Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{3} x^{3} - x^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{3} x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 1.1.2.3

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 1.1.2.4

$\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 1.1.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 1.1.2.5.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Passaggio 1.1.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 1.1.3.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 1.1.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 1.1.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Passaggio 1.1.3.6.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Passaggio 1.1.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Passaggio 1.1.3.8

$\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$x^{2} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 1.1.3.9

Sposta $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x^{2} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 1.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $- \frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$2 x - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 1.2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ come ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$2 x - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Passaggio 1.2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Passaggio 1.2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Passaggio 1.2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Passaggio 1.2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Passaggio 1.2.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Passaggio 1.2.2.5.2

$\frac{1}{3}$ e $- 2$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Passaggio 1.2.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Passaggio 1.2.2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Passaggio 1.2.2.7

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 1.2.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 1.2.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Passaggio 1.2.2.9.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Passaggio 1.2.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Passaggio 1.2.2.11

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Passaggio 1.2.2.12

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Passaggio 1.2.2.13

Moltiplica $x^{- \frac{2}{3}}$ per $x^{- \frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.13.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x - \frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

Passaggio 1.2.2.13.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x - \frac{2}{3} (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

Passaggio 1.2.2.13.3

Sottrai $2$ da $- 2$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

Passaggio 1.2.2.13.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 x - \frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Passaggio 1.2.2.14

Sposta $x^{- \frac{4}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Passaggio 1.2.2.15

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$2 x + 1 (\frac{2}{3}) \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.2.16

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

$2 x + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2.2.17

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$2 x + \frac{2}{3 (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Passaggio 1.2.2.18

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$

Passaggio 2.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, 9 x^{\frac{4}{3}}, 1$

Passaggio 2.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$9 x^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 2.3

Moltiplica per $9 x^{\frac{4}{3}}$ ciascun termine in $2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica ogni termine in $2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ per $9 x^{\frac{4}{3}}$ .

$2 x (9 x^{\frac{4}{3}}) + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \cdot 9 x \cdot x^{\frac{4}{3}} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 2.3.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{4}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.2.1

Sposta $x^{\frac{4}{3}}$ .

$2 \cdot 9 (x^{\frac{4}{3}} x) + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 2.3.2.1.2.2

Moltiplica $x^{\frac{4}{3}}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 \cdot 9 (x^{\frac{4}{3}} x^{1}) + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 2.3.2.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \cdot 9 x^{\frac{4}{3} + 1} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 2.3.2.1.2.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$2 \cdot 9 x^{\frac{4}{3} + \frac{3}{3}} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 2.3.2.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 \cdot 9 x^{\frac{4 + 3}{3}} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 2.3.2.1.2.5

Somma $4$ e $3$ .

$2 \cdot 9 x^{\frac{7}{3}} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 2.3.2.1.3

Moltiplica $2$ per $9$ .

$18 x^{\frac{7}{3}} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 2.3.2.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$18 x^{\frac{7}{3}} + 9 \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 2.3.2.1.5

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$18 x^{\frac{7}{3}} + 9 \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 2.3.2.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$18 x^{\frac{7}{3}} + \frac{2}{x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 2.3.2.1.6

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{4}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$18 x^{\frac{7}{3}} + \frac{2}{x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 2.3.2.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$18 x^{\frac{7}{3}} + 2 = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $0 (9 x^{\frac{4}{3}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Moltiplica $9$ per $0$ .

$18 x^{\frac{7}{3}} + 2 = 0 x^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Moltiplica $0$ per $x^{\frac{4}{3}}$ .

$18 x^{\frac{7}{3}} + 2 = 0$

Passaggio 2.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$18 x^{\frac{7}{3}} = - 2$

Passaggio 2.4.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $\frac{3}{7}$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(18 x^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

Passaggio 2.4.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Semplifica ${(18 x^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $18 x^{\frac{7}{3}}$ .

$18^{\frac{3}{7}} {(x^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

Passaggio 2.4.3.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$18^{\frac{3}{7}} x^{\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

Passaggio 2.4.3.1.2.2

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$18^{\frac{3}{7}} x^{\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

Passaggio 2.4.3.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$18^{\frac{3}{7}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

Passaggio 2.4.3.1.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$18^{\frac{3}{7}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

Passaggio 2.4.3.1.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$18^{\frac{3}{7}} x^{1} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

Passaggio 2.4.3.1.3

Semplifica.

$18^{\frac{3}{7}} x = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

Passaggio 2.4.3.1.4

Riordina i fattori in $18^{\frac{3}{7}} x$ .

$x \cdot 18^{\frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

Passaggio 2.4.4

Dividi per $18^{\frac{3}{7}}$ ciascun termine in $x \cdot 18^{\frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Dividi per $18^{\frac{3}{7}}$ ciascun termine in $x \cdot 18^{\frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$ .

