Calcolo Esempi

$f (x) = {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{9}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{9}$ e $g (x) = 3 x^{2} - 8 x + 80$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x^{2} - 8 x + 80$ .

$\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 80]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 9$ .

$9 u^{8} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 80]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x^{2} - 8 x + 80$ .

$9 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 80]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - 8 x + 80$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80]$ .

$9 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80])$

Passaggio 1.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80])$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$9 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80])$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$9 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (6 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80])$

Passaggio 1.2.5

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (6 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [80])$

Passaggio 1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$9 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (6 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [80])$

Passaggio 1.2.7

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$9 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (6 x - 8 + \frac{d}{d x} [80])$

Passaggio 1.2.8

Poiché $80$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $80$ rispetto a $x$ è $0$ .

$9 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (6 x - 8 + 0)$

Passaggio 1.2.9

Somma $6 x - 8$ e $0$ .

$f' (x) = 9 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (6 x - 8)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (6 x - 8)$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (6 x - 8)]$ .

$9 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (6 x - 8)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8}$ e $g (x) = 6 x - 8$ .

$9 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} \frac{d}{d x} [6 x - 8] + (6 x - 8) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8}])$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$9 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + (6 x - 8) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8}])$

Passaggio 2.3.2

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + (6 x - 8) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8}])$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$9 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + (6 x - 8) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8}])$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $6$ per $1$ .

$9 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (6 + \frac{d}{d x} [- 8]) + (6 x - 8) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8}])$

Passaggio 2.3.5

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$9 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (6 + 0) + (6 x - 8) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8}])$

Passaggio 2.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Somma $6$ e $0$ .

$9 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} \cdot 6 + (6 x - 8) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8}])$

Passaggio 2.3.6.2

Sposta $6$ alla sinistra di ${(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8}$ .

$9 (6 \cdot {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + (6 x - 8) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8}])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{8}$ e $g (x) = 3 x^{2} - 8 x + 80$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x^{2} - 8 x + 80$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + (6 x - 8) (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 80]))$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 8$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + (6 x - 8) (8 u^{7} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 80]))$

Passaggio 2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x^{2} - 8 x + 80$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + (6 x - 8) (8 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 80]))$

Passaggio 2.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Sposta $8$ alla sinistra di $6 x - 8$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 \cdot (6 x - 8) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 80])$

Passaggio 2.5.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - 8 x + 80$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80]$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 (6 x - 8) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80]))$

Passaggio 2.5.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 (6 x - 8) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80]))$

Passaggio 2.5.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 (6 x - 8) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80]))$

Passaggio 2.5.5

Moltiplica $2$ per $3$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 (6 x - 8) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (6 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80]))$

Passaggio 2.5.6

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 (6 x - 8) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (6 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [80]))$

Passaggio 2.5.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 (6 x - 8) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (6 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [80]))$

Passaggio 2.5.8

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 (6 x - 8) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (6 x - 8 + \frac{d}{d x} [80]))$

Passaggio 2.5.9

Poiché $80$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $80$ rispetto a $x$ è $0$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 (6 x - 8) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (6 x - 8 + 0))$

Passaggio 2.5.10

Somma $6 x - 8$ e $0$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 (6 x - 8) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (6 x - 8))$

Passaggio 2.6

Eleva $6 x - 8$ alla potenza di $1$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 ({(6 x - 8)}^{1} (6 x - 8)) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7})$

Passaggio 2.7

Eleva $6 x - 8$ alla potenza di $1$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 ({(6 x - 8)}^{1} {(6 x - 8)}^{1}) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7})$

Passaggio 2.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 {(6 x - 8)}^{1 + 1} {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7})$

Passaggio 2.9

Somma $1$ e $1$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 {(6 x - 8)}^{2} {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7})$

Passaggio 2.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8}) + 9 (8 {(6 x - 8)}^{2} {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7})$

Passaggio 2.10.2

Moltiplica $6$ per $9$ .

$54 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 9 (8 {(6 x - 8)}^{2} {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7})$

Passaggio 2.10.3

Moltiplica $8$ per $9$ .

$54 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 72 ({(6 x - 8)}^{2} {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7})$

Passaggio 2.10.4

Scomponi $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}$ da $54 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 72 {(6 x - 8)}^{2} {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.4.1

Scomponi $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}$ da $54 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8}$ .

$18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (3 (3 x^{2} - 8 x + 80)) + 72 {(6 x - 8)}^{2} {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}$

Passaggio 2.10.4.2

Scomponi $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}$ da $72 {(6 x - 8)}^{2} {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}$ .

$18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (3 (3 x^{2} - 8 x + 80)) + 18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (4 {(6 x - 8)}^{2})$

Passaggio 2.10.4.3

Scomponi $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}$ da $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (3 (3 x^{2} - 8 x + 80)) + 18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (4 {(6 x - 8)}^{2})$ .

