Calcolo Esempi

$f (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{50}}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{50}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{50}}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x^{2}}{50}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- \frac{x^{2}}{50}$ .

$- (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}])$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}])$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- \frac{x^{2}}{50}$ .

$- (e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}])$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- \frac{1}{50}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x^{2}}{50}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- e^{- \frac{x^{2}}{50}} (- \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.1.3.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 e^{- \frac{x^{2}}{50}} (\frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.1.3.2.2

Moltiplica $e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ per $1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{50}} (\frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.1.3.2.3

$\frac{1}{50}$ e $e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ .

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} (2 x)$

Passaggio 1.1.3.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1

$2$ e $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50}$ .

$\frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} x$

Passaggio 1.1.3.4.2

$\frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50}$ e $x$ .

$\frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{50}$

Passaggio 1.1.3.4.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $50$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.3.1

Scomponi $2$ da $2 e^{- \frac{x^{2}}{50}} x$ .

$\frac{2 (e^{- \frac{x^{2}}{50}} x)}{50}$

Passaggio 1.1.3.4.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.3.2.1

Scomponi $2$ da $50$ .

$\frac{2 (e^{- \frac{x^{2}}{50}} x)}{2 \cdot 25}$

Passaggio 1.1.3.4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (e^{- \frac{x^{2}}{50}} x)}{2 \cdot 25}$

Passaggio 1.1.3.4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{25}$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Riordina i fattori in $e^{- \frac{x^{2}}{50}} x$ .

$\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 1.1.4.2

Riordina i termini.

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{25}$

Passaggio 1.1.4.3

Riordina i fattori in $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{25}$ .

$f' (x) = \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $\frac{1}{25}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{25} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{50}}]$ .

$\frac{1}{25} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{50}}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ .

$\frac{1}{25} (x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{50}}] + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x^{2}}{50}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- \frac{x^{2}}{50}$ .

$\frac{1}{25} (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}]) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{25} (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}]) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- \frac{x^{2}}{50}$ .

$\frac{1}{25} (x (e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}]) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Poiché $- \frac{1}{50}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x^{2}}{50}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{25} (x (e^{- \frac{x^{2}}{50}} (- \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

$e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ e $\frac{1}{50}$ .

$\frac{1}{25} (x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.4.2.2

$x$ e $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50}$ .

$\frac{1}{25} (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{25} (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.4.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{25} (- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} x + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.4.4.2

$- 2$ e $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} x + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.4.4.3

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50}$ e $x$ .

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{50}}) x}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.8

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.8.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $50$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.2.1

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.8.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.2.2.1

Scomponi $2$ da $50$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{2 (25)} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.8.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{25} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{2 \cdot 25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.8.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{25} (\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.8.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{25} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{25} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \cdot 1)$

Passaggio 1.2.10

Moltiplica $e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ per $1$ .

$\frac{1}{25} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}})$

Passaggio 1.2.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{25} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}) + \frac{1}{25} e^{- \frac{x^{2}}{50}}$

Passaggio 1.2.11.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.11.2.1

Moltiplica $\frac{1}{25}$ per $\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25 \cdot 25} + \frac{1}{25} e^{- \frac{x^{2}}{50}}$

Passaggio 1.2.11.2.2

Moltiplica $25$ per $25$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{1}{25} e^{- \frac{x^{2}}{50}}$

Passaggio 1.2.11.2.3

$\frac{1}{25}$ e $e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} = 0$

Passaggio 2.2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x = - 5, 5$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $- 5$ in $f (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 5$ nell'espressione.

$f (- 5) = - e^{- \frac{{(- 5)}^{2}}{50}}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$f (- 5) = - e^{- \frac{25}{50}}$

Passaggio 3.1.2.2

Elimina il fattore comune di $25$ e $50$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Scomponi $25$ da $25$ .

$f (- 5) = - e^{- \frac{25 (1)}{50}}$

Passaggio 3.1.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.2.1

Scomponi $25$ da $50$ .

$f (- 5) = - e^{- \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 2}}$

Passaggio 3.1.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- 5) = - e^{- \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 2}}$

Passaggio 3.1.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- 5) = - e^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 3.1.2.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 5) = - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.1.2.4

La risposta finale è $- \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $- 5$ in $f (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ è $(- 5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 3.3

Sostituisci $5$ in $f (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f (5) = - e^{- \frac{{(5)}^{2}}{50}}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f (5) = - e^{- \frac{25}{50}}$

Passaggio 3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $25$ e $50$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Scomponi $25$ da $25$ .

$f (5) = - e^{- \frac{25 (1)}{50}}$

Passaggio 3.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.2.1

Scomponi $25$ da $50$ .

$f (5) = - e^{- \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (5) = - e^{- \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (5) = - e^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 3.3.2.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (5) = - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.3.2.4

La risposta finale è $- \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $5$ in $f (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ è $(5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 3.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(- 5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 5)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 5.1$ nell'espressione.

