Calcolo Esempi

$y (x) = (9 x^{2} - 7 x) (18 x - \frac{97}{x})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 9 x^{2} - 7 x$ e $g (x) = 18 x - \frac{97}{x}$ .

$(9 x^{2} - 7 x) \frac{d}{d x} [18 x - \frac{97}{x}] + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $18 x - \frac{97}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (\frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $18 x$ rispetto a $x$ è $18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $18$ per $1$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Passaggio 1.2.5

Poiché $- 97$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{97}{x}$ rispetto a $x$ è $- 97 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 - 97 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Passaggio 1.2.6

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 - 97 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Passaggio 1.2.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 - 97 (- x^{- 2})) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Passaggio 1.2.8

Moltiplica $- 1$ per $- 97$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Passaggio 1.2.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x^{2} - 7 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Passaggio 1.2.10

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Passaggio 1.2.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Passaggio 1.2.12

Moltiplica $2$ per $9$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Passaggio 1.2.13

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7 x$ rispetto a $x$ è $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.14

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7 \cdot 1)$

Passaggio 1.2.15

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7)$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 \frac{1}{x^{2}}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7)$

Passaggio 1.3.2

$97$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + \frac{97}{x^{2}}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7)$

Passaggio 1.3.3

Riordina i termini.

$(18 + \frac{97}{x^{2}}) (9 x^{2} - 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Passaggio 1.3.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Espandi $(18 + \frac{97}{x^{2}}) (9 x^{2} - 7 x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$18 (9 x^{2} - 7 x) + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2} - 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Passaggio 1.3.4.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$18 (9 x^{2}) + 18 (- 7 x) + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2} - 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Passaggio 1.3.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$18 (9 x^{2}) + 18 (- 7 x) + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2}) + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Passaggio 1.3.4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Moltiplica $9$ per $18$ .

$162 x^{2} + 18 (- 7 x) + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2}) + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Passaggio 1.3.4.2.2

Moltiplica $- 7$ per $18$ .

$162 x^{2} - 126 x + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2}) + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Passaggio 1.3.4.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$162 x^{2} - 126 x + 9 \frac{97}{x^{2}} x^{2} + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Passaggio 1.3.4.2.4

Moltiplica $9 \frac{97}{x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.4.1

$9$ e $\frac{97}{x^{2}}$ .

$162 x^{2} - 126 x + \frac{9 \cdot 97}{x^{2}} x^{2} + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Passaggio 1.3.4.2.4.2

Moltiplica $9$ per $97$ .

$162 x^{2} - 126 x + \frac{873}{x^{2}} x^{2} + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Passaggio 1.3.4.2.5

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$162 x^{2} - 126 x + \frac{873}{x^{2}} x^{2} + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Passaggio 1.3.4.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Passaggio 1.3.4.2.6

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - 7 \frac{97}{x^{2}} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Passaggio 1.3.4.2.7

Moltiplica $- 7 \frac{97}{x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.7.1

$- 7$ e $\frac{97}{x^{2}}$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 7 \cdot 97}{x^{2}} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Passaggio 1.3.4.2.7.2

Moltiplica $- 7$ per $97$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 679}{x^{2}} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Passaggio 1.3.4.2.8

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.8.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 679}{x \cdot x} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Passaggio 1.3.4.2.8.2

Elimina il fattore comune.

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 679}{x \cdot x} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Passaggio 1.3.4.2.8.3

Riscrivi l'espressione.

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 679}{x} + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Passaggio 1.3.4.2.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Passaggio 1.3.4.3

Espandi $(18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 x (18 x - \frac{97}{x}) - 7 (18 x - \frac{97}{x})$

Passaggio 1.3.4.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 x (18 x) + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x - \frac{97}{x})$

Passaggio 1.3.4.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 x (18 x) + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Passaggio 1.3.4.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.4.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 \cdot 18 x \cdot x + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Passaggio 1.3.4.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.4.2.1

Sposta $x$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 \cdot 18 (x \cdot x) + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Passaggio 1.3.4.4.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 \cdot 18 x^{2} + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Passaggio 1.3.4.4.3

Moltiplica $18$ per $18$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Passaggio 1.3.4.4.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.4.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{97}{x}$ nel numeratore.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + 18 x \frac{- 97}{x} - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Passaggio 1.3.4.4.4.2

Scomponi $x$ da $18 x$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + x \cdot 18 \frac{- 97}{x} - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Passaggio 1.3.4.4.4.3

Elimina il fattore comune.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + x \cdot 18 \frac{- 97}{x} - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Passaggio 1.3.4.4.4.4

Riscrivi l'espressione.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + 18 \cdot - 97 - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Passaggio 1.3.4.4.5

Moltiplica $18$ per $- 97$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Passaggio 1.3.4.4.6

Moltiplica $18$ per $- 7$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x - 7 (- \frac{97}{x})$

Passaggio 1.3.4.4.7

Moltiplica $- 7 (- \frac{97}{x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.4.7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 7$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + 7 \frac{97}{x}$

Passaggio 1.3.4.4.7.2

$7$ e $\frac{97}{x}$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + \frac{7 \cdot 97}{x}$

Passaggio 1.3.4.4.7.3

Moltiplica $7$ per $97$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + \frac{679}{x}$

Passaggio 1.3.5

Combina i termini opposti in $162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + \frac{679}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Somma $- \frac{679}{x}$ e $\frac{679}{x}$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + 0$

Passaggio 1.3.5.2

Somma $162 x^{2} - 126 x + 873 + 324 x^{2} - 1746 - 126 x$ e $0$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 + 324 x^{2} - 1746 - 126 x$

Passaggio 1.3.6

Somma $162 x^{2}$ e $324 x^{2}$ .

$486 x^{2} - 126 x + 873 - 1746 - 126 x$

Passaggio 1.3.7

Sottrai $126 x$ da $- 126 x$ .

$486 x^{2} - 252 x + 873 - 1746$

Passaggio 1.3.8

Sottrai $1746$ da $873$ .

$f' (x) = 486 x^{2} - 252 x - 873$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $486 x^{2} - 252 x - 873$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [486 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$ .

$\frac{d}{d x} [486 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [486 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $486$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $486 x^{2}$ rispetto a $x$ è $486 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$486 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$486 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $486$ .

$972 x + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 252 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 252$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 252 x$ rispetto a $x$ è $- 252 \frac{d}{d x} [x]$ .

$972 x - 252 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$972 x - 252 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 873]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 252$ per $1$ .

$972 x - 252 + \frac{d}{d x} [- 873]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 873$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 873$ rispetto a $x$ è $0$ .

$972 x - 252 + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $972 x - 252$ e $0$ .

$f'' (x) = 972 x - 252$

Passaggio 3

La derivata seconda di $y (x)$ rispetto a $x$ è $972 x - 252$ .

$972 x - 252$