Calcolo Esempi

$f (t) = \sqrt{8 t^{2}} - t$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sqrt{8 t^{2}} - t$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [\sqrt{8 t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{8 t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d t} [\sqrt{8 t^{2}}]$ .

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Passaggio 1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{8 t^{2}}$ come ${(8 t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [{(8 t^{2})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $8$ da $8 t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [{(8 (t^{2}))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Passaggio 1.2.3

Applica la regola del prodotto a $8 (t^{2})$ .

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}} {(t^{2})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 1.2.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}} t^{2 (\frac{1}{2})}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Passaggio 1.2.4.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.2.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}} t^{2 (\frac{1}{2})}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Passaggio 1.2.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}} t^{1}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Passaggio 1.2.5

Semplifica.

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}} t] + \frac{d}{d t} [- t]$

Passaggio 1.2.6

Poiché $8^{\frac{1}{2}}$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $8^{\frac{1}{2}} t$ rispetto a $t$ è $8^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$ .

$8^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t]$

Passaggio 1.2.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- t]$

Passaggio 1.2.8

Moltiplica $8^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$8^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d t} [- t]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [- t]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$8^{\frac{1}{2}} - \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (t) = 8^{\frac{1}{2}} - 1$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $8^{\frac{1}{2}} - 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.2

Poiché $8^{\frac{1}{2}}$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $8^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $t$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 2.4

Somma $0$ e $0$ .

$f'' (t) = 0$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (t)$ rispetto a $t$ è $0$ .

$0$