$f'' (x) = 18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (3 (3 x^{2} - 8 x + 80) + 4 {(6 x - 8)}^{2})$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (3 (3 x^{2}) + 3 (- 8 x) + 3 \cdot 80 + 4 {(6 x - 8)}^{2})]$

Passaggio 3.1.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.2.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} + 3 (- 8 x) + 3 \cdot 80 + 4 {(6 x - 8)}^{2})]$

Passaggio 3.1.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $3$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 3 \cdot 80 + 4 {(6 x - 8)}^{2})]$

Passaggio 3.1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $80$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 {(6 x - 8)}^{2})]$

Passaggio 3.1.1.3

Riscrivi ${(6 x - 8)}^{2}$ come $(6 x - 8) (6 x - 8)$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 ((6 x - 8) (6 x - 8)))]$

Passaggio 3.1.1.4

Espandi $(6 x - 8) (6 x - 8)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 (6 x (6 x - 8) - 8 (6 x - 8)))]$

Passaggio 3.1.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 (6 x (6 x) + 6 x \cdot - 8 - 8 (6 x - 8)))]$

Passaggio 3.1.1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 (6 x (6 x) + 6 x \cdot - 8 - 8 (6 x) - 8 \cdot - 8))]$

Passaggio 3.1.1.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.5.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 (6 \cdot 6 x \cdot x + 6 x \cdot - 8 - 8 (6 x) - 8 \cdot - 8))]$

Passaggio 3.1.1.5.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.5.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 (6 \cdot 6 (x \cdot x) + 6 x \cdot - 8 - 8 (6 x) - 8 \cdot - 8))]$

Passaggio 3.1.1.5.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 (6 \cdot 6 x^{2} + 6 x \cdot - 8 - 8 (6 x) - 8 \cdot - 8))]$

Passaggio 3.1.1.5.1.3

Moltiplica $6$ per $6$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 (36 x^{2} + 6 x \cdot - 8 - 8 (6 x) - 8 \cdot - 8))]$

Passaggio 3.1.1.5.1.4

Moltiplica $- 8$ per $6$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 (36 x^{2} - 48 x - 8 (6 x) - 8 \cdot - 8))]$

Passaggio 3.1.1.5.1.5

Moltiplica $6$ per $- 8$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 (36 x^{2} - 48 x - 48 x - 8 \cdot - 8))]$

Passaggio 3.1.1.5.1.6

Moltiplica $- 8$ per $- 8$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 (36 x^{2} - 48 x - 48 x + 64))]$

Passaggio 3.1.1.5.2

Sottrai $48 x$ da $- 48 x$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 (36 x^{2} - 96 x + 64))]$

Passaggio 3.1.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 (36 x^{2}) + 4 (- 96 x) + 4 \cdot 64)]$

Passaggio 3.1.1.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.7.1

Moltiplica $36$ per $4$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 144 x^{2} + 4 (- 96 x) + 4 \cdot 64)]$

Passaggio 3.1.1.7.2

Moltiplica $- 96$ per $4$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 144 x^{2} - 384 x + 4 \cdot 64)]$

Passaggio 3.1.1.7.3

Moltiplica $4$ per $64$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 144 x^{2} - 384 x + 256)]$

Passaggio 3.1.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Somma $9 x^{2}$ e $144 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (153 x^{2} - 24 x + 240 - 384 x + 256)]$

Passaggio 3.1.2.2

Sottrai $384 x$ da $- 24 x$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (153 x^{2} - 408 x + 240 + 256)]$

Passaggio 3.1.2.3

Somma $240$ e $256$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (153 x^{2} - 408 x + 496)]$

Passaggio 3.1.3

Poiché $18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (153 x^{2} - 408 x + 496)$ rispetto a $x$ è $18 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (153 x^{2} - 408 x + 496)]$ .

$18 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (153 x^{2} - 408 x + 496)]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}$ e $g (x) = 153 x^{2} - 408 x + 496$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} \frac{d}{d x} [153 x^{2} - 408 x + 496] + (153 x^{2} - 408 x + 496) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}])$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $153 x^{2} - 408 x + 496$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [153 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 408 x] + \frac{d}{d x} [496]$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (\frac{d}{d x} [153 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 408 x] + \frac{d}{d x} [496]) + (153 x^{2} - 408 x + 496) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}])$

Passaggio 3.3.2

Poiché $153$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $153 x^{2}$ rispetto a $x$ è $153 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (153 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 408 x] + \frac{d}{d x} [496]) + (153 x^{2} - 408 x + 496) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}])$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (153 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 408 x] + \frac{d}{d x} [496]) + (153 x^{2} - 408 x + 496) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}])$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $2$ per $153$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x + \frac{d}{d x} [- 408 x] + \frac{d}{d x} [496]) + (153 x^{2} - 408 x + 496) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}])$

