Calcolo Esempi

$m (t) = - 2 {(6 t^{3} - 1)}^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 2 {(6 t^{3} - 1)}^{3}$ rispetto a $t$ è $- 2 \frac{d}{d t} [{(6 t^{3} - 1)}^{3}]$ .

$- 2 \frac{d}{d t} [{(6 t^{3} - 1)}^{3}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{3}$ e $g (t) = 6 t^{3} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $6 t^{3} - 1$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [6 t^{3} - 1])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 2 (3 u^{2} \frac{d}{d t} [6 t^{3} - 1])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $6 t^{3} - 1$ .

$- 2 (3 {(6 t^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [6 t^{3} - 1])$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$- 6 ({(6 t^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [6 t^{3} - 1])$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 t^{3} - 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [6 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$- 6 {(6 t^{3} - 1)}^{2} (\frac{d}{d t} [6 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Passaggio 1.3.3

Poiché $6$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $6 t^{3}$ rispetto a $t$ è $6 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$- 6 {(6 t^{3} - 1)}^{2} (6 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 6 {(6 t^{3} - 1)}^{2} (6 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [- 1])$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $3$ per $6$ .

$- 6 {(6 t^{3} - 1)}^{2} (18 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 1])$

Passaggio 1.3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$- 6 {(6 t^{3} - 1)}^{2} (18 t^{2} + 0)$

Passaggio 1.3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.1

Somma $18 t^{2}$ e $0$ .

$- 6 {(6 t^{3} - 1)}^{2} (18 t^{2})$

Passaggio 1.3.7.2

Moltiplica $18$ per $- 6$ .

$- 108 {(6 t^{3} - 1)}^{2} t^{2}$

Passaggio 1.3.7.3

Riordina i fattori di $- 108 {(6 t^{3} - 1)}^{2} t^{2}$ .

$f' (t) = - 108 t^{2} {(6 t^{3} - 1)}^{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- 108$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 108 t^{2} {(6 t^{3} - 1)}^{2}$ rispetto a $t$ è $- 108 \frac{d}{d t} [t^{2} {(6 t^{3} - 1)}^{2}]$ .

$- 108 \frac{d}{d t} [t^{2} {(6 t^{3} - 1)}^{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = {(6 t^{3} - 1)}^{2}$ .

$- 108 (t^{2} \frac{d}{d t} [{(6 t^{3} - 1)}^{2}] + {(6 t^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = 6 t^{3} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $6 t^{3} - 1$ .

$- 108 (t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [6 t^{3} - 1]) + {(6 t^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 108 (t^{2} (2 u \frac{d}{d t} [6 t^{3} - 1]) + {(6 t^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $6 t^{3} - 1$ .

$- 108 (t^{2} (2 (6 t^{3} - 1) \frac{d}{d t} [6 t^{3} - 1]) + {(6 t^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 t^{3} - 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [6 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$- 108 (t^{2} (2 (6 t^{3} - 1) (\frac{d}{d t} [6 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(6 t^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Passaggio 2.4.2

Poiché $6$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $6 t^{3}$ rispetto a $t$ è $6 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$- 108 (t^{2} (2 (6 t^{3} - 1) (6 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(6 t^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Passaggio 2.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 108 (t^{2} (2 (6 t^{3} - 1) (6 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(6 t^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Passaggio 2.4.4

Moltiplica $3$ per $6$ .

$- 108 (t^{2} (2 (6 t^{3} - 1) (18 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(6 t^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Passaggio 2.4.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$- 108 (t^{2} (2 (6 t^{3} - 1) (18 t^{2} + 0)) + {(6 t^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Passaggio 2.4.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.1

Somma $18 t^{2}$ e $0$ .

$- 108 (t^{2} (2 (6 t^{3} - 1) (18 t^{2})) + {(6 t^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Passaggio 2.4.6.2

Moltiplica $18$ per $2$ .

$- 108 (t^{2} (36 (6 t^{3} - 1) t^{2}) + {(6 t^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Passaggio 2.5

Moltiplica $t^{2}$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Sposta $t^{2}$ .

$- 108 (t^{2} t^{2} (36 (6 t^{3} - 1)) + {(6 t^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Passaggio 2.5.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 108 (t^{2 + 2} (36 (6 t^{3} - 1)) + {(6 t^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Passaggio 2.5.3

Somma $2$ e $2$ .

$- 108 (t^{4} (36 (6 t^{3} - 1)) + {(6 t^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 108 (t^{4} (36 (6 t^{3} - 1)) + {(6 t^{3} - 1)}^{2} (2 t))$

Passaggio 2.7

Sposta $2$ alla sinistra di ${(6 t^{3} - 1)}^{2}$ .

