Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{4} - 20 x^{3} + 42 x^{2} - 36 x$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{4} - 20 x^{3} + 42 x^{2} - 36 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $4$ per $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 20 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} - 20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$12 x^{3} - 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 20$ .

$12 x^{3} - 60 x^{2} + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [42 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $42$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $42 x^{2}$ rispetto a $x$ è $42 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} - 60 x^{2} + 42 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$12 x^{3} - 60 x^{2} + 42 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $2$ per $42$ .

$12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Passaggio 1.1.5

Calcola $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Poiché $- 36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 36 x$ rispetto a $x$ è $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x - 36 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x - 36 \cdot 1$

Passaggio 1.1.5.3

Moltiplica $- 36$ per $1$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x - 36$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x - 36$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{3}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $3$ per $12$ .

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $- 60$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 60 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 x^{2} - 60 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$36 x^{2} - 60 (2 x) + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 60$ .

$36 x^{2} - 120 x + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

Passaggio 1.2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [84 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Poiché $84$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $84 x$ rispetto a $x$ è $84 \frac{d}{d x} [x]$ .

$36 x^{2} - 120 x + 84 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

Passaggio 1.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$36 x^{2} - 120 x + 84 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 36]$

Passaggio 1.2.4.3

Moltiplica $84$ per $1$ .

$36 x^{2} - 120 x + 84 + \frac{d}{d x} [- 36]$

Passaggio 1.2.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Poiché $- 36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 36$ rispetto a $x$ è $0$ .

$36 x^{2} - 120 x + 84 + 0$

Passaggio 1.2.5.2

Somma $36 x^{2} - 120 x + 84$ e $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 120 x + 84$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $36 x^{2} - 120 x + 84$ .

$36 x^{2} - 120 x + 84$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $36 x^{2} - 120 x + 84 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$36 x^{2} - 120 x + 84 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $12$ da $36 x^{2} - 120 x + 84$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $12$ da $36 x^{2}$ .

$12 (3 x^{2}) - 120 x + 84 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $12$ da $- 120 x$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 10 x) + 84 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $12$ da $84$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 10 x) + 12 (7) = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $12$ da $12 (3 x^{2}) + 12 (- 10 x)$ .

$12 (3 x^{2} - 10 x) + 12 (7) = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $12$ da $12 (3 x^{2} - 10 x) + 12 (7)$ .

$12 (3 x^{2} - 10 x + 7) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot 7 = 21$ e la cui somma è $b = - 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1.1

Scomponi $- 10$ da $- 10 x$ .

$12 (3 x^{2} - 10 x + 7) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.1.2

Riscrivi $- 10$ come $- 3$ più $- 7$ .

$12 (3 x^{2} + (- 3 - 7) x + 7) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$12 (3 x^{2} - 3 x - 7 x + 7) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$12 ((3 x^{2} - 3 x) - 7 x + 7) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$12 (3 x (x - 1) - 7 (x - 1)) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 1$ .

$12 ((x - 1) (3 x - 7)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$12 (x - 1) (3 x - 7) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

$3 x - 7 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.5

Imposta $3 x - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $3 x - 7$ uguale a $0$ .

$3 x - 7 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $3 x - 7 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 7$

Passaggio 2.5.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 7$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 7$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Passaggio 2.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{7}{3}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $12 (x - 1) (3 x - 7) = 0$ vera.

$x = 1, \frac{7}{3}$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $1$ in $f (x) = 3 x^{4} - 20 x^{3} + 42 x^{2} - 36 x$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = 3 {(1)}^{4} - 20 {(1)}^{3} + 42 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 3 \cdot 1 - 20 {(1)}^{3} + 42 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1$

Passaggio 3.1.2.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (1) = 3 - 20 {(1)}^{3} + 42 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1$

Passaggio 3.1.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 3 - 20 \cdot 1 + 42 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1$

Passaggio 3.1.2.1.4

Moltiplica $- 20$ per $1$ .

