Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{(- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1)}{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = - 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1] - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [- 9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x (- 9 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{x (- 9 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $3$ per $- 9$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.7

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + 8 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.8

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + 8 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + 8 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.10

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + 8 x - 5 + \frac{d}{d x} [1]) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.11

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + 8 x - 5 + 0) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.12

Somma $- 27 x^{2} + 8 x - 5$ e $0$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + 8 x - 5) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + 8 x - 5) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.14

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x (- 27 x^{2} + 8 x - 5) - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1)}{x^{2}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (- 27 x^{2}) + x (8 x) + x \cdot - 5 - (- 9 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1)}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (- 27 x^{2}) + x (8 x) + x \cdot - 5 - (- 9 x^{3}) - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 27 x \cdot x^{2} + x (8 x) + x \cdot - 5 - (- 9 x^{3}) - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{- 27 (x^{2} x) + x (8 x) + x \cdot - 5 - (- 9 x^{3}) - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 27 (x^{2} x^{1}) + x (8 x) + x \cdot - 5 - (- 9 x^{3}) - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 27 x^{2 + 1} + x (8 x) + x \cdot - 5 - (- 9 x^{3}) - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{- 27 x^{3} + x (8 x) + x \cdot - 5 - (- 9 x^{3}) - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 27 x^{3} + 8 x \cdot x + x \cdot - 5 - (- 9 x^{3}) - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{- 27 x^{3} + 8 (x \cdot x) + x \cdot - 5 - (- 9 x^{3}) - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{- 27 x^{3} + 8 x^{2} + x \cdot - 5 - (- 9 x^{3}) - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.5

Sposta $- 5$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{- 27 x^{3} + 8 x^{2} - 5 \cdot x - (- 9 x^{3}) - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.6

Moltiplica $- 9$ per $- 1$ .

$\frac{- 27 x^{3} + 8 x^{2} - 5 x + 9 x^{3} - (4 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.7

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{- 27 x^{3} + 8 x^{2} - 5 x + 9 x^{3} - 4 x^{2} - (- 5 x) - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.8

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$\frac{- 27 x^{3} + 8 x^{2} - 5 x + 9 x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- 27 x^{3} + 8 x^{2} - 5 x + 9 x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2

Combina i termini opposti in $- 27 x^{3} + 8 x^{2} - 5 x + 9 x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Somma $- 5 x$ e $5 x$ .

$\frac{- 27 x^{3} + 8 x^{2} + 9 x^{3} - 4 x^{2} + 0 - 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2.2

Somma $- 27 x^{3} + 8 x^{2} + 9 x^{3} - 4 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{- 27 x^{3} + 8 x^{2} + 9 x^{3} - 4 x^{2} - 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.3.3

Somma $- 27 x^{3}$ e $9 x^{3}$ .

$\frac{- 18 x^{3} + 8 x^{2} - 4 x^{2} - 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.3.4

Sottrai $4 x^{2}$ da $8 x^{2}$ .

$\frac{- 18 x^{3} + 4 x^{2} - 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Scomponi $- 1$ da $- 18 x^{3}$ .

$\frac{- (18 x^{3}) + 4 x^{2} - 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.5

Scomponi $- 1$ da $4 x^{2}$ .

$\frac{- (18 x^{3}) - (- 4 x^{2}) - 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.6

Scomponi $- 1$ da $- (18 x^{3}) - (- 4 x^{2})$ .

$\frac{- (18 x^{3} - 4 x^{2}) - 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.7

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{- (18 x^{3} - 4 x^{2}) - 1 (1)}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.8

Scomponi $- 1$ da $- (18 x^{3} - 4 x^{2}) - 1 (1)$ .

$\frac{- (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1)}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.9

Riscrivi $- (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1)$ come $- 1 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1)$ .

$\frac{- 1 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1)}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}}] + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2

$- \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [18 x^{3} - 4 x^{2} + 1] - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [18 x^{3} - 4 x^{2} + 1] - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [18 x^{3} - 4 x^{2} + 1] - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $18 x^{3} - 4 x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [18 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [18 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.3

Poiché $18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $18 x^{3}$ rispetto a $x$ è $18 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{x^{2} (18 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- \frac{x^{2} (18 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $3$ per $18$ .

$- \frac{x^{2} (54 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.6

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{x^{2} (54 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{x^{2} (54 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.8

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$- \frac{x^{2} (54 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [1]) - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.9

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{x^{2} (54 x^{2} - 8 x + 0) - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.10

Somma $54 x^{2} - 8 x$ e $0$ .

