Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{2 x^{5}}{x^{4} + 1}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x^{5}}{x^{4} + 1}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{x^{4} + 1}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{x^{4} + 1}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = x^{4} + 1$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}] - x^{5} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) (5 x^{4}) - x^{5} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Sposta $5$ alla sinistra di $x^{4} + 1$ .

$2 \frac{5 \cdot (x^{4} + 1) x^{4} - x^{5} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{5 (x^{4} + 1) x^{4} - x^{5} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$2 \frac{5 (x^{4} + 1) x^{4} - x^{5} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 \frac{5 (x^{4} + 1) x^{4} - x^{5} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.1

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$2 \frac{5 (x^{4} + 1) x^{4} - x^{5} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.6.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$2 \frac{5 (x^{4} + 1) x^{4} - 4 x^{5} x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $x^{5}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Sposta $x^{3}$ .

$2 \frac{5 (x^{4} + 1) x^{4} - 4 (x^{3} x^{5})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \frac{5 (x^{4} + 1) x^{4} - 4 x^{3 + 5}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.3

Somma $3$ e $5$ .

$2 \frac{5 (x^{4} + 1) x^{4} - 4 x^{8}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.5

$2$ e $\frac{5 (x^{4} + 1) x^{4} - 4 x^{8}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (5 (x^{4} + 1) x^{4} - 4 x^{8})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 ((5 x^{4} + 5 \cdot 1) x^{4} - 4 x^{8})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (5 x^{4} x^{4} + 5 \cdot 1 x^{4} - 4 x^{8})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (5 x^{4} x^{4}) + 2 (5 \cdot 1 x^{4}) + 2 (- 4 x^{8})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.4.1.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.4.1.1.1

Sposta $x^{4}$ .

$\frac{2 (5 (x^{4} x^{4})) + 2 (5 \cdot 1 x^{4}) + 2 (- 4 x^{8})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.4.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 (5 x^{4 + 4}) + 2 (5 \cdot 1 x^{4}) + 2 (- 4 x^{8})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.4.1.1.3

Somma $4$ e $4$ .

$\frac{2 (5 x^{8}) + 2 (5 \cdot 1 x^{4}) + 2 (- 4 x^{8})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.4.1.2

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{10 x^{8} + 2 (5 \cdot 1 x^{4}) + 2 (- 4 x^{8})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.4.1.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{10 x^{8} + 2 (5 x^{4}) + 2 (- 4 x^{8})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.4.1.4

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{10 x^{8} + 10 x^{4} + 2 (- 4 x^{8})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.4.1.5

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$\frac{10 x^{8} + 10 x^{4} - 8 x^{8}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.4.2

Sottrai $8 x^{8}$ da $10 x^{8}$ .

$\frac{2 x^{8} + 10 x^{4}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.5

Scomponi $2 x^{4}$ da $2 x^{8} + 10 x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.5.1

Scomponi $2 x^{4}$ da $2 x^{8}$ .

$\frac{2 x^{4} (x^{4}) + 10 x^{4}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.5.2

Scomponi $2 x^{4}$ da $10 x^{4}$ .

$\frac{2 x^{4} (x^{4}) + 2 x^{4} (5)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.5.3

Scomponi $2 x^{4}$ da $2 x^{4} (x^{4}) + 2 x^{4} (5)$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{4} (x^{4} + 5)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x^{4} (x^{4} + 5)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{4} (x^{4} + 5)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{4} (x^{4} + 5)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}]$

Passaggio 1.2.2

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} (x^{4} + 5)] - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{({(x^{4} + 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{4} + 1)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} (x^{4} + 5)] - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 1.2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} (x^{4} + 5)] - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x^{4} + 5$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{4} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5] + (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4}]) - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4}]) - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{4} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4}]) - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{4} (4 x^{3} + 0) + (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4}]) - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.4

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{4} (4 x^{3}) + (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4}]) - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.6

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Sposta $x^{3}$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{3} x^{4} \cdot 4 + (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4}]) - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.6.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{3 + 4} \cdot 4 + (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4}]) - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.6.3

Somma $3$ e $4$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{7} \cdot 4 + (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4}]) - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.7

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Sposta $4$ alla sinistra di $x^{7}$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 \cdot x^{7} + (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4}]) - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.7.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{7} + (x^{4} + 5) (4 x^{3})) - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.7.3

Sposta $4$ alla sinistra di $x^{4} + 5$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{7} + 4 \cdot (x^{4} + 5) x^{3}) - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.8

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{4} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{4} + 1$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - x^{4} (x^{4} + 5) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.8.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - x^{4} (x^{4} + 5) (2 u \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{4} + 1$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - x^{4} (x^{4} + 5) (2 (x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.9

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 2 x^{4} (x^{4} + 5) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.9.2

Scomponi $x^{4} + 1$ da ${(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 2 x^{4} (x^{4} + 5) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.2.1