$f (1) = 3 - 20 + 42 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1$

Passaggio 3.1.2.1.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 3 - 20 + 42 \cdot 1 - 36 \cdot 1$

Passaggio 3.1.2.1.6

Moltiplica $42$ per $1$ .

$f (1) = 3 - 20 + 42 - 36 \cdot 1$

Passaggio 3.1.2.1.7

Moltiplica $- 36$ per $1$ .

$f (1) = 3 - 20 + 42 - 36$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Sottrai $20$ da $3$ .

$f (1) = - 17 + 42 - 36$

Passaggio 3.1.2.2.2

Somma $- 17$ e $42$ .

$f (1) = 25 - 36$

Passaggio 3.1.2.2.3

Sottrai $36$ da $25$ .

$f (1) = - 11$

Passaggio 3.1.2.3

La risposta finale è $- 11$ .

$- 11$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $1$ in $f (x) = 3 x^{4} - 20 x^{3} + 42 x^{2} - 36 x$ è $(1, - 11)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(1, - 11)$

Passaggio 3.3

Sostituisci $\frac{7}{3}$ in $f (x) = 3 x^{4} - 20 x^{3} + 42 x^{2} - 36 x$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{7}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{7}{3}) = 3 {(\frac{7}{3})}^{4} - 20 {(\frac{7}{3})}^{3} + 42 {(\frac{7}{3})}^{2} - 36 (\frac{7}{3})$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{7}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = 3 (\frac{7^{4}}{3^{4}}) - 20 {(\frac{7}{3})}^{3} + 42 {(\frac{7}{3})}^{2} - 36 (\frac{7}{3})$

Passaggio 3.3.2.1.2

Eleva $7$ alla potenza di $4$ .

$f (\frac{7}{3}) = 3 (\frac{2401}{3^{4}}) - 20 {(\frac{7}{3})}^{3} + 42 {(\frac{7}{3})}^{2} - 36 (\frac{7}{3})$

Passaggio 3.3.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$f (\frac{7}{3}) = 3 (\frac{2401}{81}) - 20 {(\frac{7}{3})}^{3} + 42 {(\frac{7}{3})}^{2} - 36 (\frac{7}{3})$

Passaggio 3.3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.4.1

Scomponi $3$ da $81$ .

$f (\frac{7}{3}) = 3 (\frac{2401}{3 (27)}) - 20 {(\frac{7}{3})}^{3} + 42 {(\frac{7}{3})}^{2} - 36 (\frac{7}{3})$

Passaggio 3.3.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{7}{3}) = 3 (\frac{2401}{3 \cdot 27}) - 20 {(\frac{7}{3})}^{3} + 42 {(\frac{7}{3})}^{2} - 36 (\frac{7}{3})$

Passaggio 3.3.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - 20 {(\frac{7}{3})}^{3} + 42 {(\frac{7}{3})}^{2} - 36 (\frac{7}{3})$

Passaggio 3.3.2.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{7}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - 20 \frac{7^{3}}{3^{3}} + 42 {(\frac{7}{3})}^{2} - 36 (\frac{7}{3})$

Passaggio 3.3.2.1.6

Eleva $7$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - 20 \frac{343}{3^{3}} + 42 {(\frac{7}{3})}^{2} - 36 (\frac{7}{3})$

Passaggio 3.3.2.1.7

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - 20 (\frac{343}{27}) + 42 {(\frac{7}{3})}^{2} - 36 (\frac{7}{3})$

Passaggio 3.3.2.1.8

Moltiplica $- 20 (\frac{343}{27})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.8.1

$- 20$ e $\frac{343}{27}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} + \frac{- 20 \cdot 343}{27} + 42 {(\frac{7}{3})}^{2} - 36 (\frac{7}{3})$

Passaggio 3.3.2.1.8.2

Moltiplica $- 20$ per $343$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} + \frac{- 6860}{27} + 42 {(\frac{7}{3})}^{2} - 36 (\frac{7}{3})$