$- \frac{x^{2} (54 x^{2} - 8 x) - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{x^{2} (54 x^{2} - 8 x) - (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) (2 x)}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.12

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.12.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{x^{2} (54 x^{2} - 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) x}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.12.2

Scomponi $x$ da $x^{2} (54 x^{2} - 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.12.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2} (54 x^{2} - 8 x)$ .

$- \frac{x (x (54 x^{2} - 8 x)) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) x}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.12.2.2

Scomponi $x$ da $- 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1) x$ .

$- \frac{x (x (54 x^{2} - 8 x)) + x (- 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1))}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.12.2.3

Scomponi $x$ da $x (x (54 x^{2} - 8 x)) + x (- 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1))$ .

$- \frac{x (x (54 x^{2} - 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1))}{x^{4}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$- \frac{x (x (54 x^{2} - 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1))}{x \cdot x^{3}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.4.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{x (x (54 x^{2} - 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1))}{x \cdot x^{3}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{x (54 x^{2} - 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1)}{x^{3}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{x (54 x^{2} - 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1)}{x^{3}} + \frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Moltiplica $\frac{18 x^{3} - 4 x^{2} + 1}{x^{2}}$ per $0$ .

$- \frac{x (54 x^{2} - 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1)}{x^{3}} + 0$

Passaggio 2.6.2

Somma $- \frac{x (54 x^{2} - 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1)}{x^{3}}$ e $0$ .

$- \frac{x (54 x^{2} - 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1)}{x^{3}}$

Passaggio 2.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{x (54 x^{2}) + x (- 8 x) - 2 (18 x^{3} - 4 x^{2} + 1)}{x^{3}}$

Passaggio 2.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{x (54 x^{2}) + x (- 8 x) - 2 (18 x^{3}) - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Passaggio 2.7.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \frac{54 x \cdot x^{2} + x (- 8 x) - 2 (18 x^{3}) - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Passaggio 2.7.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.3.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$- \frac{54 (x^{2} x) + x (- 8 x) - 2 (18 x^{3}) - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Passaggio 2.7.3.1.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.3.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{54 (x^{2} x^{1}) + x (- 8 x) - 2 (18 x^{3}) - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Passaggio 2.7.3.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{54 x^{2 + 1} + x (- 8 x) - 2 (18 x^{3}) - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Passaggio 2.7.3.1.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$- \frac{54 x^{3} + x (- 8 x) - 2 (18 x^{3}) - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Passaggio 2.7.3.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \frac{54 x^{3} - 8 x \cdot x - 2 (18 x^{3}) - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Passaggio 2.7.3.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.3.1.4.1

Sposta $x$ .

$- \frac{54 x^{3} - 8 (x \cdot x) - 2 (18 x^{3}) - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Passaggio 2.7.3.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- \frac{54 x^{3} - 8 x^{2} - 2 (18 x^{3}) - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Passaggio 2.7.3.1.5

Moltiplica $18$ per $- 2$ .

$- \frac{54 x^{3} - 8 x^{2} - 36 x^{3} - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Passaggio 2.7.3.1.6

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$- \frac{54 x^{3} - 8 x^{2} - 36 x^{3} + 8 x^{2} - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Passaggio 2.7.3.1.7

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- \frac{54 x^{3} - 8 x^{2} - 36 x^{3} + 8 x^{2} - 2}{x^{3}}$

Passaggio 2.7.3.2

Combina i termini opposti in $54 x^{3} - 8 x^{2} - 36 x^{3} + 8 x^{2} - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.3.2.1

Somma $- 8 x^{2}$ e $8 x^{2}$ .

$- \frac{54 x^{3} - 36 x^{3} + 0 - 2}{x^{3}}$

Passaggio 2.7.3.2.2

Somma $54 x^{3} - 36 x^{3}$ e $0$ .

$- \frac{54 x^{3} - 36 x^{3} - 2}{x^{3}}$

Passaggio 2.7.3.3

Sottrai $36 x^{3}$ da $54 x^{3}$ .

$- \frac{18 x^{3} - 2}{x^{3}}$

Passaggio 2.7.4

Scomponi $2$ da $18 x^{3} - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.1

Scomponi $2$ da $18 x^{3}$ .

$- \frac{2 (9 x^{3}) - 2}{x^{3}}$

Passaggio 2.7.4.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$- \frac{2 (9 x^{3}) + 2 (- 1)}{x^{3}}$

Passaggio 2.7.4.3

Scomponi $2$ da $2 (9 x^{3}) + 2 (- 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{3} - 1)}{x^{3}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

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Passaggio 3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2 (9 x^{3} - 1)}{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{9 x^{3} - 1}{x^{3}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{9 x^{3} - 1}{x^{3}}]$

Passaggio 3.2

$- 2 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{3} - 1] - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{3} - 1] - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- 2 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{3} - 1] - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x^{3} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 2 \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.3.3

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{3}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 \frac{x^{3} (9 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 2 \frac{x^{3} (9 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $3$ per $9$ .