Scomponi $x^{4} + 1$ da ${(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3})$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3})) - 2 x^{4} (x^{4} + 5) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.9.2.2

Scomponi $x^{4} + 1$ da $- 2 x^{4} (x^{4} + 5) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3})) + (x^{4} + 1) (- 2 x^{4} (x^{4} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.9.2.3

Scomponi $x^{4} + 1$ da $(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3})) + (x^{4} + 1) (- 2 x^{4} (x^{4} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 2 x^{4} (x^{4} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.10

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.10.1

Scomponi $x^{4} + 1$ da ${(x^{4} + 1)}^{4}$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 2 x^{4} (x^{4} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.10.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 2 x^{4} (x^{4} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.10.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 2 x^{4} (x^{4} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.11

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 2 x^{4} (x^{4} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 2 x^{4} (x^{4} + 5) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.13

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 2 x^{4} (x^{4} + 5) (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.14

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.14.1

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 2 x^{4} (x^{4} + 5) (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.14.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 8 x^{4} (x^{4} + 5) x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.15

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.15.1

Sposta $x^{3}$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 8 (x^{3} x^{4}) (x^{4} + 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.15.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 8 x^{3 + 4} (x^{4} + 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.15.3

Somma $3$ e $4$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 8 x^{7} (x^{4} + 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.16

$2$ e $\frac{(x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 8 x^{7} (x^{4} + 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 8 x^{7} (x^{4} + 5))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.17.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + (4 x^{4} + 4 \cdot 5) x^{3}) - 8 x^{7} (x^{4} + 5))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 x^{4} x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}) - 8 x^{7} (x^{4} + 5))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 x^{4} x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}) - 8 x^{7} x^{4} - 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 x^{4} x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.17.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.17.5.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.17.5.1.1.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.17.5.1.1.1.1

Sposta $x^{3}$ .

$\frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{3} x^{4}) + 4 \cdot 5 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.5.1.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 x^{3 + 4} + 4 \cdot 5 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.5.1.1.1.3

Somma $3$ e $4$ .

$\frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 x^{7} + 4 \cdot 5 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.5.1.1.2

Moltiplica $4$ per $5$ .

$\frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 x^{7} + 20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.5.1.2

Somma $4 x^{7}$ e $4 x^{7}$ .

$\frac{2 ((x^{4} + 1) (8 x^{7} + 20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.5.1.3

Espandi $(x^{4} + 1) (8 x^{7} + 20 x^{3})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.17.5.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (x^{4} (8 x^{7} + 20 x^{3}) + 1 (8 x^{7} + 20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.5.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (x^{4} (8 x^{7}) + x^{4} (20 x^{3}) + 1 (8 x^{7} + 20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.5.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (x^{4} (8 x^{7}) + x^{4} (20 x^{3}) + 1 (8 x^{7}) + 1 (20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.5.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.17.5.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.17.5.1.4.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 (8 x^{4} x^{7} + x^{4} (20 x^{3}) + 1 (8 x^{7}) + 1 (20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.5.1.4.1.2

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{7}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.17.5.1.4.1.2.1

Sposta $x^{7}$ .

$\frac{2 (8 (x^{7} x^{4}) + x^{4} (20 x^{3}) + 1 (8 x^{7}) + 1 (20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.5.1.4.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 (8 x^{7 + 4} + x^{4} (20 x^{3}) + 1 (8 x^{7}) + 1 (20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.5.1.4.1.2.3

Somma $7$ e $4$ .

$\frac{2 (8 x^{11} + x^{4} (20 x^{3}) + 1 (8 x^{7}) + 1 (20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.5.1.4.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 (8 x^{11} + 20 x^{4} x^{3} + 1 (8 x^{7}) + 1 (20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.5.1.4.1.4

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.17.5.1.4.1.4.1

Sposta $x^{3}$ .

$\frac{2 (8 x^{11} + 20 (x^{3} x^{4}) + 1 (8 x^{7}) + 1 (20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.5.1.4.1.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 (8 x^{11} + 20 x^{3 + 4} + 1 (8 x^{7}) + 1 (20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.5.1.4.1.4.3

Somma $3$ e $4$ .

$\frac{2 (8 x^{11} + 20 x^{7} + 1 (8 x^{7}) + 1 (20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.5.1.4.1.5

Moltiplica $8 x^{7}$ per $1$ .

$\frac{2 (8 x^{11} + 20 x^{7} + 8 x^{7} + 1 (20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.5.1.4.1.6

Moltiplica $20 x^{3}$ per $1$ .

$\frac{2 (8 x^{11} + 20 x^{7} + 8 x^{7} + 20 x^{3}) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.5.1.4.2

Somma $20 x^{7}$ e $8 x^{7}$ .

