Calcolo Esempi

$f (x) = (4 x^{2} + 3 x) \cos (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 4 x^{2} + 3 x$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$(4 x^{2} + 3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3 x]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$(4 x^{2} + 3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3 x]$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} + 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$(4 x^{2} + 3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 1.3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(4 x^{2} + 3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(4 x^{2} + 3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $2$ per $4$ .

$(4 x^{2} + 3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x + \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 1.3.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x^{2} + 3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x + 3 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(4 x^{2} + 3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x + 3 \cdot 1)$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $3$ per $1$ .

$(4 x^{2} + 3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x + 3)$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} (- \sin (x)) + 3 x (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x + 3)$

Passaggio 1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} (- \sin (x)) + 3 x (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x) + \cos (x) \cdot 3$

Passaggio 1.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 4 x^{2} \sin (x) + 3 x (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x) + \cos (x) \cdot 3$

Passaggio 1.4.3.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 4 x^{2} \sin (x) - 3 x \sin (x) + \cos (x) (8 x) + \cos (x) \cdot 3$

Passaggio 1.4.3.3

Sposta $3$ alla sinistra di $\cos (x)$ .

$- 4 x^{2} \sin (x) - 3 x \sin (x) + \cos (x) (8 x) + 3 \cos (x)$

Passaggio 1.4.4

Riordina i termini.

$f' (x) = - 4 x^{2} \sin (x) - 3 x \sin (x) + 8 x \cos (x) + 3 \cos (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 4 x^{2} \sin (x) - 3 x \sin (x) + 8 x \cos (x) + 3 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{2} \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$- 4 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 3 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 \frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 2.3.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x \cos (x)$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 2.4.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 2.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 2.4.5

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Passaggio 2.5

Calcola $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 2.5.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + 3 (- \sin (x))$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 3 \sin (x)$

Passaggio 2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 4 (x^{2} \cos (x)) - 4 (\sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 3 \sin (x)$

Passaggio 2.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 4 (x^{2} \cos (x)) - 4 (\sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x)) - 3 \sin (x) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 3 \sin (x)$

Passaggio 2.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 4 (x^{2} \cos (x)) - 4 (\sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x)) - 3 \sin (x) + 8 (x (- \sin (x))) + 8 \cos (x) - 3 \sin (x)$

Passaggio 2.6.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$- 4 x^{2} \cos (x) - 8 (\sin (x) (x)) - 3 (x \cos (x)) - 3 \sin (x) + 8 (x (- \sin (x))) + 8 \cos (x) - 3 \sin (x)$

Passaggio 2.6.4.2

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$- 4 x^{2} \cos (x) - 8 \sin (x) x - 3 x \cos (x) - 3 \sin (x) - 8 (x (\sin (x))) + 8 \cos (x) - 3 \sin (x)$

Passaggio 2.6.4.3

Sottrai $8 x \sin (x)$ da $- 8 \sin (x) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.3.1

Sposta $\sin (x)$ .

$- 4 x^{2} \cos (x) - 8 x \sin (x) - 8 x \sin (x) - 3 x \cos (x) - 3 \sin (x) + 8 \cos (x) - 3 \sin (x)$

Passaggio 2.6.4.3.2

Sottrai $8 x \sin (x)$ da $- 8 x \sin (x)$ .

$- 4 x^{2} \cos (x) - 16 x \sin (x) - 3 x \cos (x) - 3 \sin (x) + 8 \cos (x) - 3 \sin (x)$

Passaggio 2.6.4.4

Sottrai $3 \sin (x)$ da $- 3 \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 4 x^{2} \cos (x) - 16 x \sin (x) - 3 x \cos (x) - 6 \sin (x) + 8 \cos (x)$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 4 x^{2} \cos (x) - 16 x \sin (x) - 3 x \cos (x) - 6 \sin (x) + 8 \cos (x)$ .

$- 4 x^{2} \cos (x) - 16 x \sin (x) - 3 x \cos (x) - 6 \sin (x) + 8 \cos (x)$