$f'' (- 5.1) = - \frac{{(- 5.1)}^{2} e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Sposta $e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 5.1) = - \frac{{(- 5.1)}^{2}}{625 e^{\frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 5.2.1.2

Eleva $- 5.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 5.1) = - \frac{{(- 5.1)}^{2}}{625 e^{\frac{26.01}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 5.2.1.3

Eleva $- 5.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 5.1) = - \frac{26.01}{625 e^{\frac{26.01}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 5.2.1.4

Dividi $26.01$ per $50$ .

$f'' (- 5.1) = - \frac{26.01}{625 e^{0.5202}} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 5.2.1.5

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f'' (- 5.1) = - \frac{26.01}{625 \cdot {2.71828182}^{0.5202}} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 5.2.1.6

Eleva $2.71828182$ alla potenza di $0.5202$ .

$f'' (- 5.1) = - \frac{26.01}{625 \cdot 1.68236408} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 5.2.1.7

Moltiplica $625$ per $1.68236408$ .

$f'' (- 5.1) = - \frac{26.01}{1051.47755554} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 5.2.1.8

Dividi $26.01$ per $1051.47755554$ .

$f'' (- 5.1) = - 1 \cdot 0.02473661 + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 5.2.1.9

Moltiplica $- 1$ per $0.02473661$ .

$f'' (- 5.1) = - 0.02473661 + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 5.2.1.10

Sposta $e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{\frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}$

Passaggio 5.2.1.11

Eleva $- 5.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{\frac{26.01}{50}}}$

Passaggio 5.2.1.12

Dividi $26.01$ per $50$ .

$f'' (- 5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{0.5202}}$

Passaggio 5.2.2

Somma $- 0.02473661$ e $\frac{1}{25 e^{0.5202}}$ .

$f'' (- 5.1) = - 0.00096055$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 0.00096055$ .

$- 0.00096055$

Passaggio 5.3

Per $- 5.1$ , la derivata seconda è $- 0.00096055$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - 5)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 5)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 5, 5)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = - \frac{{(0)}^{2} e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = - \frac{0^{2} e^{- \frac{0}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 6.2.1.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = - \frac{0 e^{- \frac{0}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 6.2.1.2.2

Dividi $0$ per $50$ .

$f'' (0) = - \frac{0 e^{- 0}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 6.2.1.2.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f'' (0) = - \frac{0 e^{0}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 6.2.1.2.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f'' (0) = - \frac{0 \cdot 1}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $0$ per $1$ .

$f'' (0) = - \frac{0}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 6.2.1.4

Dividi $0$ per $625$ .

$f'' (0) = - 0 + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 6.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 6.2.1.6

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = 0 + \frac{e^{- \frac{0}{50}}}{25}$

Passaggio 6.2.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.7.1

Dividi $0$ per $50$ .

$f'' (0) = 0 + \frac{e^{- 0}}{25}$

Passaggio 6.2.1.7.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 + \frac{e^{0}}{25}$

Passaggio 6.2.1.7.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f'' (0) = 0 + \frac{1}{25}$

Passaggio 6.2.2

Somma $0$ e $\frac{1}{25}$ .

$f'' (0) = \frac{1}{25}$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $\frac{1}{25}$ .

$\frac{1}{25}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $0$ , la derivata seconda è $0.04$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- 5, 5)$ .

Crescente su $(- 5, 5)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(5, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5.1$ nell'espressione.

$f'' (5.1) = - \frac{{(5.1)}^{2} e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Sposta $e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (5.1) = - \frac{{(5.1)}^{2}}{625 e^{\frac{{5.1}^{2}}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 7.2.1.2

Eleva $5.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (5.1) = - \frac{{5.1}^{2}}{625 e^{\frac{26.01}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $5.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (5.1) = - \frac{26.01}{625 e^{\frac{26.01}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 7.2.1.4

Dividi $26.01$ per $50$ .

$f'' (5.1) = - \frac{26.01}{625 e^{0.5202}} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 7.2.1.5

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f'' (5.1) = - \frac{26.01}{625 \cdot {2.71828182}^{0.5202}} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 7.2.1.6

Eleva $2.71828182$ alla potenza di $0.5202$ .

$f'' (5.1) = - \frac{26.01}{625 \cdot 1.68236408} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 7.2.1.7

Moltiplica $625$ per $1.68236408$ .

$f'' (5.1) = - \frac{26.01}{1051.47755554} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 7.2.1.8

Dividi $26.01$ per $1051.47755554$ .

$f'' (5.1) = - 1 \cdot 0.02473661 + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 7.2.1.9

Moltiplica $- 1$ per $0.02473661$ .

$f'' (5.1) = - 0.02473661 + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Passaggio 7.2.1.10

Sposta $e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{\frac{{5.1}^{2}}{50}}}$

Passaggio 7.2.1.11

Eleva $5.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{\frac{26.01}{50}}}$

Passaggio 7.2.1.12

Dividi $26.01$ per $50$ .

$f'' (5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{0.5202}}$

Passaggio 7.2.2

Somma $- 0.02473661$ e $\frac{1}{25 e^{0.5202}}$ .

$f'' (5.1) = - 0.00096055$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 0.00096055$ .

$- 0.00096055$

Passaggio 7.3

Per $5.1$ , la derivata seconda è $- 0.00096055$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(5, \infty)$ .

Decrescente su $(5, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(- 5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ .

$(- 5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 9