Passaggio 3.3.2.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + 42 {(\frac{7}{3})}^{2} - 36 (\frac{7}{3})$

Passaggio 3.3.2.1.10

Applica la regola del prodotto a $\frac{7}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + 42 (\frac{7^{2}}{3^{2}}) - 36 (\frac{7}{3})$

Passaggio 3.3.2.1.11

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + 42 (\frac{49}{3^{2}}) - 36 (\frac{7}{3})$

Passaggio 3.3.2.1.12

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + 42 (\frac{49}{9}) - 36 (\frac{7}{3})$

Passaggio 3.3.2.1.13

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.13.1

Scomponi $3$ da $42$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + 3 (14) (\frac{49}{9}) - 36 (\frac{7}{3})$

Passaggio 3.3.2.1.13.2

Scomponi $3$ da $9$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + 3 \cdot (14 (\frac{49}{3 \cdot 3})) - 36 (\frac{7}{3})$

Passaggio 3.3.2.1.13.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + 3 \cdot (14 (\frac{49}{3 \cdot 3})) - 36 (\frac{7}{3})$

Passaggio 3.3.2.1.13.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + 14 (\frac{49}{3}) - 36 (\frac{7}{3})$

Passaggio 3.3.2.1.14

$14$ e $\frac{49}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + \frac{14 \cdot 49}{3} - 36 (\frac{7}{3})$

Passaggio 3.3.2.1.15

Moltiplica $14$ per $49$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + \frac{686}{3} - 36 (\frac{7}{3})$

Passaggio 3.3.2.1.16

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.16.1

Scomponi $3$ da $- 36$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + \frac{686}{3} + 3 (- 12) (\frac{7}{3})$

Passaggio 3.3.2.1.16.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + \frac{686}{3} + 3 \cdot (- 12 (\frac{7}{3}))$

Passaggio 3.3.2.1.16.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + \frac{686}{3} - 12 \cdot 7$

Passaggio 3.3.2.1.17

Moltiplica $- 12$ per $7$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + \frac{686}{3} - 84$

Passaggio 3.3.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{7}{3}) = - 84 + \frac{2401 - 6860}{27} + \frac{686}{3}$

Passaggio 3.3.2.2.2

Sottrai $6860$ da $2401$ .

$f (\frac{7}{3}) = - 84 + \frac{- 4459}{27} + \frac{686}{3}$

Passaggio 3.3.2.3

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Scrivi $- 84$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{- 84}{1} + \frac{- 4459}{27} + \frac{686}{3}$

Passaggio 3.3.2.3.2

Moltiplica $\frac{- 84}{1}$ per $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{- 84}{1} \cdot \frac{27}{27} + \frac{- 4459}{27} + \frac{686}{3}$

Passaggio 3.3.2.3.3

Moltiplica $\frac{- 84}{1}$ per $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{- 84 \cdot 27}{27} + \frac{- 4459}{27} + \frac{686}{3}$

Passaggio 3.3.2.3.4

Moltiplica $\frac{686}{3}$ per $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{- 84 \cdot 27}{27} + \frac{- 4459}{27} + \frac{686}{3} \cdot \frac{9}{9}$

Passaggio 3.3.2.3.5

Moltiplica $\frac{686}{3}$ per $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{- 84 \cdot 27}{27} + \frac{- 4459}{27} + \frac{686 \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Passaggio 3.3.2.3.6

Moltiplica $3$ per $9$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{- 84 \cdot 27}{27} + \frac{- 4459}{27} + \frac{686 \cdot 9}{27}$

Passaggio 3.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{- 84 \cdot 27 - 4459 + 686 \cdot 9}{27}$

Passaggio 3.3.2.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.5.1

Moltiplica $- 84$ per $27$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{- 2268 - 4459 + 686 \cdot 9}{27}$

Passaggio 3.3.2.5.2

Moltiplica $686$ per $9$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{- 2268 - 4459 + 6174}{27}$

Passaggio 3.3.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.6.1

Sottrai $4459$ da $- 2268$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{- 6727 + 6174}{27}$

Passaggio 3.3.2.6.2

Somma $- 6727$ e $6174$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{- 553}{27}$

Passaggio 3.3.2.6.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{7}{3}) = - \frac{553}{27}$

Passaggio 3.3.2.7

La risposta finale è $- \frac{553}{27}$ .

