Calcolo Esempi

$f (x) = - 8 x^{2} - 6 \sqrt[3]{x} + 5$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 8 x^{2} - 6 \sqrt[3]{x} + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$- 16 x + \frac{d}{d x} [- 6 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 \sqrt[3]{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$- 16 x + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.3.2

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$- 16 x - 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$- 16 x - 6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.3.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- 16 x - 6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.3.5

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$- 16 x - 6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 16 x - 6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.3.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 16 x - 6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.3.7.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$- 16 x - 6 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 16 x - 6 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.3.9

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$- 16 x - 6 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.3.10

$- 6$ e $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$- 16 x + \frac{- 6 x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.3.11

Sposta $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 16 x + \frac{- 6}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.3.12

Scomponi $3$ da $- 6$ .

$- 16 x + \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.3.13

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.13.1

Scomponi $3$ da $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$- 16 x + \frac{3 \cdot - 2}{3 (x^{\frac{2}{3}})} + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.3.13.2

Elimina il fattore comune.

$- 16 x + \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.3.13.3

Riscrivi l'espressione.

$- 16 x + \frac{- 2}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.3.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 16 x - \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 16 x - \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $- 16 x - \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$ e $0$ .

$f' (x) = - 16 x - \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 16 x - \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16 x$ rispetto a $x$ è $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $- 16$ per $1$ .

$- 16 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$- 16 - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ come ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$- 16 - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- 16 - 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- 16 - 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- 16 - 2 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$- 16 - 2 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 16 - 2 (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Passaggio 2.3.5.2

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1

$\frac{2}{3}$ e $- 2$ .

$- 16 - 2 (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Passaggio 2.3.5.2.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- 16 - 2 (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Passaggio 2.3.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 16 - 2 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Passaggio 2.3.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- 16 - 2 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Passaggio 2.3.7

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$- 16 - 2 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 2.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 16 - 2 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 2.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 16 - 2 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

Passaggio 2.3.9.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$- 16 - 2 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

Passaggio 2.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 16 - 2 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

Passaggio 2.3.11

$\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$- 16 - 2 (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Passaggio 2.3.12

$\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ e $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$- 16 - 2 (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Passaggio 2.3.13

Moltiplica $x^{- \frac{1}{3}}$ per $x^{- \frac{4}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.13.1

Sposta $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$- 16 - 2 (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

Passaggio 2.3.13.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 16 - 2 (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

Passaggio 2.3.13.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 16 - 2 (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

Passaggio 2.3.13.4

Sottrai $1$ da $- 4$ .

$- 16 - 2 (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

Passaggio 2.3.13.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 16 - 2 (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

Passaggio 2.3.14

Sposta $x^{- \frac{5}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 16 - 2 (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Passaggio 2.3.15

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$- 16 + 2 \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 2.3.16

$2$ e $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$- 16 + \frac{2 \cdot 2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 2.3.17

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = - 16 + \frac{4}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 16 + \frac{4}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$- 16 + \frac{4}{3 x^{\frac{5}{3}}}$