} (\frac{d}{d t} [t \ln (0.97)] + \frac{d}{d t} [- 1]) + (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [{0.97}^{t}]) - {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Passaggio 2.4.2

Poiché $\ln (0.97)$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $t \ln (0.97)$ rispetto a $t$ è $\ln (0.97) \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{t^{2} ({0.97}^{t} (\ln (0.97) \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]) + (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [{0.97}^{t}]) - {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Passaggio 2.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{t^{2} ({0.97}^{t} (\ln (0.97) \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1]) + (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [{0.97}^{t}]) - {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Passaggio 2.4.4

Moltiplica $\ln (0.97)$ per $1$ .

$\frac{t^{2} ({0.97}^{t} (\ln (0.97) + \frac{d}{d t} [- 1]) + (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [{0.97}^{t}]) - {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Passaggio 2.4.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{t^{2} ({0.97}^{t} (\ln (0.97) + 0) + (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [{0.97}^{t}]) - {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Passaggio 2.4.6

Somma $\ln (0.97)$ e $0$ .

$\frac{t^{2} ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [{0.97}^{t}]) - {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ è $a^{t} \ln (a)$ dove $a$ = $0.97$ .

$\frac{t^{2} ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) - 1) ({0.97}^{t} \ln (0.97))) - {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{t^{2} ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) - 1) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) (2 t)}{t^{4}}$

Passaggio 2.6.2

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{t^{2} ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) - 1) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) t}{t^{4}}$

Passaggio 2.6.2.2

Scomponi $t$ da $t^{2} ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) - 1) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1

Scomponi $t$ da $t^{2} ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) - 1) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97))$ .

$\frac{t (t ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) - 1) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97))) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) t}{t^{4}}$

Passaggio 2.6.2.2.2

Scomponi $t$ da $- 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1) t$ .

$\frac{t (t ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) - 1) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97))) + t (- 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1))}{t^{4}}$

Passaggio 2.6.2.2.3

Scomponi $t$ da $t (t ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) - 1) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97))) + t (- 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1))$ .

$\frac{t (t ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) - 1) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1))}{t^{4}}$

Passaggio 2.7

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Scomponi $t$ da $t^{4}$ .

$\frac{t (t ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) - 1) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1))}{t \cdot t^{3}}$

Passaggio 2.7.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{t (t ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) - 1) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1))}{t \cdot t^{3}}$

Passaggio 2.7.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{t ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) - 1) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1)}{t^{3}}$

Passaggio 2.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{t ({0.97}^{t} \ln (0.97) + (t \ln (0.97) \cdot {0.97}^{t} - 1 \cdot {0.97}^{t}) \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1)}{t^{3}}$

Passaggio 2.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{t ({0.97}^{t} \ln (0.97) + t \ln (0.97) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97) - 1 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1)}{t^{3}}$

Passaggio 2.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{t ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + t (t \ln (0.97) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) + t (- 1 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97) - 1)}{t^{3}}$

Passaggio 2.8.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{t ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + t (t \ln (0.97) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) + t (- 1 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

Passaggio 2.8.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.5.1

Combina i termini opposti in $t ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + t (t \ln (0.97) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) + t (- 1 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.5.1.1

Riordina i fattori nei termini di $t ({0.97}^{t} \ln (0.97))$ e $t (- 1 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97))$ .

$\frac{{0.97}^{t} t \ln (0.97) + t (t \ln (0.97) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - {0.97}^{t} t \ln (0.97) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

Passaggio 2.8.5.1.2

Sottrai ${0.97}^{t} t \ln (0.97)$ da ${0.97}^{t} t \ln (0.97)$ .

$\frac{t (t \ln (0.97) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) + 0 - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

Passaggio 2.8.5.1.3

Somma $t (t \ln (0.97) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97))$ e $0$ .

$\frac{t (t \ln (0.97) \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

Passaggio 2.8.5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.5.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\ln (0.97) \ln (0.97) t (t \cdot {0.97}^{t}) - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

Passaggio 2.8.5.2.2

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.5.2.2.1

Sposta $t$ .

