Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} i + 2 x j + x k$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{2}{3} \cdot (x^{\frac{3}{2}} i) + 2 x j + x k$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} \cdot (x^{\frac{3}{2}} i)] + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} \cdot (x^{\frac{3}{2}} i)] + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} \cdot (x^{\frac{3}{2}} i)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

$x^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3} \cdot i] + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Passaggio 1.2.2

$\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ e $i$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 i}{3}] + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Passaggio 1.2.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 \cdot x^{\frac{3}{2}} i}{3}] + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Passaggio 1.2.4

Poiché $\frac{2 i}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x^{\frac{3}{2}} i}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{2 i}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{2 i}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Passaggio 1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{2 i}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Passaggio 1.2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 i}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Passaggio 1.2.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 i}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Passaggio 1.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 i}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Passaggio 1.2.9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 i}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Passaggio 1.2.9.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{2 i}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Passaggio 1.2.10

$\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 i}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Passaggio 1.2.11

Moltiplica $\frac{2 i}{3}$ per $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 i (3 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Passaggio 1.2.12

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6 i x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Passaggio 1.2.13

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6 i x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Passaggio 1.2.14

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 i x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Passaggio 1.2.15

Dividi $i x^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$i x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x j]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $2 j$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x j$ rispetto a $x$ è $2 j \frac{d}{d x} [x]$ .

$i x^{\frac{1}{2}} + 2 j \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x k]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$i x^{\frac{1}{2}} + 2 j \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x k]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$i x^{\frac{1}{2}} + 2 j + \frac{d}{d x} [x k]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [x k]$ .

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Passaggio 1.4.1

Poiché $k$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x k$ rispetto a $x$ è $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$i x^{\frac{1}{2}} + 2 j + k \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$i x^{\frac{1}{2}} + 2 j + k \cdot 1$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $k$ per $1$ .

$f' (x) = i x^{\frac{1}{2}} + 2 j + k$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $i x^{\frac{1}{2}} + 2 j + k$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [i x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$ .

$\frac{d}{d x} [i x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [i x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $i$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $i x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $i \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$i \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$i (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Passaggio 2.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$i (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Passaggio 2.2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$i (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Passaggio 2.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$i (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Passaggio 2.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$i (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Passaggio 2.2.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$i (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Passaggio 2.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$i (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Passaggio 2.2.8

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$i \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Passaggio 2.2.9

$i$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{i x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Passaggio 2.2.10

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $2 j$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 j$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0 + \frac{d}{d x} [k]$

Passaggio 2.3.2

Poiché $k$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $k$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0 + 0$

Passaggio 2.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 2.4.1

Somma $\frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$\frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $\frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}}$