Calcolo Esempi

$g (t) = {(9 t^{2} - 7)}^{2} (3 t^{2})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sposta $3$ alla sinistra di ${(9 t^{2} - 7)}^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [3 \cdot {(9 t^{2} - 7)}^{2} t^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t^{2}$ rispetto a $t$ è $3 \frac{d}{d t} [{(9 t^{2} - 7)}^{2} t^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [{(9 t^{2} - 7)}^{2} t^{2}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = {(9 t^{2} - 7)}^{2}$ e $g (t) = t^{2}$ .

$3 ({(9 t^{2} - 7)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] + t^{2} \frac{d}{d t} [{(9 t^{2} - 7)}^{2}])$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 ({(9 t^{2} - 7)}^{2} (2 t) + t^{2} \frac{d}{d t} [{(9 t^{2} - 7)}^{2}])$

Passaggio 1.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di ${(9 t^{2} - 7)}^{2}$ .

$3 (2 \cdot {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} \frac{d}{d t} [{(9 t^{2} - 7)}^{2}])$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = 9 t^{2} - 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $9 t^{2} - 7$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [9 t^{2} - 7]))$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (2 u \frac{d}{d t} [9 t^{2} - 7]))$

Passaggio 1.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $9 t^{2} - 7$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (2 (9 t^{2} - 7) \frac{d}{d t} [9 t^{2} - 7]))$

Passaggio 1.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 t^{2} - 7$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (2 (9 t^{2} - 7) (\frac{d}{d t} [9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7])))$

Passaggio 1.5.2

Poiché $9$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $9 t^{2}$ rispetto a $t$ è $9 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (2 (9 t^{2} - 7) (9 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7])))$

Passaggio 1.5.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (2 (9 t^{2} - 7) (9 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 7])))$

Passaggio 1.5.4

Moltiplica $2$ per $9$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (2 (9 t^{2} - 7) (18 t + \frac{d}{d t} [- 7])))$

Passaggio 1.5.5

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 7$ rispetto a $t$ è $0$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (2 (9 t^{2} - 7) (18 t + 0)))$

Passaggio 1.5.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.1

Somma $18 t$ e $0$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (2 (9 t^{2} - 7) (18 t)))$

Passaggio 1.5.6.2

Moltiplica $18$ per $2$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (36 (9 t^{2} - 7) t))$

Passaggio 1.6

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Sposta $t$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t \cdot t^{2} (36 (9 t^{2} - 7)))$

Passaggio 1.6.2

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{1} t^{2} (36 (9 t^{2} - 7)))$

Passaggio 1.6.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{1 + 2} (36 (9 t^{2} - 7)))$

Passaggio 1.6.3

Somma $1$ e $2$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{3} (36 (9 t^{2} - 7)))$

Passaggio 1.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{3} (36 (9 t^{2}) + 36 \cdot - 7))$

Passaggio 1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{3} (36 (9 t^{2})) + t^{3} (36 \cdot - 7))$

Passaggio 1.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t) + 3 (t^{3} (36 (9 t^{2}))) + 3 (t^{3} (36 \cdot - 7))$

Passaggio 1.7.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 ({(9 t^{2} - 7)}^{2} t) + 3 (t^{3} (36 (9 t^{2}))) + 3 (t^{3} (36 \cdot - 7))$

Passaggio 1.7.4.2

Moltiplica $9$ per $36$ .

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 3 (t^{3} (324 t^{2})) + 3 (t^{3} (36 \cdot - 7))$

Passaggio 1.7.4.3

Moltiplica $t^{3}$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.3.1

Sposta $t^{2}$ .

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 3 (t^{2} t^{3} \cdot 324) + 3 (t^{3} (36 \cdot - 7))$

Passaggio 1.7.4.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 3 (t^{2 + 3} \cdot 324) + 3 (t^{3} (36 \cdot - 7))$

Passaggio 1.7.4.3.3

Somma $2$ e $3$ .

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 3 (t^{5} \cdot 324) + 3 (t^{3} (36 \cdot - 7))$

Passaggio 1.7.4.4

Sposta $324$ alla sinistra di $t^{5}$ .