$- \frac{553}{27}$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $\frac{7}{3}$ in $f (x) = 3 x^{4} - 20 x^{3} + 42 x^{2} - 36 x$ è $(\frac{7}{3}, - \frac{553}{27})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{7}{3}, - \frac{553}{27})$

Passaggio 3.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(1, - 11), (\frac{7}{3}, - \frac{553}{27})$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, 1) \cup (1, \frac{7}{3}) \cup (\frac{7}{3}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 1)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.9$ nell'espressione.

$f'' (0.9) = 36 {(0.9)}^{2} - 120 \cdot 0.9 + 84$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $0.9$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.9) = 36 \cdot 0.81 - 120 \cdot 0.9 + 84$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $36$ per $0.81$ .

$f'' (0.9) = 29.16 - 120 \cdot 0.9 + 84$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- 120$ per $0.9$ .

$f'' (0.9) = 29.16 - 108 + 84$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Sottrai $108$ da $29.16$ .

$f'' (0.9) = - 78.84 + 84$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $- 78.84$ e $84$ .

$f'' (0.9) = 5.16$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $5.16$ .

$5.16$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $0.9$ , la derivata seconda è $5.16$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, 1)$ .

Crescente su $(- \infty, 1)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(1, \frac{7}{3})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.66666666$ nell'espressione.

$f'' (1.66666666) = 36 {(1.66666666)}^{2} - 120 \cdot 1.66666666 + 84$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $1.66666666$ alla potenza di $2$ .

$f'' (1.66666666) = 36 \cdot 2.\overline{7} - 120 \cdot 1.66666666 + 84$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $36$ per $2.\overline{7}$ .

$f'' (1.66666666) = 100 - 120 \cdot 1.66666666 + 84$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 120$ per $1.66666666$ .

$f'' (1.66666666) = 100 - 200 + 84$

Passaggio 6.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $200$ da $100$ .

$f'' (1.66666666) = - 100 + 84$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $- 100$ e $84$ .

$f'' (1.66666666) = - 16$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 16$ .

$- 16$

Passaggio 6.3

Per $1.66666666$ , la derivata seconda è $- 16$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(1, \frac{7}{3})$ .

Decrescente su $(1, \frac{7}{3})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{7}{3}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2.4\overline{3}$ nell'espressione.

$f'' (2.4\overline{3}) = 36 {(2.4\overline{3})}^{2} - 120 \cdot 2.4\overline{3} + 84$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $2.4\overline{3}$ alla potenza di $2$ .

$f'' (2.4\overline{3}) = 36 \cdot 5.92\overline{1} - 120 \cdot 2.4\overline{3} + 84$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $36$ per $5.92\overline{1}$ .

$f'' (2.4\overline{3}) = 213.15\overline{9} - 120 \cdot 2.4\overline{3} + 84$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $- 120$ per $2.4\overline{3}$ .

$f'' (2.4\overline{3}) = 213.15\overline{9} - 292 + 84$

Passaggio 7.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Sottrai $292$ da $213.15\overline{9}$ .

$f'' (2.4\overline{3}) = - 78.84 + 84$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $- 78.84$ e $84$ .

$f'' (2.4\overline{3}) = 5.15\overline{9}$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $5.15\overline{9}$ .

$5.15\overline{9}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $2.4\overline{3}$ , la derivata seconda è $5.15\overline{9}$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(\frac{7}{3}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{7}{3}, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(1, - 11), (\frac{7}{3}, - \frac{553}{27})$ .

$(1, - 11), (\frac{7}{3}, - \frac{553}{27})$

Passaggio 9