Calcolo Esempi

$\frac{y^{2} + 6 y + 9}{{(y^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{y^{2} + 6 y + 3^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$6 y = 2 \cdot y \cdot 3$

Passaggio 1.1.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{y^{2} + 2 \cdot y \cdot 3 + 3^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = y$ e $b = 3$ .

$\frac{{(y + 3)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Per ogni fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore è di 2° ordine, sono necessari $2$ termini nel numeratore. Il numero di termini richiesti nel numeratore è sempre uguale all'ordine del fattore nel denominatore.

$\frac{A y + B}{{(y^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.3

$\frac{A y + B}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{C y + D}{y^{2} + 9}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è ${(y^{2} + 9)}^{2}$ .

$\frac{{(y + 3)}^{2} {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} = \frac{(A y + B) {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}}{y^{2} + 9}$

Passaggio 1.5

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune di ${(y^{2} + 9)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(y + 3)}^{2} {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} = \frac{(A y + B) {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}}{y^{2} + 9}$

Passaggio 1.5.1.2

Dividi ${(y + 3)}^{2}$ per $1$ .

${(y + 3)}^{2} = \frac{(A y + B) {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}}{y^{2} + 9}$

Passaggio 1.5.2

Riscrivi ${(y + 3)}^{2}$ come $(y + 3) (y + 3)$ .

$(y + 3) (y + 3) = \frac{(A y + B) {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}}{y^{2} + 9}$

Passaggio 1.6

Espandi $(y + 3) (y + 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$y (y + 3) + 3 (y + 3) = \frac{(A y + B) {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}}{y^{2} + 9}$

Passaggio 1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$y \cdot y + y \cdot 3 + 3 (y + 3) = \frac{(A y + B) {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}}{y^{2} + 9}$

Passaggio 1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$y \cdot y + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3 = \frac{(A y + B) {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}}{y^{2} + 9}$

Passaggio 1.7

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y^{2} + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3 = \frac{(A y + B) {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}}{y^{2} + 9}$

Passaggio 1.7.1.2

Sposta $3$ alla sinistra di $y$ .

$y^{2} + 3 \cdot y + 3 y + 3 \cdot 3 = \frac{(A y + B) {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}}{y^{2} + 9}$

Passaggio 1.7.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$y^{2} + 3 y + 3 y + 9 = \frac{(A y + B) {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}}{y^{2} + 9}$

Passaggio 1.7.2

Somma $3 y$ e $3 y$ .

$y^{2} + 6 y + 9 = \frac{(A y + B) {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}}{y^{2} + 9}$

Passaggio 1.8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Elimina il fattore comune di ${(y^{2} + 9)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1.1

Elimina il fattore comune.

$y^{2} + 6 y + 9 = \frac{(A y + B) {(y^{2} + 9)}^{2}}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}}{y^{2} + 9}$

Passaggio 1.8.1.2

Dividi $A y + B$ per $1$ .

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + \frac{(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}}{y^{2} + 9}$

Passaggio 1.8.2

Elimina il fattore comune di ${(y^{2} + 9)}^{2}$ e $y^{2} + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.2.1

Scomponi $y^{2} + 9$ da $(C y + D) {(y^{2} + 9)}^{2}$ .

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + \frac{(y^{2} + 9) ((C y + D) (y^{2} + 9))}{y^{2} + 9}$

Passaggio 1.8.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + \frac{(y^{2} + 9) ((C y + D) (y^{2} + 9))}{(y^{2} + 9) \cdot 1}$

Passaggio 1.8.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + \frac{(y^{2} + 9) ((C y + D) (y^{2} + 9))}{(y^{2} + 9) \cdot 1}$

Passaggio 1.8.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + \frac{(C y + D) (y^{2} + 9)}{1}$

Passaggio 1.8.2.2.4

Dividi $(C y + D) (y^{2} + 9)$ per $1$ .