$\frac{\ln (0.97) \ln (0.97) (t \cdot t) \cdot {0.97}^{t} - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

Passaggio 2.8.5.2.2.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$\frac{\ln (0.97) \ln (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

Passaggio 2.8.5.2.3

Moltiplica $\ln (0.97) \ln (0.97)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.5.2.3.1

Eleva $\ln (0.97)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\ln^{1} (0.97) \ln (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

Passaggio 2.8.5.2.3.2

Eleva $\ln (0.97)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\ln^{1} (0.97) \ln^{1} (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

Passaggio 2.8.5.2.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{\ln (0.97)}^{1 + 1} t^{2} \cdot {0.97}^{t} - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

Passaggio 2.8.5.2.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\ln^{2} (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - 2 \cdot {0.97}^{t} (t \ln (0.97)) - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

Passaggio 2.8.5.2.4

Semplifica $- 2 \ln (0.97)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln^{2} (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} + {0.97}^{t} (t (- \ln ({0.97}^{2}))) - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

Passaggio 2.8.5.2.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\ln^{2} (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - \ln ({0.97}^{2}) \cdot {0.97}^{t} t - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

Passaggio 2.8.5.2.6

Eleva $0.97$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\ln^{2} (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - \ln (0.9409) \cdot {0.97}^{t} t - 2 \cdot {0.97}^{t} \cdot - 1}{t^{3}}$

Passaggio 2.8.5.2.7

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{\ln^{2} (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - \ln (0.9409) \cdot {0.97}^{t} t + 2 \cdot {0.97}^{t}}{t^{3}}$

Passaggio 2.8.5.3

Riordina i fattori in $\ln^{2} (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - \ln (0.9409) \cdot {0.97}^{t} t + 2 \cdot {0.97}^{t}$ .

$\frac{t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) - t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409) + 2 \cdot {0.97}^{t}}{t^{3}}$

Passaggio 2.8.6

Riordina i termini.

$\frac{{0.97}^{t} t^{2} \ln^{2} (0.97) - {0.97}^{t} t \ln (0.9409) + 2 \cdot {0.97}^{t}}{t^{3}}$

Passaggio 2.8.7

Riordina i fattori in $\frac{{0.97}^{t} t^{2} \ln^{2} (0.97) - {0.97}^{t} t \ln (0.9409) + 2 \cdot {0.97}^{t}}{t^{3}}$ .

$f'' (t) = \frac{t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) - t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409) + 2 \cdot {0.97}^{t}}{t^{3}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$\frac{t^{3} \frac{d}{d t} [t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) - t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409) + 2 \cdot {0.97}^{t}] - (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) - t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409) + 2 \cdot {0.97}^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{{(t^{3})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

Passaggio 3.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) - t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409) + 2 \cdot {0.97}^{t}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97)] + \frac{d}{d t} [- t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409)] + \frac{d}{d t} [2 \cdot {0.97}^{t}]$ .

$\frac{t^{3} (\frac{d}{d t} [t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97)] + \frac{d}{d t} [- t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409)] + \frac{d}{d t} [2 \cdot {0.97}^{t}]) - (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) - t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409) + 2 \cdot {0.97}^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Passaggio 3.2.3

Poiché $\ln^{2} (0.97)$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97)$ rispetto a $t$ è $\ln^{2} (0.97) \frac{d}{d t} [t^{2} \cdot {0.97}^{t}]$ .

$\frac{t^{3} (\ln^{2} (0.97) \frac{d}{d t} [t^{2} \cdot {0.97}^{t}] + \frac{d}{d t} [- t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409)] + \frac{d}{d t} [2 \cdot {0.97}^{t}]) - (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) - t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409) + 2 \cdot {0.97}^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = {0.97}^{t}$ .

$\frac{t^{3} (\ln^{2} (0.97) (t^{2} \frac{d}{d t} [{0.97}^{t}] + {0.97}^{t} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409)] + \frac{d}{d t} [2 \cdot {0.97}^{t}]) - (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) - t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409) + 2 \cdot {0.97}^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ è $a^{t} \ln (a)$ dove $a$ = $0.97$ .