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 3 (324 \cdot t^{5}) + 3 (t^{3} (36 \cdot - 7))$

Passaggio 1.7.4.5

Moltiplica $324$ per $3$ .

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 972 t^{5} + 3 (t^{3} (36 \cdot - 7))$

Passaggio 1.7.4.6

Moltiplica $36$ per $- 7$ .

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 972 t^{5} + 3 (t^{3} \cdot - 252)$

Passaggio 1.7.4.7

Sposta $- 252$ alla sinistra di $t^{3}$ .

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 972 t^{5} + 3 (- 252 \cdot t^{3})$

Passaggio 1.7.4.8

Moltiplica $- 252$ per $3$ .

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 972 t^{5} - 756 t^{3}$

Passaggio 1.7.5

Riordina i termini.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t {(9 t^{2} - 7)}^{2}$

Passaggio 1.7.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.6.1

Riscrivi ${(9 t^{2} - 7)}^{2}$ come $(9 t^{2} - 7) (9 t^{2} - 7)$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t ((9 t^{2} - 7) (9 t^{2} - 7))$

Passaggio 1.7.6.2

Espandi $(9 t^{2} - 7) (9 t^{2} - 7)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.6.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (9 t^{2} (9 t^{2} - 7) - 7 (9 t^{2} - 7))$

Passaggio 1.7.6.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (9 t^{2} (9 t^{2}) + 9 t^{2} \cdot - 7 - 7 (9 t^{2} - 7))$

Passaggio 1.7.6.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (9 t^{2} (9 t^{2}) + 9 t^{2} \cdot - 7 - 7 (9 t^{2}) - 7 \cdot - 7)$

Passaggio 1.7.6.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.6.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.6.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (9 \cdot 9 t^{2} t^{2} + 9 t^{2} \cdot - 7 - 7 (9 t^{2}) - 7 \cdot - 7)$

Passaggio 1.7.6.3.1.2

Moltiplica $t^{2}$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.6.3.1.2.1

Sposta $t^{2}$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (9 \cdot 9 (t^{2} t^{2}) + 9 t^{2} \cdot - 7 - 7 (9 t^{2}) - 7 \cdot - 7)$

Passaggio 1.7.6.3.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (9 \cdot 9 t^{2 + 2} + 9 t^{2} \cdot - 7 - 7 (9 t^{2}) - 7 \cdot - 7)$

Passaggio 1.7.6.3.1.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (9 \cdot 9 t^{4} + 9 t^{2} \cdot - 7 - 7 (9 t^{2}) - 7 \cdot - 7)$

Passaggio 1.7.6.3.1.3

Moltiplica $9$ per $9$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (81 t^{4} + 9 t^{2} \cdot - 7 - 7 (9 t^{2}) - 7 \cdot - 7)$

Passaggio 1.7.6.3.1.4

Moltiplica $- 7$ per $9$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (81 t^{4} - 63 t^{2} - 7 (9 t^{2}) - 7 \cdot - 7)$

Passaggio 1.7.6.3.1.5

Moltiplica $9$ per $- 7$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (81 t^{4} - 63 t^{2} - 63 t^{2} - 7 \cdot - 7)$

Passaggio 1.7.6.3.1.6

Moltiplica $- 7$ per $- 7$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (81 t^{4} - 63 t^{2} - 63 t^{2} + 49)$

Passaggio 1.7.6.3.2

Sottrai $63 t^{2}$ da $- 63 t^{2}$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (81 t^{4} - 126 t^{2} + 49)$

Passaggio 1.7.6.4

Applica la proprietà distributiva.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (81 t^{4}) + 6 t (- 126 t^{2}) + 6 t \cdot 49$

Passaggio 1.7.6.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.6.5.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 \cdot 81 t \cdot t^{4} + 6 t (- 126 t^{2}) + 6 t \cdot 49$

Passaggio 1.7.6.5.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 \cdot 81 t \cdot t^{4} + 6 \cdot - 126 t \cdot t^{2} + 6 t \cdot 49$

