Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{3}{32} x^{2} - 4 x^{- 2}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{3}{32} x^{2} - 4 x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{3}{32} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{32} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{3}{32} x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $\frac{3}{32}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3}{32} x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{3}{32} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Passaggio 1.1.2.3

$2$ e $\frac{3}{32}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{32} x + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Passaggio 1.1.2.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{6}{32} x + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Passaggio 1.1.2.5

$\frac{6}{32}$ e $x$ .

$\frac{6 x}{32} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Passaggio 1.1.2.6

Elimina il fattore comune di $6$ e $32$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Scomponi $2$ da $6 x$ .

$\frac{2 (3 x)}{32} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Passaggio 1.1.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.2.1

Scomponi $2$ da $32$ .

$\frac{2 (3 x)}{2 (16)} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Passaggio 1.1.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (3 x)}{2 \cdot 16} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Passaggio 1.1.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 x}{16} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$\frac{3 x}{16} - 4 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$\frac{3 x}{16} - 4 (- 2 x^{- 3})$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$\frac{3 x}{16} + 8 x^{- 3}$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3 x}{16} + 8 \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 1.1.4.2

$8$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3 x}{16} + \frac{8}{x^{3}}$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{3 x}{16} + \frac{8}{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{16}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $\frac{3}{16}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 x}{16}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{16} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{16} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{3}{16} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $\frac{3}{16}$ per $1$ .

$\frac{3}{16} + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{8}{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{3}{16} + 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Passaggio 1.2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{3}{16} + 8 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Passaggio 1.2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3}$ .

$\frac{3}{16} + 8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.2.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{3}{16} + 8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3}$ .

$\frac{3}{16} + 8 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{3}{16} + 8 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Passaggio 1.2.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{16} + 8 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Passaggio 1.2.3.5.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$\frac{3}{16} + 8 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Passaggio 1.2.3.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{3}{16} + 8 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Passaggio 1.2.3.7

Moltiplica $x^{- 6}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.7.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{3}{16} + 8 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Passaggio 1.2.3.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3}{16} + 8 (- 3 x^{2 - 6})$

Passaggio 1.2.3.7.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$\frac{3}{16} + 8 (- 3 x^{- 4})$

Passaggio 1.2.3.8

Moltiplica $- 3$ per $8$ .

$\frac{3}{16} - 24 x^{- 4}$

Passaggio 1.2.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{16} - 24 \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1.1

$- 24$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{3}{16} + \frac{- 24}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.5.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{3}{16} - \frac{24}{x^{4}}$

Passaggio 1.2.5.2

Riordina i termini.

$f'' (x) = - \frac{24}{x^{4}} + \frac{3}{16}$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{24}{x^{4}} + \frac{3}{16}$ .

$- \frac{24}{x^{4}} + \frac{3}{16}$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- \frac{24}{x^{4}} + \frac{3}{16} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- \frac{24}{x^{4}} + \frac{3}{16} = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $\frac{3}{16}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{24}{x^{4}} = - \frac{3}{16}$

Passaggio 2.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x^{4}, 16$

Passaggio 2.3.2

Poiché $x^{4}, 16$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $1, 16$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $x^{4}$ .

Passaggio 2.3.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.3.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.3.5

I fattori primi per $16$ sono $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

$16$ presenta fattori di $2$ e $8$ .

$2 \cdot 8$

Passaggio 2.3.5.2

$8$ presenta fattori di $2$ e $4$ .

$2 \cdot 2 \cdot 4$

Passaggio 2.3.5.3

$4$ presenta fattori di $2$ e $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 \cdot 2 \cdot 2$

Passaggio 2.3.6.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$8 \cdot 2$

Passaggio 2.3.6.3

Moltiplica $8$ per $2$ .

$16$

Passaggio 2.3.7

I fattori di $x^{4}$ sono $x \cdot x \cdot x \cdot x$ , che corrisponde a $x$ moltiplicato per i fattori $4$ volte.

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ si verifica $4$ volte.

Passaggio 2.3.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $x^{4}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$x \cdot x \cdot x \cdot x$

Passaggio 2.3.9

Semplifica $x \cdot x \cdot x \cdot x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} \cdot x \cdot x$

Passaggio 2.3.9.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.2.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1} \cdot x$

Passaggio 2.3.9.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2 + 1} \cdot x$

Passaggio 2.3.9.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$x^{3} \cdot x$

Passaggio 2.3.9.3

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.3.1

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.3.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{3} \cdot x^{1}$

Passaggio 2.3.9.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{3 + 1}$

Passaggio 2.3.9.3.2

Somma $3$ e $1$ .