$\frac{t^{3} (\ln^{2} (0.97) (t^{2} ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + {0.97}^{t} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409)] + \frac{d}{d t} [2 \cdot {0.97}^{t}]) - (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) - t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409) + 2 \cdot {0.97}^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Passaggio 3.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{t^{3} (\ln^{2} (0.97) (t^{2} ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + {0.97}^{t} (2 t)) + \frac{d}{d t} [- t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409)] + \frac{d}{d t} [2 \cdot {0.97}^{t}]) - (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) - t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409) + 2 \cdot {0.97}^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Passaggio 3.5.2

Poiché $- \ln (0.9409)$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409)$ rispetto a $t$ è $- \ln (0.9409) \frac{d}{d t} [t \cdot {0.97}^{t}]$ .

$\frac{t^{3} (\ln^{2} (0.97) (t^{2} ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + {0.97}^{t} (2 t)) - \ln (0.9409) \frac{d}{d t} [t \cdot {0.97}^{t}] + \frac{d}{d t} [2 \cdot {0.97}^{t}]) - (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) - t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409) + 2 \cdot {0.97}^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t$ e $g (t) = {0.97}^{t}$ .

$\frac{t^{3} (\ln^{2} (0.97) (t^{2} ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + {0.97}^{t} (2 t)) - \ln (0.9409) (t \frac{d}{d t} [{0.97}^{t}] + {0.97}^{t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [2 \cdot {0.97}^{t}]) - (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) - t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409) + 2 \cdot {0.97}^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ è $a^{t} \ln (a)$ dove $a$ = $0.97$ .

$\frac{t^{3} (\ln^{2} (0.97) (t^{2} ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + {0.97}^{t} (2 t)) - \ln (0.9409) (t ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + {0.97}^{t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [2 \cdot {0.97}^{t}]) - (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) - t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409) + 2 \cdot {0.97}^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Passaggio 3.8

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{t^{3} (\ln^{2} (0.97) (t^{2} ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + {0.97}^{t} (2 t)) - \ln (0.9409) (t ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + {0.97}^{t} \cdot 1) + \frac{d}{d t} [2 \cdot {0.97}^{t}]) - (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) - t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409) + 2 \cdot {0.97}^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Passaggio 3.8.2

Moltiplica ${0.97}^{t}$ per $1$ .

$\frac{t^{3} (\ln^{2} (0.97) (t^{2} ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + {0.97}^{t} (2 t)) - \ln (0.9409) (t ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + {0.97}^{t}) + \frac{d}{d t} [2 \cdot {0.97}^{t}]) - (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) - t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409) + 2 \cdot {0.97}^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Passaggio 3.8.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 \cdot {0.97}^{t}$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [{0.97}^{t}]$ .

$\frac{t^{3} (\ln^{2} (0.97) (t^{2} ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + {0.97}^{t} (2 t)) - \ln (0.9409) (t ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + {0.97}^{t}) + 2 \frac{d}{d t} [{0.97}^{t}]) - (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) - t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409) + 2 \cdot {0.97}^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Passaggio 3.9

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ è $a^{t} \ln (a)$ dove $a$ = $0.97$ .

$\frac{t^{3} (\ln^{2} (0.97) (t^{2} ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + {0.97}^{t} (2 t)) - \ln (0.9409) (t ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + {0.97}^{t}) + 2 ({0.97}^{t} \ln (0.97))) - (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) - t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409) + 2 \cdot {0.97}^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Passaggio 3.10

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{t^{3} (\ln^{2} (0.97) (t^{2} ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + {0.97}^{t} (2 t)) - \ln (0.9409) (t ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + {0.97}^{t}) + 2 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) - t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409) + 2 \cdot {0.97}^{t}) (3 t^{2})}{t^{6}}$

Passaggio 3.10.2

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{t^{3} (\ln^{2} (0.97) (t^{2} ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + {0.97}^{t} (2 t)) - \ln (0.9409) (t ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + {0.97}^{t}) + 2 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 3 (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) - t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409) + 2 \cdot {0.97}^{t}) t^{2}}{t^{6}}$

Passaggio 3.10.2.2

Scomponi $t^{2}$ da $t^{3} (\ln^{2} (0.97) (t^{2} ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + {0.97}^{t} (2 t)) - \ln (0.9409) (t ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + {0.97}^{t}) + 2 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 3 (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) - t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409) + 2 \cdot {0.97}^{t}) t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.2.1

Scomponi $t^{2}$ da $t^{3} (\ln^{2} (0.97) (t^{2} ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + {0.97}^{t} (2 t)) - \ln (0.9409) (t ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + {0.97}^{t}) + 2 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97))$ .

