Calcolo Esempi

$g (t) = \sec^{2} (t) - \tan^{2} (t)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sec^{2} (t) - \tan^{2} (t)$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [\sec^{2} (t)] + \frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$ .

$\frac{d}{d t} [\sec^{2} (t)] + \frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d t} [\sec^{2} (t)]$ .

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Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = \sec (t)$ .

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Passaggio 1.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\sec (t)] + \frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$

Passaggio 1.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d t} [\sec (t)] + \frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$

Passaggio 1.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sec (t)$ .

$2 \sec (t) \frac{d}{d t} [\sec (t)] + \frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\sec (t)$ rispetto a $t$ è $\sec (t) \tan (t)$ .

$2 \sec (t) (\sec (t) \tan (t)) + \frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$

Passaggio 1.2.3

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$2 (\sec^{1} (t) \sec (t)) \tan (t) + \frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$

Passaggio 1.2.4

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$2 (\sec^{1} (t) \sec^{1} (t)) \tan (t) + \frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$

Passaggio 1.2.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 {\sec (t)}^{1 + 1} \tan (t) + \frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$

Passaggio 1.2.6

Somma $1$ e $1$ .

$2 \sec^{2} (t) \tan (t) + \frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- \tan^{2} (t)$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [\tan^{2} (t)]$ .

$2 \sec^{2} (t) \tan (t) - \frac{d}{d t} [\tan^{2} (t)]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = \tan (t)$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\tan (t)$ .

$2 \sec^{2} (t) \tan (t) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [\tan (t)])$

Passaggio 1.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 \sec^{2} (t) \tan (t) - (2 u_{2} \frac{d}{d t} [\tan (t)])$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\tan (t)$ .

$2 \sec^{2} (t) \tan (t) - (2 \tan (t) \frac{d}{d t} [\tan (t)])$

Passaggio 1.3.3

La derivata di $\tan (t)$ rispetto a $t$ è $\sec^{2} (t)$ .

$2 \sec^{2} (t) \tan (t) - (2 \tan (t) \sec^{2} (t))$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 \sec^{2} (t) \tan (t) - 2 \tan (t) \sec^{2} (t)$

Passaggio 1.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.4.1

Riordina i fattori di $- 2 \tan (t) \sec^{2} (t)$ .

$2 \sec^{2} (t) \tan (t) - 2 \sec^{2} (t) \tan (t)$

Passaggio 1.4.2

Sottrai $2 \sec^{2} (t) \tan (t)$ da $2 \sec^{2} (t) \tan (t)$ .

$f' (t) = 0$

Passaggio 2

Poiché $0$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $0$ rispetto a $t$ è $0$ .

$f'' (t) = 0$

Passaggio 3

La derivata seconda di $g (t)$ rispetto a $t$ è $0$ .

$0$