$x^{4}$

Passaggio 2.3.10

Il minimo comune multiplo di $x^{4}, 16$ è la parte numerica $16$ moltiplicata per la parte variabile.

$16 x^{4}$

Passaggio 2.4

Moltiplica per $16 x^{4}$ ciascun termine in $- \frac{24}{x^{4}} = - \frac{3}{16}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{24}{x^{4}} = - \frac{3}{16}$ per $16 x^{4}$ .

$- \frac{24}{x^{4}} (16 x^{4}) = - \frac{3}{16} (16 x^{4})$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{24}{x^{4}}$ nel numeratore.

$\frac{- 24}{x^{4}} (16 x^{4}) = - \frac{3}{16} (16 x^{4})$

Passaggio 2.4.2.1.2

Scomponi $x^{4}$ da $16 x^{4}$ .

$\frac{- 24}{x^{4}} (x^{4} \cdot 16) = - \frac{3}{16} (16 x^{4})$

Passaggio 2.4.2.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 24}{x^{4}} (x^{4} \cdot 16) = - \frac{3}{16} (16 x^{4})$

Passaggio 2.4.2.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- 24 \cdot 16 = - \frac{3}{16} (16 x^{4})$

Passaggio 2.4.2.2

Moltiplica $- 24$ per $16$ .

$- 384 = - \frac{3}{16} (16 x^{4})$

Passaggio 2.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Elimina il fattore comune di $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{16}$ nel numeratore.

$- 384 = \frac{- 3}{16} (16 x^{4})$

Passaggio 2.4.3.1.2

Scomponi $16$ da $16 x^{4}$ .

$- 384 = \frac{- 3}{16} (16 (x^{4}))$

Passaggio 2.4.3.1.3

Elimina il fattore comune.

$- 384 = \frac{- 3}{16} (16 x^{4})$

Passaggio 2.4.3.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- 384 = - 3 x^{4}$

Passaggio 2.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi l'equazione come $- 3 x^{4} = - 384$ .

$- 3 x^{4} = - 384$

Passaggio 2.5.2

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x^{4} = - 384$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x^{4} = - 384$ .

$\frac{- 3 x^{4}}{- 3} = \frac{- 384}{- 3}$

Passaggio 2.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 x^{4}}{- 3} = \frac{- 384}{- 3}$

Passaggio 2.5.2.2.1.2

Dividi $x^{4}$ per $1$ .

$x^{4} = \frac{- 384}{- 3}$

Passaggio 2.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1

Dividi $- 384$ per $- 3$ .

$x^{4} = 128$

Passaggio 2.5.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt[4]{128}$

Passaggio 2.5.4

Semplifica $\pm \sqrt[4]{128}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Riscrivi $128$ come $2^{4} \cdot 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1.1

Scomponi $16$ da $128$ .

$x = \pm \sqrt[4]{16 (8)}$

Passaggio 2.5.4.1.2

Riscrivi $16$ come $2^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{2^{4} \cdot 8}$

Passaggio 2.5.4.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm 2 \sqrt[4]{8}$

Passaggio 2.5.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2 \sqrt[4]{8}$

Passaggio 2.5.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2 \sqrt[4]{8}$

Passaggio 2.5.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2 \sqrt[4]{8}, - 2 \sqrt[4]{8}$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $2 \sqrt[4]{8}$ in $f (x) = \frac{3}{32} x^{2} - 4 x^{- 2}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2 \sqrt[4]{8}$ nell'espressione.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{32} \cdot {(2 \sqrt[4]{8})}^{2} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt[4]{8}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{32} \cdot (2^{2} {\sqrt[4]{8}}^{2}) - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{32} \cdot (4 {\sqrt[4]{8}}^{2}) - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.1.2.1.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.3.1

Scomponi $4$ da $32$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{4 (8)} \cdot (4 {\sqrt[4]{8}}^{2}) - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.1.2.1.3.2

Scomponi $4$ da $4 {\sqrt[4]{8}}^{2}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{4 (8)} \cdot (4 ({\sqrt[4]{8}}^{2})) - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.1.2.1.3.3

Elimina il fattore comune.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{4 \cdot 8} \cdot (4 {\sqrt[4]{8}}^{2}) - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.1.2.1.3.4

Riscrivi l'espressione.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{8} \cdot {\sqrt[4]{8}}^{2} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.1.2.1.4

$\frac{3}{8}$ e ${\sqrt[4]{8}}^{2}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 {\sqrt[4]{8}}^{2}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.1.2.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.5.1

