Calcolo Esempi

$g (x) = \frac{3 e^{x}}{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 e^{x}}{x}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x$ .

$3 \frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$3 \frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$3 \frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.2.2

$3$ e $\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$ .

$\frac{3 (x e^{x} - e^{x})}{x^{2}}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (x e^{x}) + 3 (- e^{x})}{x^{2}}$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{3 x e^{x} - 3 e^{x}}{x^{2}}$

Passaggio 1.5.3

Riordina i termini.

$\frac{3 e^{x} x - 3 e^{x}}{x^{2}}$

Passaggio 1.5.4

Scomponi $3 e^{x}$ da $3 e^{x} x - 3 e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Scomponi $3 e^{x}$ da $3 e^{x} x$ .

$\frac{3 e^{x} (x) - 3 e^{x}}{x^{2}}$

Passaggio 1.5.4.2

Scomponi $3 e^{x}$ da $- 3 e^{x}$ .

$\frac{3 e^{x} (x) + 3 e^{x} (- 1)}{x^{2}}$

Passaggio 1.5.4.3

Scomponi $3 e^{x}$ da $3 e^{x} (x) + 3 e^{x} (- 1)$ .

$f' (x) = \frac{3 e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}]$

Passaggio 2.2

$3 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} (x - 1)] - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} (x - 1)] - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$3 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} (x - 1)] - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x - 1$ .

$3 \frac{x^{2} (e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.5

Differenzia.

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Passaggio 2.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 \frac{x^{2} (e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \frac{x^{2} (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.5.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 \frac{x^{2} (e^{x} (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.5.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.5.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$3 \frac{x^{2} (e^{x} \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.5.4.2

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$3 \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$3 \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

Passaggio 2.7.2

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 2.7.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$3 \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

Passaggio 2.7.2.2

Scomponi $x$ da $x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x})$ .

$3 \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

Passaggio 2.7.2.2.2

Scomponi $x$ da $- 2 e^{x} (x - 1) x$ .

$3 \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

Passaggio 2.7.2.2.3

Scomponi $x$ da $x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))$ .

$3 \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

Passaggio 2.8

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$3 \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 2.8.2

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 2.8.3

Riscrivi l'espressione.

$3 \frac{x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

Passaggio 2.9

$3$ e $\frac{x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$ .

$\frac{3 (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x^{3}}$

Passaggio 2.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (x (e^{x} + x e^{x} - 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x^{3}}$

Passaggio 2.10.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x^{3}}$

Passaggio 2.10.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1)}{x^{3}}$

Passaggio 2.10.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (x e^{x}) + 3 (x (x e^{x})) + 3 (x (- 1 e^{x})) + 3 (- 2 e^{x} x) + 3 (- 2 e^{x} \cdot - 1)}{x^{3}}$

Passaggio 2.10.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.10.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.10.5.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.5.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{3 x e^{x} + 3 (x \cdot x e^{x}) + 3 (x (- 1 e^{x})) + 3 (- 2 e^{x} x) + 3 (- 2 e^{x} \cdot - 1)}{x^{3}}$

Passaggio 2.10.5.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{3 x e^{x} + 3 (x^{2} e^{x}) + 3 (x (- 1 e^{x})) + 3 (- 2 e^{x} x) + 3 (- 2 e^{x} \cdot - 1)}{x^{3}}$

Passaggio 2.10.5.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 3 (- x e^{x}) + 3 (- 2 e^{x} x) + 3 (- 2 e^{x} \cdot - 1)}{x^{3}}$

Passaggio 2.10.5.1.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 3 (x e^{x}) + 3 (- 2 e^{x} x) + 3 (- 2 e^{x} \cdot - 1)}{x^{3}}$

Passaggio 2.10.5.1.4

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$\frac{3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 6 (e^{x} x) + 3 (- 2 e^{x} \cdot - 1)}{x^{3}}$

Passaggio 2.10.5.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 6 e^{x} x + 3 (2 e^{x})}{x^{3}}$

Passaggio 2.10.5.1.6

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 6 e^{x} x + 6 e^{x}}{x^{3}}$

Passaggio 2.10.5.2

Combina i termini opposti in $3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 6 e^{x} x + 6 e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.5.2.1

Sottrai $3 x e^{x}$ da $3 x e^{x}$ .

$\frac{3 x^{2} e^{x} + 0 - 6 e^{x} x + 6 e^{x}}{x^{3}}$

Passaggio 2.10.5.2.2

Somma $3 x^{2} e^{x}$ e $0$ .

$\frac{3 x^{2} e^{x} - 6 e^{x} x + 6 e^{x}}{x^{3}}$

Passaggio 2.10.5.3

Riordina i fattori in $3 x^{2} e^{x} - 6 e^{x} x + 6 e^{x}$ .

$\frac{3 x^{2} e^{x} - 6 x e^{x} + 6 e^{x}}{x^{3}}$

Passaggio 2.10.6

Riordina i termini.

$\frac{3 e^{x} x^{2} - 6 e^{x} x + 6 e^{x}}{x^{3}}$

Passaggio 2.10.7

Scomponi $3 e^{x}$ da $3 e^{x} x^{2} - 6 e^{x} x + 6 e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.7.1

Scomponi $3 e^{x}$ da $3 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{3 e^{x} (x^{2}) - 6 e^{x} x + 6 e^{x}}{x^{3}}$

Passaggio 2.10.7.2

Scomponi $3 e^{x}$ da $- 6 e^{x} x$ .

$\frac{3 e^{x} (x^{2}) + 3 e^{x} (- 2 x) + 6 e^{x}}{x^{3}}$

Passaggio 2.10.7.3

Scomponi $3 e^{x}$ da $6 e^{x}$ .

$\frac{3 e^{x} (x^{2}) + 3 e^{x} (- 2 x) + 3 e^{x} (2)}{x^{3}}$

Passaggio 2.10.7.4

Scomponi $3 e^{x}$ da $3 e^{x} (x^{2}) + 3 e^{x} (- 2 x)$ .

$\frac{3 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 3 e^{x} (2)}{x^{3}}$

Passaggio 2.10.7.5

Scomponi $3 e^{x}$ da $3 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 3 e^{x} (2)$ .

$f'' (x) = \frac{3 e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)}{x^{3}}$

Passaggio 3

La derivata seconda di $g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{3 e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)}{x^{3}}$ .

$\frac{3 e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)}{x^{3}}$