Passaggio 3.3.5

Poiché $- 408$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 408 x$ rispetto a $x$ è $- 408 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [496]) + (153 x^{2} - 408 x + 496) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}])$

Passaggio 3.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [496]) + (153 x^{2} - 408 x + 496) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}])$

Passaggio 3.3.7

Moltiplica $- 408$ per $1$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408 + \frac{d}{d x} [496]) + (153 x^{2} - 408 x + 496) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}])$

Passaggio 3.3.8

Poiché $496$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $496$ rispetto a $x$ è $0$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408 + 0) + (153 x^{2} - 408 x + 496) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}])$

Passaggio 3.3.9

Somma $306 x - 408$ e $0$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + (153 x^{2} - 408 x + 496) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{7}$ e $g (x) = 3 x^{2} - 8 x + 80$ .

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Passaggio 3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x^{2} - 8 x + 80$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + (153 x^{2} - 408 x + 496) (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 80]))$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + (153 x^{2} - 408 x + 496) (7 u^{6} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 80]))$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x^{2} - 8 x + 80$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + (153 x^{2} - 408 x + 496) (7 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 80]))$

Passaggio 3.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sposta $7$ alla sinistra di $153 x^{2} - 408 x + 496$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 7 \cdot (153 x^{2} - 408 x + 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 80])$

Passaggio 3.5.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - 8 x + 80$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80]$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 7 (153 x^{2} - 408 x + 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80]))$

Passaggio 3.5.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 7 (153 x^{2} - 408 x + 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80]))$

Passaggio 3.5.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 7 (153 x^{2} - 408 x + 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80]))$

Passaggio 3.5.5

Moltiplica $2$ per $3$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 7 (153 x^{2} - 408 x + 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80]))$

Passaggio 3.5.6

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 7 (153 x^{2} - 408 x + 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [80]))$

Passaggio 3.5.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 7 (153 x^{2} - 408 x + 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [80]))$

Passaggio 3.5.8

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 7 (153 x^{2} - 408 x + 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x - 8 + \frac{d}{d x} [80]))$

Passaggio 3.5.9

Poiché $80$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $80$ rispetto a $x$ è $0$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 7 (153 x^{2} - 408 x + 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x - 8 + 0))$

Passaggio 3.5.10

Somma $6 x - 8$ e $0$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 7 (153 x^{2} - 408 x + 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x - 8))$

Passaggio 3.6

Semplifica.

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Passaggio 3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + (7 (153 x^{2}) + 7 (- 408 x) + 7 \cdot 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x - 8))$

Passaggio 3.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408)) + 18 ((7 (153 x^{2}) + 7 (- 408 x) + 7 \cdot 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x - 8))$

Passaggio 3.6.3

Moltiplica $153$ per $7$ .

$18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 18 ((1071 x^{2} + 7 (- 408 x) + 7 \cdot 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x - 8))$

Passaggio 3.6.4

Moltiplica $- 408$ per $7$ .

$18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 18 ((1071 x^{2} - 2856 x + 7 \cdot 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x - 8))$

Passaggio 3.6.5

Moltiplica $7$ per $496$ .

$18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 18 ((1071 x^{2} - 2856 x + 3472) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x - 8))$

Passaggio 3.6.6

Scomponi $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6}$ da $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 18 (1071 x^{2} - 2856 x + 3472) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x - 8)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.6.1

Scomponi $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6}$ da $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408)$ .

$18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} ((3 x^{2} - 8 x + 80) (306 x - 408)) + 18 (1071 x^{2} - 2856 x + 3472) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x - 8)$

Passaggio 3.6.6.2

Scomponi $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6}$ da $18 (1071 x^{2} - 2856 x + 3472) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x - 8)$ .

$18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} ((3 x^{2} - 8 x + 80) (306 x - 408)) + 18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} ((1071 x^{2} - 2856 x + 3472) (6 x - 8))$

Passaggio 3.6.6.3

Scomponi $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6}$ da $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} ((3 x^{2} - 8 x + 80) (306 x - 408)) + 18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} ((1071 x^{2} - 2856 x + 3472) (6 x - 8))$ .

$f''' (x) = 18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} ((3 x^{2} - 8 x + 80) (306 x - 408) + (1071 x^{2} - 2856 x + 3472) (6 x - 8))$

Passaggio 4

La derivata terza di $f (x)$ rispetto a $x$ è $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} ((3 x^{2} - 8 x + 80) (306 x - 408) + (1071 x^{2} - 2856 x + 3472) (6 x - 8))$ .

$18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} ((3 x^{2} - 8 x + 80) (306 x - 408) + (1071 x^{2} - 2856 x + 3472) (6 x - 8))$