$\frac{x \cdot 18^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}} = \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 2.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \cdot 18^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}} = \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 2.4.4.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$ in $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{\frac{2}{3}}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$ nell'espressione.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{3} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}}{{(18^{\frac{3}{7}})}^{3}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Combina.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{1 {({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}}{3 {(18^{\frac{3}{7}})}^{3}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 3.1.2.1.3

Moltiplica ${({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}$ per $1$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}}{3 {(18^{\frac{3}{7}})}^{3}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 3.1.2.1.4

Moltiplica gli esponenti in ${(18^{\frac{3}{7}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}}{3 \cdot 18^{\frac{3}{7} \cdot 3}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 3.1.2.1.4.2

Moltiplica $\frac{3}{7} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.4.2.1

$\frac{3}{7}$ e $3$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}}{3 \cdot 18^{\frac{3 \cdot 3}{7}}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 3.1.2.1.4.2.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 3.1.2.1.5

Moltiplica gli esponenti in ${({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7} \cdot 3}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 3.1.2.1.5.2

Moltiplica $\frac{3}{7} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.5.2.1

$\frac{3}{7}$ e $3$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{3 \cdot 3}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 3.1.2.1.5.2.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 3.1.2.1.6

Applica la regola del prodotto a $\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}{{(18^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.1.2.1.7

Moltiplica gli esponenti in ${({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.7.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3}}}{{(18^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.1.2.1.7.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.7.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3}}}{{(18^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.1.2.1.7.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{1}{7} \cdot 2}}{{(18^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.1.2.1.7.3

$\frac{1}{7}$ e $2$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{{(18^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.1.2.1.8

Moltiplica gli esponenti in ${(18^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.8.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.1.2.1.8.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.8.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.1.2.1.8.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{1}{7} \cdot 2}}$

Passaggio 3.1.2.1.8.3

$\frac{1}{7}$ e $2$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{2}{7}}}$

Passaggio 3.1.2.2

Per scrivere $- \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{2}{7}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 \cdot 18^{\frac{7}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{7}{7}}}$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{2}{7}}} \cdot \frac{3 \cdot 18^{\frac{7}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{7}{7}}}$

Passaggio 3.1.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1

Moltiplica $\frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{2}{7}}}$ per $\frac{3 \cdot 18^{\frac{7}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{7}{7}}}$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}{18^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}$

Passaggio 3.1.2.3.2

Moltiplica $18^{\frac{2}{7}}$ per $18^{\frac{7}{7}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.2.1

Sposta $18^{\frac{7}{7}}$ .

Passaggio 3.1.2.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

Passaggio 3.1.2.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}{18^{\frac{7 + 2}{7}} \cdot 3}$

Passaggio 3.1.2.3.2.4

Somma $7$ e $2$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}{18^{\frac{9}{7}} \cdot 3}$

Passaggio 3.1.2.3.3

Riordina i fattori di $18^{\frac{9}{7}} \cdot 3$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

Passaggio 3.1.2.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.4.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - {(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

Passaggio 3.1.2.4.2

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - {(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

Passaggio 3.1.2.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - {(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18)}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

Passaggio 3.1.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.5.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 3 {(- 2)}^{\frac{2}{7}} \cdot 18}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

Passaggio 3.1.2.5.2

Calcola l'esponente.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 3 {(- 2)}^{\frac{2}{7}} \cdot 18}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

Passaggio 3.1.2.5.3

Moltiplica $18$ per $- 3$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

Passaggio 3.1.2.6

La risposta finale è $\frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$ .

$\frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$ in $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{\frac{2}{3}}$ è $(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}})$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) \cup (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.48997693$ nell'espressione.

$f'' (- 0.48997693) = 2 (- 0.48997693) + \frac{2}{9 {(- 0.48997693)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $2$ per $- 0.48997693$ .

$f'' (- 0.48997693) = - 0.97995387 + \frac{2}{9 {(- 0.48997693)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 5.2.2

La risposta finale è $- 0.97995387 + \frac{2}{9 {(- 0.48997693)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$- 0.97995387 + \frac{2}{9 {(- 0.48997693)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 5.3

Per $- 0.48997693$ , la derivata seconda è $- 0.40466412$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})$ .

Decrescente su $(- \infty, \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.28997693$ nell'espressione.

$f'' (- 0.28997693) = 2 (- 0.28997693) + \frac{2}{9 {(- 0.28997693)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $2$ per $- 0.28997693$ .

$f'' (- 0.28997693) = - 0.57995387 + \frac{2}{9 {(- 0.28997693)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 6.2.2

La risposta finale è $- 0.57995387 + \frac{2}{9 {(- 0.28997693)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$- 0.57995387 + \frac{2}{9 {(- 0.28997693)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $- 0.28997693$ , la derivata seconda è $0.57785322$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}})$ .

$(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}})$

Passaggio 8