$\frac{t^{2} (t (\ln^{2} (0.97) (t^{2} ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + {0.97}^{t} (2 t)) - \ln (0.9409) (t ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + {0.97}^{t}) + 2 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97))) - 3 (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) - t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409) + 2 \cdot {0.97}^{t}) t^{2}}{t^{6}}$

Passaggio 3.10.2.2.2

Scomponi $t^{2}$ da $- 3 (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) - t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409) + 2 \cdot {0.97}^{t}) t^{2}$ .

$\frac{t^{2} (t (\ln^{2} (0.97) (t^{2} ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + {0.97}^{t} (2 t)) - \ln (0.9409) (t ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + {0.97}^{t}) + 2 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97))) + t^{2} (- 3 (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) - t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409) + 2 \cdot {0.97}^{t}))}{t^{6}}$

Passaggio 3.10.2.2.3

Scomponi $t^{2}$ da $t^{2} (t (\ln^{2} (0.97) (t^{2} ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + {0.97}^{t} (2 t)) - \ln (0.9409) (t ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + {0.97}^{t}) + 2 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97))) + t^{2} (- 3 (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) - t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409) + 2 \cdot {0.97}^{t}))$ .

$\frac{t^{2} (t (\ln^{2} (0.97) (t^{2} ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + {0.97}^{t} (2 t)) - \ln (0.9409) (t ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + {0.97}^{t}) + 2 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 3 (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) - t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409) + 2 \cdot {0.97}^{t}))}{t^{6}}$

Passaggio 3.11

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

Scomponi $t^{2}$ da $t^{6}$ .

Passaggio 3.11.2

Elimina il fattore comune.

Passaggio 3.11.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{t (\ln^{2} (0.97) (t^{2} ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + {0.97}^{t} (2 t)) - \ln (0.9409) (t ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + {0.97}^{t}) + 2 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 3 (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) - t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409) + 2 \cdot {0.97}^{t})}{t^{4}}$

Passaggio 3.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{t (\ln^{2} (0.97) (t^{2} ({0.97}^{t} \ln (0.97))) + \ln^{2} (0.97) ({0.97}^{t} (2 t)) - \ln (0.9409) (t ({0.97}^{t} \ln (0.97)) + {0.97}^{t}) + 2 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 3 (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) - t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409) + 2 \cdot {0.97}^{t})}{t^{4}}$

Passaggio 3.12.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{t (\ln^{2} (0.97) (t^{2} ({0.97}^{t} \ln (0.97))) + \ln^{2} (0.97) ({0.97}^{t} (2 t)) - \ln (0.9409) (t ({0.97}^{t} \ln (0.97))) - \ln (0.9409) \cdot {0.97}^{t} + 2 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 3 (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) - t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409) + 2 \cdot {0.97}^{t})}{t^{4}}$

Passaggio 3.12.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{t (\ln^{2} (0.97) (t^{2} ({0.97}^{t} \ln (0.97)))) + t (\ln^{2} (0.97) ({0.97}^{t} (2 t))) + t (- \ln (0.9409) (t ({0.97}^{t} \ln (0.97)))) + t (- \ln (0.9409) \cdot {0.97}^{t}) + t (2 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 3 (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) - t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409) + 2 \cdot {0.97}^{t})}{t^{4}}$

Passaggio 3.12.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{t (\ln^{2} (0.97) (t^{2} ({0.97}^{t} \ln (0.97)))) + t (\ln^{2} (0.97) ({0.97}^{t} (2 t))) + t (- \ln (0.9409) (t ({0.97}^{t} \ln (0.97)))) + t (- \ln (0.9409) \cdot {0.97}^{t}) + t (2 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 3 (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97)) - 3 (- t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409)) - 3 (2 \cdot {0.97}^{t})}{t^{4}}$

