Calcolo Esempi

$f (x) = 4 \tan (3 x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \tan (3 x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\tan (u)$ rispetto a $u$ è $\sec^{2} (u)$ .

$4 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$4 (\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12 \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 \sec^{2} (3 x) \cdot 1$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $12$ per $1$ .

$f' (x) = 12 \sec^{2} (3 x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 \sec^{2} (3 x)$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x)]$ .

$12 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (3 x)$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sec (3 x)$ .

$12 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (3 x)])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$12 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sec (3 x)$ .

$12 (2 \sec (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)])$

Passaggio 2.3

Moltiplica $2$ per $12$ .

$24 (\sec (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 x$ .

$24 \sec (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 2.4.2

La derivata di $\sec (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$24 \sec (3 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x$ .

$24 \sec (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 2.5

Eleva $\sec (3 x)$ alla potenza di $1$ .

$24 (\sec^{1} (3 x) \sec (3 x)) (\tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 2.6

Eleva $\sec (3 x)$ alla potenza di $1$ .

$24 (\sec^{1} (3 x) \sec^{1} (3 x)) (\tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$24 {\sec (3 x)}^{1 + 1} (\tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 2.8

Somma $1$ e $1$ .

$24 \sec^{2} (3 x) (\tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 2.9

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.10

Moltiplica $3$ per $24$ .

$72 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$72 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x) \cdot 1$

Passaggio 2.12

Moltiplica $72$ per $1$ .

$f'' (x) = 72 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $72 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$ .

$72 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$