Calcolo Esempi

$f (y) = (\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (y + 3 y^{3})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = \frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}$ e $g (y) = y + 3 y^{3}$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) \frac{d}{d y} [y + 3 y^{3}] + (y + 3 y^{3}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 3 y^{3}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y^{3}]$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y^{3}]) + (y + 3 y^{3}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + \frac{d}{d y} [3 y^{3}]) + (y + 3 y^{3}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}]$

Passaggio 1.2.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3 y^{3}$ rispetto a $y$ è $3 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 3 \frac{d}{d y} [y^{3}]) + (y + 3 y^{3}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}]$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 3 (3 y^{2})) + (y + 3 y^{3}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}]$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $3$ per $3$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}]$

Passaggio 1.2.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [- \frac{5}{y^{4}}]$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [- \frac{5}{y^{4}}])$

Passaggio 1.2.7

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Riscrivi $\frac{1}{y^{2}}$ come ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (\frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [- \frac{5}{y^{4}}])$

Passaggio 1.2.7.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (\frac{d}{d y} [y^{2 \cdot - 1}] + \frac{d}{d y} [- \frac{5}{y^{4}}])$

Passaggio 1.2.7.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (\frac{d}{d y} [y^{- 2}] + \frac{d}{d y} [- \frac{5}{y^{4}}])$

Passaggio 1.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} + \frac{d}{d y} [- \frac{5}{y^{4}}])$

Passaggio 1.2.9

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- \frac{5}{y^{4}}$ rispetto a $y$ è $- 5 \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}]$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} - 5 \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}])$

Passaggio 1.2.10

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.10.1

Riscrivi $\frac{1}{y^{4}}$ come ${(y^{4})}^{- 1}$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} - 5 \frac{d}{d y} [{(y^{4})}^{- 1}])$

Passaggio 1.2.10.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{4})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.10.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} - 5 \frac{d}{d y} [y^{4 \cdot - 1}])$

Passaggio 1.2.10.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} - 5 \frac{d}{d y} [y^{- 4}])$

Passaggio 1.2.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = - 4$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} - 5 (- 4 y^{- 5}))$

Passaggio 1.2.12

Moltiplica $- 4$ per $- 5$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} + 20 y^{- 5})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 \frac{1}{y^{3}} + 20 y^{- 5})$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 \frac{1}{y^{3}} + 20 \frac{1}{y^{5}})$

Passaggio 1.3.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

$- 2$ e $\frac{1}{y^{3}}$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (\frac{- 2}{y^{3}} + 20 \frac{1}{y^{5}})$

Passaggio 1.3.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- \frac{2}{y^{3}} + 20 \frac{1}{y^{5}})$

Passaggio 1.3.3.3

$20$ e $\frac{1}{y^{5}}$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}})$

Passaggio 1.3.4

Riordina i termini.

$(1 + 9 y^{2}) (\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Passaggio 1.3.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Espandi $(1 + 9 y^{2}) (\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 (\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) + 9 y^{2} (\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Passaggio 1.3.5.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 \frac{1}{y^{2}} + 1 (- \frac{5}{y^{4}}) + 9 y^{2} (\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Passaggio 1.3.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 \frac{1}{y^{2}} + 1 (- \frac{5}{y^{4}}) + 9 y^{2} \frac{1}{y^{2}} + 9 y^{2} (- \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Passaggio 1.3.5.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.2.1.1

Moltiplica $\frac{1}{y^{2}}$ per $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} + 1 (- \frac{5}{y^{4}}) + 9 y^{2} \frac{1}{y^{2}} + 9 y^{2} (- \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Passaggio 1.3.5.2.1.2

Moltiplica $- \frac{5}{y^{4}}$ per $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 y^{2} \frac{1}{y^{2}} + 9 y^{2} (- \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Passaggio 1.3.5.2.1.3

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.2.1.3.1

Scomponi $y^{2}$ da $9 y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + y^{2} \cdot 9 \frac{1}{y^{2}} + 9 y^{2} (- \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Passaggio 1.3.5.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + y^{2} \cdot 9 \frac{1}{y^{2}} + 9 y^{2} (- \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Passaggio 1.3.5.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + 9 y^{2} (- \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Passaggio 1.3.5.2.1.4

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.2.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{5}{y^{4}}$ nel numeratore.