$- 108 (t^{4} (36 (6 t^{3} - 1)) + 2 \cdot {(6 t^{3} - 1)}^{2} t)$

Passaggio 2.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 108 (t^{4} (36 (6 t^{3}) + 36 \cdot - 1) + 2 {(6 t^{3} - 1)}^{2} t)$

Passaggio 2.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 108 (t^{4} (36 (6 t^{3})) + t^{4} (36 \cdot - 1) + 2 {(6 t^{3} - 1)}^{2} t)$

Passaggio 2.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 108 (t^{4} (36 (6 t^{3}))) - 108 (t^{4} (36 \cdot - 1)) - 108 (2 {(6 t^{3} - 1)}^{2} t)$

Passaggio 2.8.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.4.1

Moltiplica $6$ per $36$ .

$- 108 (t^{4} (216 t^{3})) - 108 (t^{4} (36 \cdot - 1)) - 108 (2 {(6 t^{3} - 1)}^{2} t)$

Passaggio 2.8.4.2

Moltiplica $t^{4}$ per $t^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.4.2.1

Sposta $t^{3}$ .

$- 108 (t^{3} t^{4} \cdot 216) - 108 (t^{4} (36 \cdot - 1)) - 108 (2 {(6 t^{3} - 1)}^{2} t)$

Passaggio 2.8.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 108 (t^{3 + 4} \cdot 216) - 108 (t^{4} (36 \cdot - 1)) - 108 (2 {(6 t^{3} - 1)}^{2} t)$

Passaggio 2.8.4.2.3

Somma $3$ e $4$ .

$- 108 (t^{7} \cdot 216) - 108 (t^{4} (36 \cdot - 1)) - 108 (2 {(6 t^{3} - 1)}^{2} t)$

Passaggio 2.8.4.3

Sposta $216$ alla sinistra di $t^{7}$ .

$- 108 (216 \cdot t^{7}) - 108 (t^{4} (36 \cdot - 1)) - 108 (2 {(6 t^{3} - 1)}^{2} t)$

Passaggio 2.8.4.4

Moltiplica $216$ per $- 108$ .

$- 23328 t^{7} - 108 (t^{4} (36 \cdot - 1)) - 108 (2 {(6 t^{3} - 1)}^{2} t)$

Passaggio 2.8.4.5

Moltiplica $36$ per $- 1$ .

$- 23328 t^{7} - 108 (t^{4} \cdot - 36) - 108 (2 {(6 t^{3} - 1)}^{2} t)$

Passaggio 2.8.4.6

Sposta $- 36$ alla sinistra di $t^{4}$ .

$- 23328 t^{7} - 108 (- 36 \cdot t^{4}) - 108 (2 {(6 t^{3} - 1)}^{2} t)$

Passaggio 2.8.4.7

Moltiplica $- 36$ per $- 108$ .

$- 23328 t^{7} + 3888 t^{4} - 108 (2 {(6 t^{3} - 1)}^{2} t)$

Passaggio 2.8.4.8

Moltiplica $2$ per $- 108$ .

$- 23328 t^{7} + 3888 t^{4} - 216 {(6 t^{3} - 1)}^{2} t$

Passaggio 2.8.5

Riordina i termini.

$- 23328 t^{7} + 3888 t^{4} - 216 t {(6 t^{3} - 1)}^{2}$

Passaggio 2.8.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.6.1

Riscrivi ${(6 t^{3} - 1)}^{2}$ come $(6 t^{3} - 1) (6 t^{3} - 1)$ .

$- 23328 t^{7} + 3888 t^{4} - 216 t ((6 t^{3} - 1) (6 t^{3} - 1))$

Passaggio 2.8.6.2

Espandi $(6 t^{3} - 1) (6 t^{3} - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.6.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 23328 t^{7} + 3888 t^{4} - 216 t (6 t^{3} (6 t^{3} - 1) - 1 (6 t^{3} - 1))$

Passaggio 2.8.6.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 23328 t^{7} + 3888 t^{4} - 216 t (6 t^{3} (6 t^{3}) + 6 t^{3} \cdot - 1 - 1 (6 t^{3} - 1))$

Passaggio 2.8.6.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 23328 t^{7} + 3888 t^{4} - 216 t (6 t^{3} (6 t^{3}) + 6 t^{3} \cdot - 1 - 1 (6 t^{3}) - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 2.8.6.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.6.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.6.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 23328 t^{7} + 3888 t^{4} - 216 t (6 \cdot 6 t^{3} t^{3} + 6 t^{3} \cdot - 1 - 1 (6 t^{3}) - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 2.8.6.3.1.2

Moltiplica $t^{3}$ per $t^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.6.3.1.2.1

Sposta $t^{3}$ .

$- 23328 t^{7} + 3888 t^{4} - 216 t (6 \cdot 6 (t^{3} t^{3}) + 6 t^{3} \cdot - 1 - 1 (6 t^{3}) - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 2.8.6.3.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 23328 t^{7} + 3888 t^{4} - 216 t (6 \cdot 6 t^{3 + 3} + 6 t^{3} \cdot - 1 - 1 (6 t^{3}) - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 2.8.6.3.1.2.3

Somma $3$ e $3$ .

$- 23328 t^{7} + 3888 t^{4} - 216 t (6 \cdot 6 t^{6} + 6 t^{3} \cdot - 1 - 1 (6 t^{3}) - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 2.8.6.3.1.3

Moltiplica $6$ per $6$ .

