Calcolo Esempi

$f (x) = {(1 - x)}^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(1 - x)}^{2}$ come $(1 - x) (1 - x)$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x)]$

Passaggio 1.2

Espandi $(1 - x) (1 - x)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [1 (1 - x) - x (1 - x)]$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x)]$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)]$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)]$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $- x$ per $1$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x - x \cdot 1 - x (- x)]$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x - x - x (- x)]$

Passaggio 1.3.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d}{d x} [1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x]$

Passaggio 1.3.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.3.1.5.1

Sposta $x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)]$

Passaggio 1.3.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2}]$

Passaggio 1.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x - x + 1 x^{2}]$

Passaggio 1.3.1.7

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x - x + x^{2}]$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

Passaggio 1.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 2 x + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.6

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.7

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.9

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 2 + 2 x$

Passaggio 1.11

Riordina i termini.

$f' (x) = 2 x - 2$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $2$ e $0$ .

$f'' (x) = 2$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f''' (x) = 0$

Passaggio 4

Poiché $0$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f^{4} (x) = 0$

Passaggio 5

La derivata quarta di $f (x)$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$