Passaggio 1.7.6.5.3

Moltiplica $49$ per $6$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 \cdot 81 t \cdot t^{4} + 6 \cdot - 126 t \cdot t^{2} + 294 t$

Passaggio 1.7.6.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.6.6.1

Moltiplica $t$ per $t^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.6.6.1.1

Sposta $t^{4}$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 \cdot 81 (t^{4} t) + 6 \cdot - 126 t \cdot t^{2} + 294 t$

Passaggio 1.7.6.6.1.2

Moltiplica $t^{4}$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.6.6.1.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 \cdot 81 (t^{4} t^{1}) + 6 \cdot - 126 t \cdot t^{2} + 294 t$

Passaggio 1.7.6.6.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 \cdot 81 t^{4 + 1} + 6 \cdot - 126 t \cdot t^{2} + 294 t$

Passaggio 1.7.6.6.1.3

Somma $4$ e $1$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 \cdot 81 t^{5} + 6 \cdot - 126 t \cdot t^{2} + 294 t$

Passaggio 1.7.6.6.2

Moltiplica $6$ per $81$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 486 t^{5} + 6 \cdot - 126 t \cdot t^{2} + 294 t$

Passaggio 1.7.6.6.3

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.6.6.3.1

Sposta $t^{2}$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 486 t^{5} + 6 \cdot - 126 (t^{2} t) + 294 t$

Passaggio 1.7.6.6.3.2

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.6.6.3.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 486 t^{5} + 6 \cdot - 126 (t^{2} t^{1}) + 294 t$

Passaggio 1.7.6.6.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 486 t^{5} + 6 \cdot - 126 t^{2 + 1} + 294 t$

Passaggio 1.7.6.6.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 486 t^{5} + 6 \cdot - 126 t^{3} + 294 t$

Passaggio 1.7.6.6.4

Moltiplica $6$ per $- 126$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 486 t^{5} - 756 t^{3} + 294 t$

Passaggio 1.7.7

Somma $972 t^{5}$ e $486 t^{5}$ .

$1458 t^{5} - 756 t^{3} - 756 t^{3} + 294 t$

Passaggio 1.7.8

Sottrai $756 t^{3}$ da $- 756 t^{3}$ .

$f' (t) = 1458 t^{5} - 1512 t^{3} + 294 t$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1458 t^{5} - 1512 t^{3} + 294 t$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [1458 t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 1512 t^{3}] + \frac{d}{d t} [294 t]$ .

$\frac{d}{d t} [1458 t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 1512 t^{3}] + \frac{d}{d t} [294 t]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d t} [1458 t^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $1458$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1458 t^{5}$ rispetto a $t$ è $1458 \frac{d}{d t} [t^{5}]$ .

$1458 \frac{d}{d t} [t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 1512 t^{3}] + \frac{d}{d t} [294 t]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$1458 (5 t^{4}) + \frac{d}{d t} [- 1512 t^{3}] + \frac{d}{d t} [294 t]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $5$ per $1458$ .

$7290 t^{4} + \frac{d}{d t} [- 1512 t^{3}] + \frac{d}{d t} [294 t]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d t} [- 1512 t^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1512$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 1512 t^{3}$ rispetto a $t$ è $- 1512 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$7290 t^{4} - 1512 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [294 t]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$7290 t^{4} - 1512 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [294 t]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $3$ per $- 1512$ .

$7290 t^{4} - 4536 t^{2} + \frac{d}{d t} [294 t]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d t} [294 t]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $294$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $294 t$ rispetto a $t$ è $294 \frac{d}{d t} [t]$ .

$7290 t^{4} - 4536 t^{2} + 294 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$7290 t^{4} - 4536 t^{2} + 294 \cdot 1$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $294$ per $1$ .

$f'' (t) = 7290 t^{4} - 4536 t^{2} + 294$

Passaggio 3

La derivata seconda di $g (t)$ rispetto a $t$ è $7290 t^{4} - 4536 t^{2} + 294$ .

$7290 t^{4} - 4536 t^{2} + 294$