Calcolo Esempi

$s (t) = 5 t^{3} + 12^{t} + 7$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 t^{3} + 12^{t} + 7$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [5 t^{3}] + \frac{d}{d t} [12^{t}] + \frac{d}{d t} [7]$ .

$\frac{d}{d t} [5 t^{3}] + \frac{d}{d t} [12^{t}] + \frac{d}{d t} [7]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d t} [5 t^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $5 t^{3}$ rispetto a $t$ è $5 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [12^{t}] + \frac{d}{d t} [7]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$5 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [12^{t}] + \frac{d}{d t} [7]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $5$ .

$15 t^{2} + \frac{d}{d t} [12^{t}] + \frac{d}{d t} [7]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ è $a^{t} \ln (a)$ dove $a$ = $12$ .

$15 t^{2} + 12^{t} \ln (12) + \frac{d}{d t} [7]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.4.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $7$ rispetto a $t$ è $0$ .

$15 t^{2} + 12^{t} \ln (12) + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $15 t^{2} + 12^{t} \ln (12)$ e $0$ .

$f' (t) = 15 t^{2} + 12^{t} \ln (12)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $15 t^{2} + 12^{t} \ln (12)$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [15 t^{2}] + \frac{d}{d t} [12^{t} \ln (12)]$ .

$\frac{d}{d t} [15 t^{2}] + \frac{d}{d t} [12^{t} \ln (12)]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d t} [15 t^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $15$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $15 t^{2}$ rispetto a $t$ è $15 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$15 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [12^{t} \ln (12)]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$15 (2 t) + \frac{d}{d t} [12^{t} \ln (12)]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $15$ .

$30 t + \frac{d}{d t} [12^{t} \ln (12)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d t} [12^{t} \ln (12)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $\ln (12)$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $12^{t} \ln (12)$ rispetto a $t$ è $\ln (12) \frac{d}{d t} [12^{t}]$ .

$30 t + \ln (12) \frac{d}{d t} [12^{t}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ è $a^{t} \ln (a)$ dove $a$ = $12$ .

$30 t + \ln (12) (12^{t} \ln (12))$

Passaggio 2.3.3

Eleva $\ln (12)$ alla potenza di $1$ .

$30 t + 12^{t} (\ln^{1} (12) \ln (12))$

Passaggio 2.3.4

Eleva $\ln (12)$ alla potenza di $1$ .

$30 t + 12^{t} (\ln^{1} (12) \ln^{1} (12))$

Passaggio 2.3.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$30 t + 12^{t} {\ln (12)}^{1 + 1}$

Passaggio 2.3.6

Somma $1$ e $1$ .

$30 t + 12^{t} \ln^{2} (12)$

Passaggio 2.4

Riordina i termini.

$f'' (t) = 12^{t} \ln^{2} (12) + 30 t$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $12^{t} \ln^{2} (12) + 30 t$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [12^{t} \ln^{2} (12)] + \frac{d}{d t} [30 t]$ .

$\frac{d}{d t} [12^{t} \ln^{2} (12)] + \frac{d}{d t} [30 t]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d t} [12^{t} \ln^{2} (12)]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $\ln^{2} (12)$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $12^{t} \ln^{2} (12)$ rispetto a $t$ è $\ln^{2} (12) \frac{d}{d t} [12^{t}]$ .

$\ln^{2} (12) \frac{d}{d t} [12^{t}] + \frac{d}{d t} [30 t]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ è $a^{t} \ln (a)$ dove $a$ = $12$ .

$\ln^{2} (12) (12^{t} \ln (12)) + \frac{d}{d t} [30 t]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $\ln^{2} (12)$ per $\ln (12)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Sposta $\ln (12)$ .

$\ln (12) \ln^{2} (12) \cdot 12^{t} + \frac{d}{d t} [30 t]$

Passaggio 3.2.3.2

Moltiplica $\ln (12)$ per $\ln^{2} (12)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.1

Eleva $\ln (12)$ alla potenza di $1$ .

$\ln^{1} (12) \ln^{2} (12) \cdot 12^{t} + \frac{d}{d t} [30 t]$

Passaggio 3.2.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${\ln (12)}^{1 + 2} \cdot 12^{t} + \frac{d}{d t} [30 t]$

Passaggio 3.2.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$\ln^{3} (12) \cdot 12^{t} + \frac{d}{d t} [30 t]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d t} [30 t]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $30$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $30 t$ rispetto a $t$ è $30 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\ln^{3} (12) \cdot 12^{t} + 30 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\ln^{3} (12) \cdot 12^{t} + 30 \cdot 1$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $30$ per $1$ .

$\ln^{3} (12) \cdot 12^{t} + 30$

Passaggio 3.4

Riordina i termini.

$f''' (t) = 12^{t} \ln^{3} (12) + 30$

Passaggio 4

La derivata terza di $s (t)$ rispetto a $t$ è $12^{t} \ln^{3} (12) + 30$ .

$12^{t} \ln^{3} (12) + 30$