Calcolo Esempi

$g (x) = 8 x {(2 x - 5)}^{9}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x {(2 x - 5)}^{9}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x {(2 x - 5)}^{9}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x {(2 x - 5)}^{9}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(2 x - 5)}^{9}$ .

$8 (x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{9}] + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{9}$ e $g (x) = 2 x - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x - 5$ .

$8 (x (\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 9$ .

$8 (x (9 u^{8} \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x - 5$ .

$8 (x (9 {(2 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$8 (x (9 {(2 x - 5)}^{8} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (x (9 {(2 x - 5)}^{8} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 (x (9 {(2 x - 5)}^{8} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$8 (x (9 {(2 x - 5)}^{8} (2 + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.5

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$8 (x (9 {(2 x - 5)}^{8} (2 + 0)) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.6.1

Somma $2$ e $0$ .

$8 (x (9 {(2 x - 5)}^{8} \cdot 2) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.6.2

Moltiplica $2$ per $9$ .

$8 (x (18 {(2 x - 5)}^{8}) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 (x (18 {(2 x - 5)}^{8}) + {(2 x - 5)}^{9} \cdot 1)$

Passaggio 1.4.8

Moltiplica ${(2 x - 5)}^{9}$ per $1$ .

$8 (x (18 {(2 x - 5)}^{8}) + {(2 x - 5)}^{9})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$8 (x (18 {(2 x - 5)}^{8})) + 8 {(2 x - 5)}^{9}$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $18$ per $8$ .

$144 (x ({(2 x - 5)}^{8})) + 8 {(2 x - 5)}^{9}$

Passaggio 1.5.3

Scomponi $8 {(2 x - 5)}^{8}$ da $144 x {(2 x - 5)}^{8} + 8 {(2 x - 5)}^{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Scomponi $8 {(2 x - 5)}^{8}$ da $144 x {(2 x - 5)}^{8}$ .

$8 {(2 x - 5)}^{8} (18 x) + 8 {(2 x - 5)}^{9}$

Passaggio 1.5.3.2

Scomponi $8 {(2 x - 5)}^{8}$ da $8 {(2 x - 5)}^{9}$ .

$8 {(2 x - 5)}^{8} (18 x) + 8 {(2 x - 5)}^{8} (2 x - 5)$

Passaggio 1.5.3.3

Scomponi $8 {(2 x - 5)}^{8}$ da $8 {(2 x - 5)}^{8} (18 x) + 8 {(2 x - 5)}^{8} (2 x - 5)$ .

$8 {(2 x - 5)}^{8} (18 x + 2 x - 5)$

Passaggio 1.5.4

Somma $18 x$ e $2 x$ .

$f' (x) = 8 {(2 x - 5)}^{8} (20 x - 5)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 {(2 x - 5)}^{8} (20 x - 5)$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8} (20 x - 5)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8} (20 x - 5)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = {(2 x - 5)}^{8}$ e $g (x) = 20 x - 5$ .

$8 ({(2 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [20 x - 5] + (20 x - 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8}])$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $20 x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$8 ({(2 x - 5)}^{8} (\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (20 x - 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8}])$

Passaggio 2.3.2

Poiché $20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $20 x$ rispetto a $x$ è $20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 ({(2 x - 5)}^{8} (20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (20 x - 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8}])$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 ({(2 x - 5)}^{8} (20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (20 x - 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8}])$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $20$ per $1$ .

$8 ({(2 x - 5)}^{8} (20 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (20 x - 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8}])$

Passaggio 2.3.5

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$8 ({(2 x - 5)}^{8} (20 + 0) + (20 x - 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8}])$

Passaggio 2.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Somma $20$ e $0$ .

$8 ({(2 x - 5)}^{8} \cdot 20 + (20 x - 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8}])$

Passaggio 2.3.6.2

Sposta $20$ alla sinistra di ${(2 x - 5)}^{8}$ .

$8 (20 \cdot {(2 x - 5)}^{8} + (20 x - 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8}])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{8}$ e $g (x) = 2 x - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x - 5$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + (20 x - 5) (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [2 x - 5]))$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 8$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + (20 x - 5) (8 u^{7} \frac{d}{d x} [2 x - 5]))$

Passaggio 2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x - 5$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + (20 x - 5) (8 {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [2 x - 5]))$

Passaggio 2.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Sposta $8$ alla sinistra di $20 x - 5$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + 8 \cdot (20 x - 5) {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Passaggio 2.5.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + 8 (20 x - 5) {(2 x - 5)}^{7} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Passaggio 2.5.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + 8 (20 x - 5) {(2 x - 5)}^{7} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Passaggio 2.5.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + 8 (20 x - 5) {(2 x - 5)}^{7} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Passaggio 2.5.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + 8 (20 x - 5) {(2 x - 5)}^{7} (2 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Passaggio 2.5.6

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + 8 (20 x - 5) {(2 x - 5)}^{7} (2 + 0))$

Passaggio 2.5.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.7.1

Somma $2$ e $0$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + 8 (20 x - 5) {(2 x - 5)}^{7} \cdot 2)$

Passaggio 2.5.7.2

Moltiplica $2$ per $8$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + 16 (20 x - 5) {(2 x - 5)}^{7})$

Passaggio 2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + (16 (20 x) + 16 \cdot - 5) {(2 x - 5)}^{7})$

Passaggio 2.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8}) + 8 ((16 (20 x) + 16 \cdot - 5) {(2 x - 5)}^{7})$

Passaggio 2.6.3

Moltiplica $20$ per $8$ .

$160 {(2 x - 5)}^{8} + 8 ((16 (20 x) + 16 \cdot - 5) {(2 x - 5)}^{7})$

Passaggio 2.6.4

Moltiplica $20$ per $16$ .

$160 {(2 x - 5)}^{8} + 8 ((320 x + 16 \cdot - 5) {(2 x - 5)}^{7})$

Passaggio 2.6.5

Moltiplica $16$ per $- 5$ .

$160 {(2 x - 5)}^{8} + 8 ((320 x - 80) {(2 x - 5)}^{7})$

Passaggio 2.6.6

Scomponi $8 {(2 x - 5)}^{7}$ da $160 {(2 x - 5)}^{8} + 8 (320 x - 80) {(2 x - 5)}^{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.6.1

Scomponi $8 {(2 x - 5)}^{7}$ da $160 {(2 x - 5)}^{8}$ .

$8 {(2 x - 5)}^{7} (20 (2 x - 5)) + 8 (320 x - 80) {(2 x - 5)}^{7}$

Passaggio 2.6.6.2

Scomponi $8 {(2 x - 5)}^{7}$ da $8 (320 x - 80) {(2 x - 5)}^{7}$ .

$8 {(2 x - 5)}^{7} (20 (2 x - 5)) + 8 {(2 x - 5)}^{7} (320 x - 80)$

Passaggio 2.6.6.3

Scomponi $8 {(2 x - 5)}^{7}$ da $8 {(2 x - 5)}^{7} (20 (2 x - 5)) + 8 {(2 x - 5)}^{7} (320 x - 80)$ .

$f'' (x) = 8 {(2 x - 5)}^{7} (20 (2 x - 5) + 320 x - 80)$

Passaggio 3

La derivata seconda di $g (x)$ rispetto a $x$ è $8 {(2 x - 5)}^{7} (20 (2 x - 5) + 320 x - 80)$ .

$8 {(2 x - 5)}^{7} (20 (2 x - 5) + 320 x - 80)$