Passaggio 3.12.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.5.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\ln^{2} (0.97) \ln (0.97) t (t^{2} \cdot {0.97}^{t}) + t (\ln^{2} (0.97) ({0.97}^{t} (2 t))) + t (- \ln (0.9409) (t ({0.97}^{t} \ln (0.97)))) + t (- \ln (0.9409) \cdot {0.97}^{t}) + t (2 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 3 (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97)) - 3 (- t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409)) - 3 (2 \cdot {0.97}^{t})}{t^{4}}$

Passaggio 3.12.5.1.2

Moltiplica $\ln^{2} (0.97)$ per $\ln (0.97)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.5.1.2.1

Moltiplica $\ln^{2} (0.97)$ per $\ln (0.97)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.5.1.2.1.1

Eleva $\ln (0.97)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\ln^{2} (0.97) \ln^{1} (0.97) t (t^{2} \cdot {0.97}^{t}) + t (\ln^{2} (0.97) ({0.97}^{t} (2 t))) + t (- \ln (0.9409) (t ({0.97}^{t} \ln (0.97)))) + t (- \ln (0.9409) \cdot {0.97}^{t}) + t (2 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 3 (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97)) - 3 (- t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409)) - 3 (2 \cdot {0.97}^{t})}{t^{4}}$

Passaggio 3.12.5.1.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{\ln (0.97)}^{2 + 1} t (t^{2} \cdot {0.97}^{t}) + t (\ln^{2} (0.97) ({0.97}^{t} (2 t))) + t (- \ln (0.9409) (t ({0.97}^{t} \ln (0.97)))) + t (- \ln (0.9409) \cdot {0.97}^{t}) + t (2 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 3 (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97)) - 3 (- t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409)) - 3 (2 \cdot {0.97}^{t})}{t^{4}}$

Passaggio 3.12.5.1.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{\ln^{3} (0.97) t (t^{2} \cdot {0.97}^{t}) + t (\ln^{2} (0.97) ({0.97}^{t} (2 t))) + t (- \ln (0.9409) (t ({0.97}^{t} \ln (0.97)))) + t (- \ln (0.9409) \cdot {0.97}^{t}) + t (2 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 3 (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97)) - 3 (- t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409)) - 3 (2 \cdot {0.97}^{t})}{t^{4}}$

Passaggio 3.12.5.1.3

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.5.1.3.1

Sposta $t^{2}$ .

$\frac{\ln^{3} (0.97) (t^{2} t) \cdot {0.97}^{t} + t (\ln^{2} (0.97) ({0.97}^{t} (2 t))) + t (- \ln (0.9409) (t ({0.97}^{t} \ln (0.97)))) + t (- \ln (0.9409) \cdot {0.97}^{t}) + t (2 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 3 (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97)) - 3 (- t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409)) - 3 (2 \cdot {0.97}^{t})}{t^{4}}$

Passaggio 3.12.5.1.3.2

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.5.1.3.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\ln^{3} (0.97) (t^{2} t^{1}) \cdot {0.97}^{t} + t (\ln^{2} (0.97) ({0.97}^{t} (2 t))) + t (- \ln (0.9409) (t ({0.97}^{t} \ln (0.97)))) + t (- \ln (0.9409) \cdot {0.97}^{t}) + t (2 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 3 (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97)) - 3 (- t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409)) - 3 (2 \cdot {0.97}^{t})}{t^{4}}$

Passaggio 3.12.5.1.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\ln^{3} (0.97) t^{2 + 1} \cdot {0.97}^{t} + t (\ln^{2} (0.97) ({0.97}^{t} (2 t))) + t (- \ln (0.9409) (t ({0.97}^{t} \ln (0.97)))) + t (- \ln (0.9409) \cdot {0.97}^{t}) + t (2 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 3 (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97)) - 3 (- t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409)) - 3 (2 \cdot {0.97}^{t})}{t^{4}}$

