Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2} + 5 x}{25 - x^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} + 5 x$ e $g (x) = 25 - x^{2}$ .

$\frac{(25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x] - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 5 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [5 x]) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5 \cdot 1) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $25 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.2.7

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.2.8

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.2.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.2.10

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 1 (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.2.10.2

Moltiplica $x^{2} + 5 x$ per $1$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.2.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (x^{2} + 5 x) (2 x)}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.2.12

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + 5 x$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 2 \cdot (x^{2} + 5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (2 x^{2} + 2 (5 x)) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Espandi $(25 - x^{2}) (2 x + 5)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{25 (2 x + 5) - x^{2} (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{25 (2 x) + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{25 (2 x) + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.2.1

Moltiplica $2$ per $25$ .

$\frac{50 x + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2.2

Moltiplica $25$ per $5$ .

$\frac{50 x + 125 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{50 x + 125 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.2.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{50 x + 125 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.2.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{50 x + 125 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{50 x + 125 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2.4.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{50 x + 125 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2.6

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.3.1

Sposta $x$ .

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{1 + 2} + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 (x \cdot x))}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.5

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2

Combina i termini opposti in $50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 10 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Somma $- 2 x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$\frac{50 x + 125 - 5 x^{2} + 0 + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2.2

Somma $50 x + 125 - 5 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{50 x + 125 - 5 x^{2} + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.3

Somma $- 5 x^{2}$ e $10 x^{2}$ .

$\frac{50 x + 125 + 5 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Riordina i termini.

$\frac{5 x^{2} + 50 x + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.3.5.1

Scomponi $5$ da $5 x^{2} + 50 x + 125$ .

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Passaggio 1.3.5.1.1

Scomponi $5$ da $5 x^{2}$ .

$\frac{5 (x^{2}) + 50 x + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.1.2

Scomponi $5$ da $50 x$ .

$\frac{5 (x^{2}) + 5 (10 x) + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.1.3

Scomponi $5$ da $125$ .

$\frac{5 x^{2} + 5 (10 x) + 5 \cdot 25}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.1.4

Scomponi $5$ da $5 x^{2} + 5 (10 x)$ .

$\frac{5 (x^{2} + 10 x) + 5 \cdot 25}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.1.5

Scomponi $5$ da $5 (x^{2} + 10 x) + 5 \cdot 25$ .

$\frac{5 (x^{2} + 10 x + 25)}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 1.3.5.2.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{5 (x^{2} + 10 x + 5^{2})}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Passaggio 1.3.5.2.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{5 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2})}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 5$ .

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.3.6.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(- x^{2} + 5^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.6.2

Riordina $- x^{2}$ e $5^{2}$ .

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(5^{2} - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.6.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 5$ e $b = x$ .

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{((5 + x) (5 - x))}^{2}}$

Passaggio 1.3.6.4

Applica la regola del prodotto a $(5 + x) (5 - x)$ .

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

Passaggio 1.3.7

Elimina il fattore comune di ${(x + 5)}^{2}$ e ${(5 + x)}^{2}$ .

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Passaggio 1.3.7.1

Riordina i termini.

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

Passaggio 1.3.7.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

Passaggio 1.3.7.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 2.1.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 - x)}^{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 - x)}^{2}}]$

Passaggio 2.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(5 - x)}^{2}}$ come ${({(5 - x)}^{2})}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{({(5 - x)}^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 2.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(5 - x)}^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{2 \cdot - 1}]$

Passaggio 2.1.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{- 2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = 5 - x$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 - x$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [5 - x])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$5 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [5 - x])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 - x$ .

$5 (- 2 {(5 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [5 - x])$

Passaggio 2.3

Differenzia.

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $- 2$ per $5$ .

$- 10 ({(5 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [5 - x])$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 10 {(5 - x)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 2.3.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 10 {(5 - x)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 2.3.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 10 {(5 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 {(5 - x)}^{- 3} (- \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $- 1$ per $- 10$ .

$10 {(5 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$10 {(5 - x)}^{- 3} \cdot 1$

Passaggio 2.3.8

Moltiplica $10$ per $1$ .

$10 {(5 - x)}^{- 3}$

Passaggio 2.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 \frac{1}{{(5 - x)}^{3}}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

$10$ e $\frac{1}{{(5 - x)}^{3}}$ .

$\frac{10}{{(5 - x)}^{3}}$

Passaggio 2.5.2

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{10}{{(- x + 5)}^{3}}$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{10}{{(- x + 5)}^{3}}$ .

$\frac{10}{{(- x + 5)}^{3}}$