$- 23328 t^{7} + 3888 t^{4} - 216 t (36 t^{6} + 6 t^{3} \cdot - 1 - 1 (6 t^{3}) - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 2.8.6.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$- 23328 t^{7} + 3888 t^{4} - 216 t (36 t^{6} - 6 t^{3} - 1 (6 t^{3}) - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 2.8.6.3.1.5

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$- 23328 t^{7} + 3888 t^{4} - 216 t (36 t^{6} - 6 t^{3} - 6 t^{3} - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 2.8.6.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- 23328 t^{7} + 3888 t^{4} - 216 t (36 t^{6} - 6 t^{3} - 6 t^{3} + 1)$

Passaggio 2.8.6.3.2

Sottrai $6 t^{3}$ da $- 6 t^{3}$ .

$- 23328 t^{7} + 3888 t^{4} - 216 t (36 t^{6} - 12 t^{3} + 1)$

Passaggio 2.8.6.4

Applica la proprietà distributiva.

$- 23328 t^{7} + 3888 t^{4} - 216 t (36 t^{6}) - 216 t (- 12 t^{3}) - 216 t \cdot 1$

Passaggio 2.8.6.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.6.5.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 23328 t^{7} + 3888 t^{4} - 216 \cdot 36 t \cdot t^{6} - 216 t (- 12 t^{3}) - 216 t \cdot 1$

Passaggio 2.8.6.5.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 23328 t^{7} + 3888 t^{4} - 216 \cdot 36 t \cdot t^{6} - 216 \cdot - 12 t \cdot t^{3} - 216 t \cdot 1$

Passaggio 2.8.6.5.3

Moltiplica $- 216$ per $1$ .

$- 23328 t^{7} + 3888 t^{4} - 216 \cdot 36 t \cdot t^{6} - 216 \cdot - 12 t \cdot t^{3} - 216 t$

Passaggio 2.8.6.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.6.6.1

Moltiplica $t$ per $t^{6}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.6.6.1.1

Sposta $t^{6}$ .

$- 23328 t^{7} + 3888 t^{4} - 216 \cdot 36 (t^{6} t) - 216 \cdot - 12 t \cdot t^{3} - 216 t$

Passaggio 2.8.6.6.1.2

Moltiplica $t^{6}$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.6.6.1.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$- 23328 t^{7} + 3888 t^{4} - 216 \cdot 36 (t^{6} t^{1}) - 216 \cdot - 12 t \cdot t^{3} - 216 t$

Passaggio 2.8.6.6.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 23328 t^{7} + 3888 t^{4} - 216 \cdot 36 t^{6 + 1} - 216 \cdot - 12 t \cdot t^{3} - 216 t$

Passaggio 2.8.6.6.1.3

Somma $6$ e $1$ .

$- 23328 t^{7} + 3888 t^{4} - 216 \cdot 36 t^{7} - 216 \cdot - 12 t \cdot t^{3} - 216 t$

Passaggio 2.8.6.6.2

Moltiplica $- 216$ per $36$ .

$- 23328 t^{7} + 3888 t^{4} - 7776 t^{7} - 216 \cdot - 12 t \cdot t^{3} - 216 t$

Passaggio 2.8.6.6.3

Moltiplica $t$ per $t^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.6.6.3.1

Sposta $t^{3}$ .

$- 23328 t^{7} + 3888 t^{4} - 7776 t^{7} - 216 \cdot - 12 (t^{3} t) - 216 t$

Passaggio 2.8.6.6.3.2

Moltiplica $t^{3}$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.6.6.3.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$- 23328 t^{7} + 3888 t^{4} - 7776 t^{7} - 216 \cdot - 12 (t^{3} t^{1}) - 216 t$

Passaggio 2.8.6.6.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 23328 t^{7} + 3888 t^{4} - 7776 t^{7} - 216 \cdot - 12 t^{3 + 1} - 216 t$

Passaggio 2.8.6.6.3.3

Somma $3$ e $1$ .

$- 23328 t^{7} + 3888 t^{4} - 7776 t^{7} - 216 \cdot - 12 t^{4} - 216 t$

Passaggio 2.8.6.6.4

Moltiplica $- 216$ per $- 12$ .

$- 23328 t^{7} + 3888 t^{4} - 7776 t^{7} + 2592 t^{4} - 216 t$

Passaggio 2.8.7

Sottrai $7776 t^{7}$ da $- 23328 t^{7}$ .

$- 31104 t^{7} + 3888 t^{4} + 2592 t^{4} - 216 t$

Passaggio 2.8.8

Somma $3888 t^{4}$ e $2592 t^{4}$ .

$f'' (t) = - 31104 t^{7} + 6480 t^{4} - 216 t$

Passaggio 3

La derivata seconda di $m (t)$ rispetto a $t$ è $- 31104 t^{7} + 6480 t^{4} - 216 t$ .

$- 31104 t^{7} + 6480 t^{4} - 216 t$