$- 2 \frac{x^{3} (27 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 2 \frac{x^{3} (27 x^{2} + 0) - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.3.7

Somma $27 x^{2}$ e $0$ .

$- 2 \frac{x^{3} (27 x^{2}) - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica $x^{3}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.1

Sposta $x^{2}$ .

$- 2 \frac{x^{2} x^{3} \cdot 27 - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 2 \frac{x^{2 + 3} \cdot 27 - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.4.3

Somma $2$ e $3$ .

$- 2 \frac{x^{5} \cdot 27 - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.5

Sposta $27$ alla sinistra di $x^{5}$ .

$- 2 \frac{27 \cdot x^{5} - (9 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 2 \frac{27 x^{5} - (9 x^{3} - 1) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Passaggio 3.7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.7.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 2 \frac{27 x^{5} - 3 (9 x^{3} - 1) x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 3.7.2

$- 2$ e $\frac{27 x^{5} - 3 (9 x^{3} - 1) x^{2}}{x^{6}}$ .

$\frac{- 2 (27 x^{5} - 3 (9 x^{3} - 1) x^{2})}{x^{6}}$

Passaggio 3.7.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 (27 x^{5} - 3 (9 x^{3} - 1) x^{2})}{x^{6}}$

Passaggio 3.8

Semplifica.

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Passaggio 3.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{2 (27 x^{5} + (- 3 (9 x^{3}) - 3 \cdot - 1) x^{2})}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{2 (27 x^{5} - 3 (9 x^{3}) x^{2} - 3 \cdot - 1 x^{2})}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{2 (27 x^{5}) + 2 (- 3 (9 x^{3}) x^{2}) + 2 (- 3 \cdot - 1 x^{2})}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.8.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.8.4.1.1

Moltiplica $27$ per $2$ .

$- \frac{54 x^{5} + 2 (- 3 (9 x^{3}) x^{2}) + 2 (- 3 \cdot - 1 x^{2})}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.4.1.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.8.4.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$- \frac{54 x^{5} + 2 (- 3 (9 (x^{2} x^{3}))) + 2 (- 3 \cdot - 1 x^{2})}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.4.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{54 x^{5} + 2 (- 3 (9 x^{2 + 3})) + 2 (- 3 \cdot - 1 x^{2})}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.4.1.2.3

Somma $2$ e $3$ .

$- \frac{54 x^{5} + 2 (- 3 (9 x^{5})) + 2 (- 3 \cdot - 1 x^{2})}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.4.1.3

Moltiplica $9$ per $- 3$ .

$- \frac{54 x^{5} + 2 (- 27 x^{5}) + 2 (- 3 \cdot - 1 x^{2})}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.4.1.4

Moltiplica $- 27$ per $2$ .

$- \frac{54 x^{5} - 54 x^{5} + 2 (- 3 \cdot - 1 x^{2})}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.4.1.5

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$- \frac{54 x^{5} - 54 x^{5} + 2 (3 x^{2})}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.4.1.6

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- \frac{54 x^{5} - 54 x^{5} + 6 x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.4.2

Sottrai $54 x^{5}$ da $54 x^{5}$ .

$- \frac{0 + 6 x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.4.3

Somma $0$ e $6 x^{2}$ .

$- \frac{6 x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.5

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.5.1

Scomponi $x^{2}$ da $6 x^{2}$ .

$- \frac{x^{2} \cdot 6}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.5.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{6}$ .

$- \frac{x^{2} \cdot 6}{x^{2} x^{4}}$

Passaggio 3.8.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{x^{2} \cdot 6}{x^{2} x^{4}}$

Passaggio 3.8.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f''' (x) = - \frac{6}{x^{4}}$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

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Passaggio 4.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{6}{x^{4}}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Passaggio 4.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{4}}$ come ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

Passaggio 4.2.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 4$ .

$- 6 (- 4 x^{- 5})$

Passaggio 4.4

Moltiplica $- 4$ per $- 6$ .

$24 x^{- 5}$

Passaggio 4.5

Semplifica.

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Passaggio 4.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$24 \frac{1}{x^{5}}$

Passaggio 4.5.2

$24$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{24}{x^{5}}$

Passaggio 5

La derivata quarta di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{24}{x^{5}}$ .

$\frac{24}{x^{5}}$