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + (C y + D) (y^{2} + 9)$

Passaggio 1.8.3

Espandi $(C y + D) (y^{2} + 9)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + C y (y^{2} + 9) + D (y^{2} + 9)$

Passaggio 1.8.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + C y \cdot y^{2} + C y \cdot 9 + D (y^{2} + 9)$

Passaggio 1.8.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + C y \cdot y^{2} + C y \cdot 9 + D y^{2} + D \cdot 9$

Passaggio 1.8.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.4.1

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.4.1.1

Sposta $y^{2}$ .

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + C (y^{2} y) + C y \cdot 9 + D y^{2} + D \cdot 9$

Passaggio 1.8.4.1.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.4.1.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + C (y^{2} y) + C y \cdot 9 + D y^{2} + D \cdot 9$

Passaggio 1.8.4.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + C y^{2 + 1} + C y \cdot 9 + D y^{2} + D \cdot 9$

Passaggio 1.8.4.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + C y^{3} + C y \cdot 9 + D y^{2} + D \cdot 9$

Passaggio 1.8.4.2

Sposta $9$ alla sinistra di $C y$ .

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + C y^{3} + 9 \cdot (C y) + D y^{2} + D \cdot 9$

Passaggio 1.8.4.3

Sposta $9$ alla sinistra di $D$ .

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + B + C y^{3} + 9 C y + D y^{2} + 9 D$

Passaggio 1.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1

Sposta $B$ .

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + C y^{3} + 9 C y + D y^{2} + B + 9 D$

Passaggio 1.9.2

Sposta $9 C y$ .

$y^{2} + 6 y + 9 = A y + C y^{3} + D y^{2} + 9 C y + B + 9 D$

Passaggio 1.9.3

Sposta $A y$ .

$y^{2} + 6 y + 9 = C y^{3} + D y^{2} + A y + 9 C y + B + 9 D$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $y^{3}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = C$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $y^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = D$

Passaggio 2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $y$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$6 = A + 9 C$

Passaggio 2.4

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $y$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$9 = B + 9 D$

Passaggio 2.5

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = C$

$1 = D$

$6 = A + 9 C$

$9 = B + 9 D$

$0 = C$

$1 = D$

$6 = A + 9 C$

$9 = B + 9 D$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $C = 0$ .

$C = 0$

$1 = D$

$6 = A + 9 C$

$9 = B + 9 D$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $0$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Riscrivi l'equazione come $D = 1$ .

$D = 1$

$C = 0$

$6 = A + 9 C$

$9 = B + 9 D$

Passaggio 3.2.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $6 = A + 9 C$ con $0$ .

$6 = A + 9 (0)$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9 D$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Semplifica $A + 9 (0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1

Moltiplica $9$ per $0$ .

$6 = A + 0$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9 D$

Passaggio 3.2.3.1.2

Somma $A$ e $0$ .

$6 = A$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9 D$

$6 = A$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9 D$

$6 = A$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9 D$

$6 = A$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9 D$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $D$ con $1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $A = 6$ .

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9 D$

Passaggio 3.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $D$ in $9 = B + 9 D$ con $1$ .

$9 = B + 9 (1)$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Moltiplica $9$ per $1$ .

$9 = B + 9$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

Passaggio 3.4

Risolvi per $B$ in $9 = B + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $B + 9 = 9$ .

$B + 9 = 9$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

Passaggio 3.4.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = 9 - 9$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

Passaggio 3.4.2.2

Sottrai $9$ da $9$ .

$B = 0$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

$B = 0$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

$B = 0$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

Passaggio 3.5

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = 0 A = 6 D = 1 C = 0$

Passaggio 3.6

Elenca tutte le soluzioni.

$B = 0, A = 6, D = 1, C = 0$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A y + B}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{C y + D}{y^{2} + 9}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ , $C$ e $D$ .

$\frac{6 y + 0}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{0 y + 1}{y^{2} + 9}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Somma $(6) \cdot y$ e $0$ .

$\frac{6 y}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(0) \cdot y + 1}{y^{2} + 9}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $0$ per $y$ .

$\frac{6 y}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{0 + 1}{y^{2} + 9}$

Passaggio 5.3

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{6 y}{{(y^{2} + 9)}^{2}} + \frac{1}{y^{2} + 9}$