Calcolo Esempi

$f (x) = x \sqrt{144 - x^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{144 - x^{2}}$ come ${(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 144 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $144 - x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [144 - x^{2}]) + {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [144 - x^{2}]) + {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $144 - x^{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [144 - x^{2}]) + {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [144 - x^{2}]) + {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [144 - x^{2}]) + {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x (\frac{1}{2} {(144 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [144 - x^{2}]) + {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(144 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [144 - x^{2}]) + {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(144 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [144 - x^{2}]) + {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x (\frac{1}{2} {(144 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [144 - x^{2}]) + {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(144 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(144 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [144 - x^{2}]) + {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.8.3

Sposta ${(144 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [144 - x^{2}]) + {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.8.4

$\frac{1}{2 {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{x}{2 {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [144 - x^{2}] + {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $144 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [144] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [144] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.10

Poiché $144$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $144$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x}{2 {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.11

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x}{2 {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.14

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.14.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x}{2 {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.14.2

$- 2$ e $\frac{x}{2 {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.14.3

$\frac{- 2 x}{2 {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{- 2 x \cdot x}{2 {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.15

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.16

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.17

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.18

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{2 {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.19

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.20

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.20.1

Scomponi $2$ da $2 {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{2})}{2 ({(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.20.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.20.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- x^{2}}{{(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.21

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x^{2}}{{(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.22

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Passaggio 1.23

Moltiplica ${(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.24

Per scrivere ${(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x^{2}}{{(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.25

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- x^{2} + {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.26

Moltiplica ${(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per ${(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.26.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- x^{2} + {(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.26.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- x^{2} + {(144 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.26.3

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- x^{2} + {(144 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.26.4

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{- x^{2} + {(144 - x^{2})}^{1}}{{(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.27

Semplifica ${(144 - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{- x^{2} + 144 - x^{2}}{{(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.28

Sottrai $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 144}{{(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.29

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 144}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = - 2 x^{2} + 144$ e $g (x) = {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 144] - (- 2 x^{2} + 144) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 144] - (- 2 x^{2} + 144) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}]}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 144] - (- 2 x^{2} + 144) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}]}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 144] - (- 2 x^{2} + 144) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}]}{{(- x^{2} + 144)}^{1}}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

$\frac{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 144] - (- 2 x^{2} + 144) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}]}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 x^{2} + 144$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [144]$ .

$\frac{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [144]) - (- 2 x^{2} + 144) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}]}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.4.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} (- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [144]) - (- 2 x^{2} + 144) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}]}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [144]) - (- 2 x^{2} + 144) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}]}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.4.4

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + \frac{d}{d x} [144]) - (- 2 x^{2} + 144) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}]}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.4.5

Poiché $144$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $144$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} + 144) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}]}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.4.6

Somma $- 4 x$ e $0$ .

$\frac{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 144) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}]}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = - x^{2} + 144$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x^{2} + 144$ .

$\frac{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 144) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [- x^{2} + 144])}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 144) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 144])}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x^{2} + 144$ .

$\frac{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 144) (\frac{1}{2} {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 144])}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 144) (\frac{1}{2} {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 144])}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 144) (\frac{1}{2} {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 144])}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 144) (\frac{1}{2} {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 144])}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 144) (\frac{1}{2} {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 144])}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 144) (\frac{1}{2} {(- x^{2} + 144)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 144])}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.10

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 144) (\frac{1}{2} {(- x^{2} + 144)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 144])}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.10.2

$\frac{1}{2}$ e ${(- x^{2} + 144)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 144) (\frac{{(- x^{2} + 144)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 144])}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.10.3

Sposta ${(- x^{2} + 144)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 144) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 144])}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.11

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{2} + 144$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [144]$ .

$\frac{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 144) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [144]))}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 144) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [144]))}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 144) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x) + \frac{d}{d x} [144]))}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.14

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 144) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x + \frac{d}{d x} [144]))}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.15

Poiché $144$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $144$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 144) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x + 0))}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.16

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.1

Somma $- 2 x$ e $0$ .

