Calcolo Esempi

$f (x) = 3 a^{3 x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 a^{3 x}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza generalizzata secondo cui $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ è $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , dove $f = a$ e $g = 3 x$ .

$3 (\frac{d}{d x} [a] (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 (0 (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Passaggio 1.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$3 (0 (x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Passaggio 1.3.2.2

Moltiplica $x$ per $0$ .

$3 (0 a^{3 x - 1} + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Passaggio 1.3.2.3

Moltiplica $0$ per $a^{3 x - 1}$ .

$3 (0 + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Passaggio 1.3.2.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a))$ .

$3 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Passaggio 1.3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (3 \frac{d}{d x} [x]) (a^{3 x} \ln (a))$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9 \frac{d}{d x} [x] (a^{3 x} \ln (a))$

Passaggio 1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$9 \cdot 1 (a^{3 x} \ln (a))$

Passaggio 1.3.6

Moltiplica $9$ per $1$ .

$f' (x) = 9 a^{3 x} \ln (a)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $9 \ln (a)$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 a^{3 x} \ln (a)$ rispetto a $x$ è $9 \ln (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$ .

$9 \ln (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza generalizzata secondo cui $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ è $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , dove $f = a$ e $g = 3 x$ .

$9 \ln (a) (\frac{d}{d x} [a] (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a$ rispetto a $x$ è $0$ .

$9 \ln (a) (0 (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Passaggio 2.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$9 \ln (a) (0 (x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Passaggio 2.3.2.2

Moltiplica $x$ per $0$ .

$9 \ln (a) (0 a^{3 x - 1} + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Passaggio 2.3.2.3

Moltiplica $0$ per $a^{3 x - 1}$ .

$9 \ln (a) (0 + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Passaggio 2.3.2.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a))$ .

$9 \ln (a) (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Passaggio 2.4

Eleva $\ln (a)$ alla potenza di $1$ .

$9 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} (\ln^{1} (a) \ln (a))))$

Passaggio 2.5

Eleva $\ln (a)$ alla potenza di $1$ .

$9 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} (\ln^{1} (a) \ln^{1} (a))))$

Passaggio 2.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$9 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} {\ln (a)}^{1 + 1}))$

Passaggio 2.7

Somma $1$ e $1$ .

$9 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln^{2} (a)))$

Passaggio 2.8

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 (3 \frac{d}{d x} [x]) (a^{3 x} \ln^{2} (a))$

Passaggio 2.9

Moltiplica $3$ per $9$ .

$27 \frac{d}{d x} [x] (a^{3 x} \ln^{2} (a))$

Passaggio 2.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$27 \cdot 1 (a^{3 x} \ln^{2} (a))$

Passaggio 2.11

Moltiplica $27$ per $1$ .

$f'' (x) = 27 a^{3 x} \ln^{2} (a)$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $27 \ln^{2} (a)$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $27 a^{3 x} \ln^{2} (a)$ rispetto a $x$ è $27 \ln^{2} (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$ .

$27 \ln^{2} (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza generalizzata secondo cui $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ è $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , dove $f = a$ e $g = 3 x$ .

$27 \ln^{2} (a) (\frac{d}{d x} [a] (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a$ rispetto a $x$ è $0$ .

$27 \ln^{2} (a) (0 (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Passaggio 3.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$27 \ln^{2} (a) (0 (x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $x$ per $0$ .

$27 \ln^{2} (a) (0 a^{3 x - 1} + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Passaggio 3.3.2.3

Moltiplica $0$ per $a^{3 x - 1}$ .

$27 \ln^{2} (a) (0 + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Passaggio 3.3.2.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a))$ .

$27 \ln^{2} (a) (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Passaggio 3.4

Eleva $\ln (a)$ alla potenza di $1$ .

$27 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} (\ln^{2} (a) \ln^{1} (a))))$

Passaggio 3.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$27 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} {\ln (a)}^{2 + 1}))$

Passaggio 3.6

Somma $2$ e $1$ .

$27 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln^{3} (a)))$

Passaggio 3.7

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$27 (3 \frac{d}{d x} [x]) (a^{3 x} \ln^{3} (a))$

Passaggio 3.8

Moltiplica $3$ per $27$ .

$81 \frac{d}{d x} [x] (a^{3 x} \ln^{3} (a))$

Passaggio 3.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$81 \cdot 1 (a^{3 x} \ln^{3} (a))$

Passaggio 3.10

Moltiplica $81$ per $1$ .

$f''' (x) = 81 a^{3 x} \ln^{3} (a)$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Poiché $81 \ln^{3} (a)$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $81 a^{3 x} \ln^{3} (a)$ rispetto a $x$ è $81 \ln^{3} (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$ .

$81 \ln^{3} (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della potenza generalizzata secondo cui $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ è $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , dove $f = a$ e $g = 3 x$ .

$81 \ln^{3} (a) (\frac{d}{d x} [a] (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a$ rispetto a $x$ è $0$ .

$81 \ln^{3} (a) (0 (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Passaggio 4.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$81 \ln^{3} (a) (0 (x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $x$ per $0$ .

$81 \ln^{3} (a) (0 a^{3 x - 1} + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Passaggio 4.3.2.3

Moltiplica $0$ per $a^{3 x - 1}$ .

$81 \ln^{3} (a) (0 + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Passaggio 4.3.2.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a))$ .

$81 \ln^{3} (a) (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Passaggio 4.4

Eleva $\ln (a)$ alla potenza di $1$ .

$81 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} (\ln^{3} (a) \ln^{1} (a))))$

Passaggio 4.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$81 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} {\ln (a)}^{3 + 1}))$

Passaggio 4.6

Somma $3$ e $1$ .

$81 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln^{4} (a)))$

Passaggio 4.7

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$81 (3 \frac{d}{d x} [x]) (a^{3 x} \ln^{4} (a))$

Passaggio 4.8

Moltiplica $3$ per $81$ .

$243 \frac{d}{d x} [x] (a^{3 x} \ln^{4} (a))$

Passaggio 4.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$243 \cdot 1 (a^{3 x} \ln^{4} (a))$

Passaggio 4.10

Moltiplica $243$ per $1$ .

$f^{4} (x) = 243 a^{3 x} \ln^{4} (a)$

Passaggio 5

La derivata quarta di $f (x)$ rispetto a $x$ è $243 a^{3 x} \ln^{4} (a)$ .

$243 a^{3 x} \ln^{4} (a)$