Riscrivi ${\sqrt[4]{8}}^{2}$ come $\sqrt{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.5.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{8}$ come $8^{\frac{1}{4}}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 {(8^{\frac{1}{4}})}^{2}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.1.2.1.5.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{1}{4} \cdot 2}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.1.2.1.5.1.3

$\frac{1}{4}$ e $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{2}{4}}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.1.2.1.5.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.5.1.4.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{2 (1)}{4}}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.1.2.1.5.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.5.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.1.2.1.5.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.1.2.1.5.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{1}{2}}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.1.2.1.5.1.5

Riscrivi $8^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{8}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{8}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.1.2.1.5.2

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.5.2.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{4 (2)}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.1.2.1.5.2.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.1.2.1.5.3

Estrai i termini dal radicale.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot (2 \sqrt{2})}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.1.2.1.5.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{6 \sqrt{2}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.1.2.1.6

Elimina il fattore comune di $6$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.6.1

Scomponi $2$ da $6 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 (3 \sqrt{2})}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.1.2.1.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.6.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 (4)} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.1.2.1.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 \cdot 4} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.1.2.1.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.1.2.1.7

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{{(2 \sqrt[4]{8})}^{2}}$

Passaggio 3.1.2.1.8

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.8.1

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt[4]{8}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{2^{2} {\sqrt[4]{8}}^{2}}$

Passaggio 3.1.2.1.8.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 {\sqrt[4]{8}}^{2}}$

Passaggio 3.1.2.1.8.3

Riscrivi ${\sqrt[4]{8}}^{2}$ come $\sqrt{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.8.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{8}$ come $8^{\frac{1}{4}}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 {(8^{\frac{1}{4}})}^{2}}$

Passaggio 3.1.2.1.8.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{1}{4} \cdot 2}}$

Passaggio 3.1.2.1.8.3.3

$\frac{1}{4}$ e $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{2}{4}}}$

Passaggio 3.1.2.1.8.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.8.3.4.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{2 (1)}{4}}}$

Passaggio 3.1.2.1.8.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.8.3.4.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}$

Passaggio 3.1.2.1.8.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}$

Passaggio 3.1.2.1.8.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.1.2.1.8.3.5

Riscrivi $8^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{8}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \sqrt{8}}$

Passaggio 3.1.2.1.8.4

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.8.4.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \sqrt{4 (2)}}$

Passaggio 3.1.2.1.8.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.1.2.1.8.5

Estrai i termini dal radicale.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot (2 \sqrt{2})}$

Passaggio 3.1.2.1.8.6

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{8 \sqrt{2}}$

Passaggio 3.1.2.1.9

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.9.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} + 4 (- 1) (\frac{1}{8 \sqrt{2}})$

Passaggio 3.1.2.1.9.2

Scomponi $4$ da $8 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} + 4 (- 1) (\frac{1}{4 (2 \sqrt{2})})$

Passaggio 3.1.2.1.9.3

Elimina il fattore comune.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} + 4 \cdot (- 1 \frac{1}{4 (2 \sqrt{2})})$

Passaggio 3.1.2.1.9.4

Riscrivi l'espressione.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{1}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 3.1.2.1.10

Moltiplica $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 (\frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Passaggio 3.1.2.1.11

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.11.1

Moltiplica $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 3.1.2.1.11.2

Sposta $\sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Passaggio 3.1.2.1.11.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Passaggio 3.1.2.1.11.4

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Passaggio 3.1.2.1.11.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.1.2.1.11.6

Somma $1$ e $1$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 3.1.2.1.11.7

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.11.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.1.2.1.11.7.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.1.2.1.11.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.1.2.1.11.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.11.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.1.2.1.11.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.1.2.1.11.7.5

Calcola l'esponente.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.1.2.1.12

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{4}$

Passaggio 3.1.2.1.13

Riscrivi $- 1 \frac{\sqrt{2}}{4}$ come $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{2}}{4}$

Passaggio 3.1.2.2.2

Sottrai $\sqrt{2}$ da $3 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4}$

Passaggio 3.1.2.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.3.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 (\sqrt{2})}{4}$

Passaggio 3.1.2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.1.2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.1.2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.1.2.3

La risposta finale è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $2 \sqrt[4]{8}$ in $f (x) = \frac{3}{32} x^{2} - 4 x^{- 2}$ è $(2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 3.3

Sostituisci $- 2 \sqrt[4]{8}$ in $f (x) = \frac{3}{32} x^{2} - 4 x^{- 2}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2 \sqrt[4]{8}$ nell'espressione.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{32} \cdot {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{2} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- 2 \sqrt[4]{8}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{32} \cdot ({(- 2)}^{2} {\sqrt[4]{8}}^{2}) - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{32} \cdot (4 {\sqrt[4]{8}}^{2}) - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.3.2.1.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1