$\frac{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 144) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x))}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.16.2

$- 2$ e $\frac{1}{2 {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 144) (\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}} x)}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.16.3

$\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 144) \frac{- 2 x}{2 {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.16.4

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$\frac{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 144) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.17

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.1

Scomponi $2$ da $2 {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 144) \frac{2 (- x)}{2 ({(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}})}}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.17.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 144) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.17.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 144) \frac{- x}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.18

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 144) (- \frac{x}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.19

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + 1 (- 2 x^{2} + 144) \frac{x}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.20

Moltiplica $- 2 x^{2} + 144$ per $1$ .

$\frac{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + (- 2 x^{2} + 144) \frac{x}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.21

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 4 {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} + 144) \frac{x}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.21.1.2

Moltiplica $- 2 x^{2} + 144$ per $\frac{x}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 4 {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} + 144) x}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.21.1.3

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2} + 144$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.1.3.1

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2}$ .

$\frac{- 4 {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 144) x}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.21.1.3.2

Scomponi $2$ da $144$ .

$\frac{- 4 {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 2 (72)) x}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.21.1.3.3

Scomponi $2$ da $2 (- x^{2}) + 2 (72)$ .

$\frac{- 4 {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} + 72) x}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.21.1.4

Per scrivere $- 4 {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 4 {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x^{2} + 72) x}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.21.1.5

$- 4 {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} x$ e $\frac{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x^{2} + 72) x}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.21.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 72) x}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.21.1.7

Riscrivi $\frac{- 4 {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 72) x}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.1.7.1

Scomponi $2 x$ da $- 4 {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 72) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.1.7.1.1

Scomponi $2 x$ da $- 4 {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (- x^{2} + 72) x}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.21.1.7.1.2

Scomponi $2 x$ da $2 (- x^{2} + 72) x$ .

$\frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} + 72)}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.21.1.7.1.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (- 2 {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} + 72)$ .

$\frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 72)}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.21.1.7.2

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.1.7.2.1

Moltiplica ${(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.1.7.2.1.1

Sposta ${(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 x (- 2 ({(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}) - x^{2} + 72)}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.21.1.7.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2} + 72)}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.21.1.7.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 144)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2} + 72)}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.21.1.7.2.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 144)}^{\frac{2}{2}} - x^{2} + 72)}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.21.1.7.2.1.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 144)}^{1} - x^{2} + 72)}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.21.1.7.2.2

Semplifica $- 2 {(- x^{2} + 144)}^{1}$ .

$\frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 144) - x^{2} + 72)}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.21.1.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.1.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2}) - 2 \cdot 144 - x^{2} + 72)}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.21.1.8.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 2 \cdot 144 - x^{2} + 72)}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.21.1.8.3

Moltiplica $- 2$ per $144$ .

$\frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 288 - x^{2} + 72)}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.21.1.8.4

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 x (x^{2} - 288 + 72)}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.21.1.8.5

Somma $- 288$ e $72$ .

$\frac{\frac{2 x (x^{2} - 216)}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.21.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.2.1

Riscrivi $\frac{\frac{2 x (x^{2} - 216)}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 144}$ come un prodotto.

$\frac{2 x (x^{2} - 216)}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- x^{2} + 144}$

Passaggio 2.21.2.2

Moltiplica $\frac{2 x (x^{2} - 216)}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{- x^{2} + 144}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 216)}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 144)}$

Passaggio 2.21.2.3

Moltiplica ${(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}$ per $- x^{2} + 144$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.2.3.1

Moltiplica ${(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}}$ per $- x^{2} + 144$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.2.3.1.1

Eleva $- x^{2} + 144$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 216)}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 144)}^{1}}$

Passaggio 2.21.2.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x (x^{2} - 216)}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Passaggio 2.21.2.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{2 x (x^{2} - 216)}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.21.2.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 x (x^{2} - 216)}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Passaggio 2.21.2.3.4

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 216)}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2 x (x^{2} - 216)}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 216)}{{(- x^{2} + 144)}^{\frac{3}{2}}}$