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + 9 y^{2} \frac{- 5}{y^{4}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Passaggio 1.3.5.2.1.4.2

Scomponi $y^{2}$ da $9 y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + y^{2} \cdot 9 \frac{- 5}{y^{4}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Passaggio 1.3.5.2.1.4.3

Scomponi $y^{2}$ da $y^{4}$ .

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + y^{2} \cdot 9 \frac{- 5}{y^{2} y^{2}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Passaggio 1.3.5.2.1.4.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + y^{2} \cdot 9 \frac{- 5}{y^{2} y^{2}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Passaggio 1.3.5.2.1.4.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + 9 \frac{- 5}{y^{2}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Passaggio 1.3.5.2.1.5

$9$ e $\frac{- 5}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{9 \cdot - 5}{y^{2}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Passaggio 1.3.5.2.1.6

Moltiplica $9$ per $- 5$ .

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{- 45}{y^{2}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Passaggio 1.3.5.2.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{45}{y^{2}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Passaggio 1.3.5.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - 45}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Passaggio 1.3.5.2.3

Sottrai $45$ da $1$ .

$\frac{- 44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Passaggio 1.3.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

Passaggio 1.3.5.4

Espandi $(- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{3}} (y + 3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} (y + 3 y^{3})$

Passaggio 1.3.5.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{3}} y - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} (y + 3 y^{3})$

Passaggio 1.3.5.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{3}} y - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Passaggio 1.3.5.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.5.1.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.5.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{y^{3}}$ nel numeratore.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{- 2}{y^{3}} y - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Passaggio 1.3.5.5.1.1.2

Scomponi $y$ da $y^{3}$ .

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{- 2}{y \cdot y^{2}} y - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Passaggio 1.3.5.5.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{- 2}{y \cdot y^{2}} y - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Passaggio 1.3.5.5.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{- 2}{y^{2}} - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Passaggio 1.3.5.5.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Passaggio 1.3.5.5.1.3

Elimina il fattore comune di $y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.5.1.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{y^{3}}$ nel numeratore.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} + \frac{- 2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Passaggio 1.3.5.5.1.3.2

Scomponi $y^{3}$ da $3 y^{3}$ .

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} + \frac{- 2}{y^{3}} (y^{3} \cdot 3) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Passaggio 1.3.5.5.1.3.3

Elimina il fattore comune.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} + \frac{- 2}{y^{3}} (y^{3} \cdot 3) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Passaggio 1.3.5.5.1.3.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 2 \cdot 3 + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Passaggio 1.3.5.5.1.4

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Passaggio 1.3.5.5.1.5

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.5.1.5.1

Scomponi $y$ da $y^{5}$ .

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y \cdot y^{4}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Passaggio 1.3.5.5.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y \cdot y^{4}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Passaggio 1.3.5.5.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

Passaggio 1.3.5.5.1.6

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + 3 \frac{20}{y^{5}} y^{3}$

Passaggio 1.3.5.5.1.7

Moltiplica $3 \frac{20}{y^{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.5.1.7.1

$3$ e $\frac{20}{y^{5}}$ .

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + \frac{3 \cdot 20}{y^{5}} y^{3}$

Passaggio 1.3.5.5.1.7.2

Moltiplica $3$ per $20$ .

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + \frac{60}{y^{5}} y^{3}$

Passaggio 1.3.5.5.1.8

Elimina il fattore comune di $y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.5.1.8.1

Scomponi $y^{3}$ da $y^{5}$ .

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + \frac{60}{y^{3} y^{2}} y^{3}$

Passaggio 1.3.5.5.1.8.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + \frac{60}{y^{3} y^{2}} y^{3}$

Passaggio 1.3.5.5.1.8.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + \frac{60}{y^{2}}$

Passaggio 1.3.5.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{- 2 + 60}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}}$

Passaggio 1.3.5.5.3

Somma $- 2$ e $60$ .