Scomponi $4$ da $32$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{4 (8)} \cdot (4 {\sqrt[4]{8}}^{2}) - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.2

Scomponi $4$ da $4 {\sqrt[4]{8}}^{2}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{4 (8)} \cdot (4 ({\sqrt[4]{8}}^{2})) - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.3

Elimina il fattore comune.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{4 \cdot 8} \cdot (4 {\sqrt[4]{8}}^{2}) - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{8} \cdot {\sqrt[4]{8}}^{2} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.3.2.1.4

$\frac{3}{8}$ e ${\sqrt[4]{8}}^{2}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 {\sqrt[4]{8}}^{2}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.3.2.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.5.1

Riscrivi ${\sqrt[4]{8}}^{2}$ come $\sqrt{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.5.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{8}$ come $8^{\frac{1}{4}}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 {(8^{\frac{1}{4}})}^{2}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.3.2.1.5.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{1}{4} \cdot 2}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.3.2.1.5.1.3

$\frac{1}{4}$ e $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{2}{4}}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.3.2.1.5.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.5.1.4.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{2 (1)}{4}}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.3.2.1.5.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.5.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.3.2.1.5.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.3.2.1.5.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{1}{2}}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.3.2.1.5.1.5

Riscrivi $8^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{8}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{8}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.3.2.1.5.2

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.5.2.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{4 (2)}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.3.2.1.5.2.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.3.2.1.5.3

Estrai i termini dal radicale.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot (2 \sqrt{2})}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.3.2.1.5.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{6 \sqrt{2}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.3.2.1.6

Elimina il fattore comune di $6$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.6.1

Scomponi $2$ da $6 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 (3 \sqrt{2})}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.3.2.1.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.6.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 (4)} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.3.2.1.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 \cdot 4} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.3.2.1.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Passaggio 3.3.2.1.7

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{{(- 2 \sqrt[4]{8})}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.8

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.8.1

Applica la regola del prodotto a $- 2 \sqrt[4]{8}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{{(- 2)}^{2} {\sqrt[4]{8}}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.8.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 {\sqrt[4]{8}}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.8.3

Riscrivi ${\sqrt[4]{8}}^{2}$ come $\sqrt{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.8.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{8}$ come $8^{\frac{1}{4}}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 {(8^{\frac{1}{4}})}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.8.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{1}{4} \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.2.1.8.3.3

$\frac{1}{4}$ e $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{2}{4}}}$

Passaggio 3.3.2.1.8.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.8.3.4.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{2 (1)}{4}}}$

Passaggio 3.3.2.1.8.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.8.3.4.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}$

Passaggio 3.3.2.1.8.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}$

Passaggio 3.3.2.1.8.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.3.2.1.8.3.5

Riscrivi $8^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{8}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \sqrt{8}}$

Passaggio 3.3.2.1.8.4

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.8.4.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \sqrt{4 (2)}}$

Passaggio 3.3.2.1.8.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.2.1.8.5

Estrai i termini dal radicale.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot (2 \sqrt{2})}$

Passaggio 3.3.2.1.8.6

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{8 \sqrt{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.9

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.9.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} + 4 (- 1) (\frac{1}{8 \sqrt{2}})$

Passaggio 3.3.2.1.9.2

Scomponi $4$ da $8 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} + 4 (- 1) (\frac{1}{4 (2 \sqrt{2})})$

Passaggio 3.3.2.1.9.3

Elimina il fattore comune.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} + 4 \cdot (- 1 \frac{1}{4 (2 \sqrt{2})})$

Passaggio 3.3.2.1.9.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{1}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.10

Moltiplica $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 (\frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Passaggio 3.3.2.1.11

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.11.1

Moltiplica $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.11.2

Sposta $\sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Passaggio 3.3.2.1.11.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Passaggio 3.3.2.1.11.4

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Passaggio 3.3.2.1.11.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.3.2.1.11.6

Somma $1$ e $1$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.11.7

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.11.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.11.7.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.2.1.11.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.3.2.1.11.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.11.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.3.2.1.11.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2.1.11.7.5

Calcola l'esponente.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2.1.12

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.13

Riscrivi $- 1 \frac{\sqrt{2}}{4}$ come $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.2.2

Sottrai $\sqrt{2}$ da $3 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.3.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 (\sqrt{2})}{4}$

Passaggio 3.3.2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.3.2.3

La risposta finale è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $- 2 \sqrt[4]{8}$ in $f (x) = \frac{3}{32} x^{2} - 4 x^{- 2}$ è $(- 2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 3.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2}), (- 2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 2 \sqrt[4]{8}) \cup (- 2 \sqrt[4]{8}, 2 \sqrt[4]{8}) \cup (2 \sqrt[4]{8}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 2 \sqrt[4]{8})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3.46358566$ nell'espressione.