Passaggio 3.12.5.1.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{\ln^{3} (0.97) t^{3} \cdot {0.97}^{t} + t (\ln^{2} (0.97) ({0.97}^{t} (2 t))) + t (- \ln (0.9409) (t ({0.97}^{t} \ln (0.97)))) + t (- \ln (0.9409) \cdot {0.97}^{t}) + t (2 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 3 (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97)) - 3 (- t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409)) - 3 (2 \cdot {0.97}^{t})}{t^{4}}$

Passaggio 3.12.5.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\ln^{3} (0.97) t^{3} \cdot {0.97}^{t} + \ln^{2} (0.97) \cdot 2 t ({0.97}^{t} t) + t (- \ln (0.9409) (t ({0.97}^{t} \ln (0.97)))) + t (- \ln (0.9409) \cdot {0.97}^{t}) + t (2 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 3 (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97)) - 3 (- t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409)) - 3 (2 \cdot {0.97}^{t})}{t^{4}}$

Passaggio 3.12.5.1.5

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.5.1.5.1

Sposta $t$ .

$\frac{\ln^{3} (0.97) t^{3} \cdot {0.97}^{t} + \ln^{2} (0.97) \cdot 2 (t \cdot t) \cdot {0.97}^{t} + t (- \ln (0.9409) (t ({0.97}^{t} \ln (0.97)))) + t (- \ln (0.9409) \cdot {0.97}^{t}) + t (2 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 3 (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97)) - 3 (- t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409)) - 3 (2 \cdot {0.97}^{t})}{t^{4}}$

Passaggio 3.12.5.1.5.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$\frac{\ln^{3} (0.97) t^{3} \cdot {0.97}^{t} + \ln^{2} (0.97) \cdot 2 t^{2} \cdot {0.97}^{t} + t (- \ln (0.9409) (t ({0.97}^{t} \ln (0.97)))) + t (- \ln (0.9409) \cdot {0.97}^{t}) + t (2 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 3 (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97)) - 3 (- t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409)) - 3 (2 \cdot {0.97}^{t})}{t^{4}}$

Passaggio 3.12.5.1.6

Sposta $2$ alla sinistra di $\ln^{2} (0.97)$ .

$\frac{\ln^{3} (0.97) t^{3} \cdot {0.97}^{t} + 2 \cdot \ln^{2} (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} + t (- \ln (0.9409) (t ({0.97}^{t} \ln (0.97)))) + t (- \ln (0.9409) \cdot {0.97}^{t}) + t (2 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 3 (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97)) - 3 (- t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409)) - 3 (2 \cdot {0.97}^{t})}{t^{4}}$

Passaggio 3.12.5.1.7

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\ln^{3} (0.97) t^{3} \cdot {0.97}^{t} + 2 \ln^{2} (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - \ln (0.9409) \ln (0.97) t (t \cdot {0.97}^{t}) + t (- \ln (0.9409) \cdot {0.97}^{t}) + t (2 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 3 (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97)) - 3 (- t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409)) - 3 (2 \cdot {0.97}^{t})}{t^{4}}$

Passaggio 3.12.5.1.8

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.5.1.8.1

Sposta $t$ .

$\frac{\ln^{3} (0.97) t^{3} \cdot {0.97}^{t} + 2 \ln^{2} (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - \ln (0.9409) \ln (0.97) (t \cdot t) \cdot {0.97}^{t} + t (- \ln (0.9409) \cdot {0.97}^{t}) + t (2 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 3 (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97)) - 3 (- t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409)) - 3 (2 \cdot {0.97}^{t})}{t^{4}}$

Passaggio 3.12.5.1.8.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$\frac{\ln^{3} (0.97) t^{3} \cdot {0.97}^{t} + 2 \ln^{2} (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - \ln (0.9409) \ln (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} + t (- \ln (0.9409) \cdot {0.97}^{t}) + t (2 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 3 (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97)) - 3 (- t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409)) - 3 (2 \cdot {0.97}^{t})}{t^{4}}$

Passaggio 3.12.5.1.9

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\ln^{3} (0.97) t^{3} \cdot {0.97}^{t} + 2 \ln^{2} (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - \ln (0.9409) \ln (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - \ln (0.9409) t \cdot {0.97}^{t} + t (2 \cdot {0.97}^{t} \ln (0.97)) - 3 (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97)) - 3 (- t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409)) - 3 (2 \cdot {0.97}^{t})}{t^{4}}$