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{58}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}}$

Passaggio 1.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$9 - 6 + \frac{- 44 + 58}{y^{2}} + \frac{- 5 + 20}{y^{4}}$

Passaggio 1.3.7

Somma $- 44$ e $58$ .

$9 - 6 + \frac{14}{y^{2}} + \frac{- 5 + 20}{y^{4}}$

Passaggio 1.3.8

Somma $- 5$ e $20$ .

$9 - 6 + \frac{14}{y^{2}} + \frac{15}{y^{4}}$

Passaggio 1.3.9

Sottrai $6$ da $9$ .

$f' (y) = 3 + \frac{14}{y^{2}} + \frac{15}{y^{4}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 + \frac{14}{y^{2}} + \frac{15}{y^{4}}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [\frac{14}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$ .

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [\frac{14}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{14}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d y} [\frac{14}{y^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $14$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{14}{y^{2}}$ rispetto a $y$ è $14 \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$0 + 14 \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{y^{2}}$ come ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$0 + 14 \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{- 1}$ e $g (y) = y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $y^{2}$ .

$0 + 14 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$0 + 14 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y^{2}$ .

$0 + 14 (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 14 (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + 14 (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Passaggio 2.2.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$0 + 14 (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 + 14 (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Passaggio 2.2.7

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$0 + 14 (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Passaggio 2.2.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$0 + 14 (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Passaggio 2.2.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$0 + 14 (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Passaggio 2.2.10

Moltiplica $- 2$ per $14$ .

$0 - 28 y^{- 3} + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $15$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{15}{y^{4}}$ rispetto a $y$ è $15 \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}]$ .

$0 - 28 y^{- 3} + 15 \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{y^{4}}$ come ${(y^{4})}^{- 1}$ .

$0 - 28 y^{- 3} + 15 \frac{d}{d y} [{(y^{4})}^{- 1}]$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{- 1}$ e $g (y) = y^{4}$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y^{4}$ .

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{4}])$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{4}])$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y^{4}$ .

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- {(y^{4})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{4}])$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- {(y^{4})}^{- 2} (4 y^{3}))$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{4})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- y^{4 \cdot - 2} (4 y^{3}))$

Passaggio 2.3.5.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- y^{- 8} (4 y^{3}))$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- 4 y^{- 8} y^{3})$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $y^{- 8}$ per $y^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.3.7.1

Sposta $y^{3}$ .

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- 4 (y^{3} y^{- 8}))$

Passaggio 2.3.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- 4 y^{3 - 8})$

Passaggio 2.3.7.3

Sottrai $8$ da $3$ .

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- 4 y^{- 5})$

Passaggio 2.3.8

Moltiplica $- 4$ per $15$ .

$0 - 28 y^{- 3} - 60 y^{- 5}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 28 \frac{1}{y^{3}} - 60 y^{- 5}$

Passaggio 2.4.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 28 \frac{1}{y^{3}} - 60 \frac{1}{y^{5}}$

Passaggio 2.4.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 2.4.3.1

$- 28$ e $\frac{1}{y^{3}}$ .

$0 + \frac{- 28}{y^{3}} - 60 \frac{1}{y^{5}}$

Passaggio 2.4.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 - \frac{28}{y^{3}} - 60 \frac{1}{y^{5}}$

Passaggio 2.4.3.3

Sottrai $\frac{28}{y^{3}}$ da $0$ .

$- \frac{28}{y^{3}} - 60 \frac{1}{y^{5}}$

Passaggio 2.4.3.4

$- 60$ e $\frac{1}{y^{5}}$ .

$- \frac{28}{y^{3}} + \frac{- 60}{y^{5}}$

Passaggio 2.4.3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (y) = - \frac{28}{y^{3}} - \frac{60}{y^{5}}$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (y)$ rispetto a $y$ è $- \frac{28}{y^{3}} - \frac{60}{y^{5}}$ .

$- \frac{28}{y^{3}} - \frac{60}{y^{5}}$