$f'' (- 3.46358566) = - \frac{24}{{(- 3.46358566)}^{4}} + \frac{3}{16}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 3.46358566$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 3.46358566) = - \frac{24}{143.91422792} + \frac{3}{16}$

Passaggio 5.2.1.2

Dividi $24$ per $143.91422792$ .

$f'' (- 3.46358566) = - 1 \cdot 0.16676599 + \frac{3}{16}$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $0.16676599$ .

$f'' (- 3.46358566) = - 0.16676599 + \frac{3}{16}$

Passaggio 5.2.2

Per scrivere $- 0.16676599$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{16}{16}$ .

$f'' (- 3.46358566) = - 0.16676599 \cdot \frac{16}{16} + \frac{3}{16}$

Passaggio 5.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

$- 0.16676599$ e $\frac{16}{16}$ .

$f'' (- 3.46358566) = \frac{- 0.16676599 \cdot 16}{16} + \frac{3}{16}$

Passaggio 5.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (- 3.46358566) = \frac{- 0.16676599 \cdot 16 + 3}{16}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Moltiplica $- 0.16676599$ per $16$ .

$f'' (- 3.46358566) = \frac{- 2.66825598 + 3}{16}$

Passaggio 5.2.4.2

Somma $- 2.66825598$ e $3$ .

$f'' (- 3.46358566) = \frac{0.33174401}{16}$

Passaggio 5.2.5

Dividi $0.33174401$ per $16$ .

$f'' (- 3.46358566) = 0.020734$

Passaggio 5.2.6

La risposta finale è $0.020734$ .

$0.020734$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $- 3.46358566$ , la derivata seconda è $0.020734$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, - 2 \sqrt[4]{8})$ .

Crescente su $(- \infty, - 2 \sqrt[4]{8})$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 2 \sqrt[4]{8}, 2 \sqrt[4]{8})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = - \frac{24}{{(0)}^{4}} + \frac{3}{16}$

Passaggio 6.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = - \frac{24}{0} + \frac{3}{16}$

Passaggio 6.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

$f'' (0) = Undefined$

Passaggio 6.4

Per $0$ , la derivata seconda è $N a N$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- 2 \sqrt[4]{8}, 2 \sqrt[4]{8})$ .

Decrescente su $(- 2 \sqrt[4]{8}, 2 \sqrt[4]{8})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(2 \sqrt[4]{8}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3.46358566$ nell'espressione.

$f'' (3.46358566) = - \frac{24}{{(3.46358566)}^{4}} + \frac{3}{16}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $3.46358566$ alla potenza di $4$ .

$f'' (3.46358566) = - \frac{24}{143.91422792} + \frac{3}{16}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $24$ per $143.91422792$ .

$f'' (3.46358566) = - 1 \cdot 0.16676599 + \frac{3}{16}$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $0.16676599$ .

$f'' (3.46358566) = - 0.16676599 + \frac{3}{16}$

Passaggio 7.2.2

Per scrivere $- 0.16676599$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{16}{16}$ .

$f'' (3.46358566) = - 0.16676599 \cdot \frac{16}{16} + \frac{3}{16}$

Passaggio 7.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

$- 0.16676599$ e $\frac{16}{16}$ .

$f'' (3.46358566) = \frac{- 0.16676599 \cdot 16}{16} + \frac{3}{16}$

Passaggio 7.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (3.46358566) = \frac{- 0.16676599 \cdot 16 + 3}{16}$

Passaggio 7.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1

Moltiplica $- 0.16676599$ per $16$ .

$f'' (3.46358566) = \frac{- 2.66825598 + 3}{16}$

Passaggio 7.2.4.2

Somma $- 2.66825598$ e $3$ .

$f'' (3.46358566) = \frac{0.33174401}{16}$

Passaggio 7.2.5

Dividi $0.33174401$ per $16$ .

$f'' (3.46358566) = 0.020734$

Passaggio 7.2.6

La risposta finale è $0.020734$ .

$0.020734$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $3.46358566$ , la derivata seconda è $0.020734$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(2 \sqrt[4]{8}, \infty)$ .

Crescente su $(2 \sqrt[4]{8}, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(- 2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2}), (2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

$(- 2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2}), (2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 9