Passaggio 3.12.5.1.10

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\ln^{3} (0.97) t^{3} \cdot {0.97}^{t} + 2 \ln^{2} (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - \ln (0.9409) \ln (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - \ln (0.9409) t \cdot {0.97}^{t} + 2 \ln (0.97) t \cdot {0.97}^{t} - 3 (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97)) - 3 (- t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409)) - 3 (2 \cdot {0.97}^{t})}{t^{4}}$

Passaggio 3.12.5.1.11

Semplifica $2 \ln (0.97)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln^{3} (0.97) t^{3} \cdot {0.97}^{t} + 2 \ln^{2} (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - \ln (0.9409) \ln (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - \ln (0.9409) t \cdot {0.97}^{t} + \ln ({0.97}^{2}) t \cdot {0.97}^{t} - 3 (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97)) - 3 (- t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409)) - 3 (2 \cdot {0.97}^{t})}{t^{4}}$

Passaggio 3.12.5.1.12

Eleva $0.97$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\ln^{3} (0.97) t^{3} \cdot {0.97}^{t} + 2 \ln^{2} (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - \ln (0.9409) \ln (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - \ln (0.9409) t \cdot {0.97}^{t} + \ln (0.9409) t \cdot {0.97}^{t} - 3 (t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97)) - 3 (- t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409)) - 3 (2 \cdot {0.97}^{t})}{t^{4}}$

Passaggio 3.12.5.1.13

Moltiplica $- 3 (- t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.5.1.13.1

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$\frac{\ln^{3} (0.97) t^{3} \cdot {0.97}^{t} + 2 \ln^{2} (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - \ln (0.9409) \ln (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - \ln (0.9409) t \cdot {0.97}^{t} + \ln (0.9409) t \cdot {0.97}^{t} - 3 t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) + 3 (t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409)) - 3 (2 \cdot {0.97}^{t})}{t^{4}}$

Passaggio 3.12.5.1.13.2

Semplifica $3 \ln (0.9409)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln^{3} (0.97) t^{3} \cdot {0.97}^{t} + 2 \ln^{2} (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - \ln (0.9409) \ln (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - \ln (0.9409) t \cdot {0.97}^{t} + \ln (0.9409) t \cdot {0.97}^{t} - 3 t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) + t \cdot {0.97}^{t} \ln ({0.9409}^{3}) - 3 (2 \cdot {0.97}^{t})}{t^{4}}$

Passaggio 3.12.5.1.14

Eleva $0.9409$ alla potenza di $3$ .

$\frac{\ln^{3} (0.97) t^{3} \cdot {0.97}^{t} + 2 \ln^{2} (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - \ln (0.9409) \ln (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - \ln (0.9409) t \cdot {0.97}^{t} + \ln (0.9409) t \cdot {0.97}^{t} - 3 t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) + t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.832972) - 3 (2 \cdot {0.97}^{t})}{t^{4}}$

Passaggio 3.12.5.1.15

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$\frac{\ln^{3} (0.97) t^{3} \cdot {0.97}^{t} + 2 \ln^{2} (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - \ln (0.9409) \ln (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - \ln (0.9409) t \cdot {0.97}^{t} + \ln (0.9409) t \cdot {0.97}^{t} - 3 t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) + t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.832972) - 6 \cdot {0.97}^{t}}{t^{4}}$

Passaggio 3.12.5.2

Combina i termini opposti in $\ln^{3} (0.97) t^{3} \cdot {0.97}^{t} + 2 \ln^{2} (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - \ln (0.9409) \ln (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - \ln (0.9409) t \cdot {0.97}^{t} + \ln (0.9409) t \cdot {0.97}^{t} - 3 t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) + t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.832972) - 6 \cdot {0.97}^{t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.5.2.1

Somma $- \ln (0.9409) t \cdot {0.97}^{t}$ e $\ln (0.9409) t \cdot {0.97}^{t}$ .

$\frac{\ln^{3} (0.97) t^{3} \cdot {0.97}^{t} + 2 \ln^{2} (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - \ln (0.9409) \ln (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} + 0 - 3 t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) + t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.832972) - 6 \cdot {0.97}^{t}}{t^{4}}$

Passaggio 3.12.5.2.2

Somma $\ln^{3} (0.97) t^{3} \cdot {0.97}^{t} + 2 \ln^{2} (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - \ln (0.9409) \ln (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t}$ e $0$ .

$\frac{\ln^{3} (0.97) t^{3} \cdot {0.97}^{t} + 2 \ln^{2} (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - \ln (0.9409) \ln (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} - 3 t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) + t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.832972) - 6 \cdot {0.97}^{t}}{t^{4}}$

Passaggio 3.12.5.3

Sposta $t^{2}$ .

$\frac{\ln^{3} (0.97) t^{3} \cdot {0.97}^{t} + 2 \cdot {0.97}^{t} t^{2} \ln^{2} (0.97) - 3 \cdot {0.97}^{t} t^{2} \ln^{2} (0.97) - \ln (0.9409) \ln (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} + t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.832972) - 6 \cdot {0.97}^{t}}{t^{4}}$

Passaggio 3.12.5.4

Sottrai $3 \cdot {0.97}^{t} t^{2} \ln^{2} (0.97)$ da $2 \cdot {0.97}^{t} t^{2} \ln^{2} (0.97)$ .

$\frac{\ln^{3} (0.97) t^{3} \cdot {0.97}^{t} - {0.97}^{t} t^{2} \ln^{2} (0.97) - \ln (0.9409) \ln (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} + t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.832972) - 6 \cdot {0.97}^{t}}{t^{4}}$

Passaggio 3.12.5.5

Riordina i fattori in $\ln^{3} (0.97) t^{3} \cdot {0.97}^{t} - {0.97}^{t} t^{2} \ln^{2} (0.97) - \ln (0.9409) \ln (0.97) t^{2} \cdot {0.97}^{t} + t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.832972) - 6 \cdot {0.97}^{t}$ .

$\frac{t^{3} \cdot {0.97}^{t} \ln^{3} (0.97) - t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) - t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409) \ln (0.97) + t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.832972) - 6 \cdot {0.97}^{t}}{t^{4}}$

Passaggio 3.12.6

Riordina i termini.

$\frac{{0.97}^{t} t^{3} \ln^{3} (0.97) - {0.97}^{t} t^{2} \ln^{2} (0.97) - {0.97}^{t} t^{2} \ln (0.9409) \ln (0.97) + {0.97}^{t} t \ln (0.832972) - 6 \cdot {0.97}^{t}}{t^{4}}$

Passaggio 3.12.7

Riordina i fattori in $\frac{{0.97}^{t} t^{3} \ln^{3} (0.97) - {0.97}^{t} t^{2} \ln^{2} (0.97) - {0.97}^{t} t^{2} \ln (0.9409) \ln (0.97) + {0.97}^{t} t \ln (0.832972) - 6 \cdot {0.97}^{t}}{t^{4}}$ .

$f''' (t) = \frac{t^{3} \cdot {0.97}^{t} \ln^{3} (0.97) - t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln^{2} (0.97) - t^{2} \cdot {0.97}^{t} \ln (0.9409) \ln (0.97) + t \cdot {0.97}^{t} \ln (0.832972) - 6 \cdot {0.97}^{t}}{t^{4}}$

Passaggio 4

La derivata terza di $P' (t)$ rispetto a $t$ è $\frac{t^{3} \cdot ({0.97}^{t} \ln^{3} (0.97)) - t^{2} \cdot ({0.97}^{t} \ln^{2} (0.97)) - t^{2} \cdot ({0.97}^{t} \ln (0.9409) \ln (0.97)) + t \cdot ({0.97}^{t} \ln (0.832972)) - 6 \cdot {0.97}^{t}}{t^{4}}$ .

$\frac{t^{3} \cdot ({0.97}^{t} \ln^{3} (0.97)) - t^{2} \cdot ({0.97}^{t} \ln^{2} (0.97)) - t^{2} \cdot ({0.97}^{t} \ln (0.9409) \ln (0.97)) + t \cdot ({0.97}^{t} \ln (0.832972)) - 6 \cdot {0.97}^{t}}{t^{4}}$