$\frac{2 (8 x^{11} + 28 x^{7} + 20 x^{3}) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.5.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (8 x^{11}) + 2 (28 x^{7}) + 2 (20 x^{3}) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.5.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.17.5.1.6.1

Moltiplica $8$ per $2$ .

$\frac{16 x^{11} + 2 (28 x^{7}) + 2 (20 x^{3}) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.5.1.6.2

Moltiplica $28$ per $2$ .

$\frac{16 x^{11} + 56 x^{7} + 2 (20 x^{3}) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.5.1.6.3

Moltiplica $20$ per $2$ .

$\frac{16 x^{11} + 56 x^{7} + 40 x^{3} + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.5.1.7

Moltiplica $x^{7}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.17.5.1.7.1

Sposta $x^{4}$ .

$\frac{16 x^{11} + 56 x^{7} + 40 x^{3} + 2 (- 8 (x^{4} x^{7})) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.5.1.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{16 x^{11} + 56 x^{7} + 40 x^{3} + 2 (- 8 x^{4 + 7}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.5.1.7.3

Somma $4$ e $7$ .

$\frac{16 x^{11} + 56 x^{7} + 40 x^{3} + 2 (- 8 x^{11}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.5.1.8

Moltiplica $- 8$ per $2$ .

$\frac{16 x^{11} + 56 x^{7} + 40 x^{3} - 16 x^{11} + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.5.1.9

Moltiplica $5$ per $- 8$ .

$\frac{16 x^{11} + 56 x^{7} + 40 x^{3} - 16 x^{11} + 2 (- 40 x^{7})}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.5.1.10

Moltiplica $- 40$ per $2$ .

$\frac{16 x^{11} + 56 x^{7} + 40 x^{3} - 16 x^{11} - 80 x^{7}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.5.2

Combina i termini opposti in $16 x^{11} + 56 x^{7} + 40 x^{3} - 16 x^{11} - 80 x^{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.17.5.2.1

Sottrai $16 x^{11}$ da $16 x^{11}$ .

$\frac{56 x^{7} + 40 x^{3} + 0 - 80 x^{7}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.5.2.2

Somma $56 x^{7} + 40 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{56 x^{7} + 40 x^{3} - 80 x^{7}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.5.3

Sottrai $80 x^{7}$ da $56 x^{7}$ .

$\frac{- 24 x^{7} + 40 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.6

Scomponi $8 x^{3}$ da $- 24 x^{7} + 40 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.17.6.1

Scomponi $8 x^{3}$ da $- 24 x^{7}$ .

$\frac{8 x^{3} (- 3 x^{4}) + 40 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.6.2

Scomponi $8 x^{3}$ da $40 x^{3}$ .

$\frac{8 x^{3} (- 3 x^{4}) + 8 x^{3} (5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.6.3

Scomponi $8 x^{3}$ da $8 x^{3} (- 3 x^{4}) + 8 x^{3} (5)$ .

$\frac{8 x^{3} (- 3 x^{4} + 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.7

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{4}$ .

$\frac{8 x^{3} (- (3 x^{4}) + 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.8

Riscrivi $5$ come $- 1 (- 5)$ .

$\frac{8 x^{3} (- (3 x^{4}) - 1 (- 5))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.9

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{4}) - 1 (- 5)$ .

$\frac{8 x^{3} (- (3 x^{4} - 5))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.10

Riscrivi $- (3 x^{4} - 5)$ come $- 1 (3 x^{4} - 5)$ .

$\frac{8 x^{3} (- 1 (3 x^{4} - 5))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(8 x^{3}) (3 x^{4} - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17.12

Riordina i fattori in $- \frac{(8 x^{3}) (3 x^{4} - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} (3 x^{4} - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{8 x^{3} (3 x^{4} - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$ .

$- \frac{8 x^{3} (3 x^{4} - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- \frac{8 x^{3} (3 x^{4} - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- \frac{8 x^{3} (3 x^{4} - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$8 x^{3} (3 x^{4} - 5) = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{3} = 0$

$3 x^{4} - 5 = 0$

Passaggio 2.3.2

Imposta $x^{3}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Imposta $x^{3}$ uguale a $0$ .

$x^{3} = 0$

Passaggio 2.3.2.2

Risolvi $x^{3} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 2.3.2.2.2

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 2.3.2.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 2.3.3

Imposta $3 x^{4} - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Imposta $3 x^{4} - 5$ uguale a $0$ .

$3 x^{4} - 5 = 0$

Passaggio 2.3.3.2

Risolvi $3 x^{4} - 5 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{4} = 5$

Passaggio 2.3.3.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{4} = 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{4} = 5$ .

$\frac{3 x^{4}}{3} = \frac{5}{3}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{4}}{3} = \frac{5}{3}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2.1.2

Dividi $x^{4}$ per $1$ .

$x^{4} = \frac{5}{3}$

Passaggio 2.3.3.2.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{5}{3}}$

Passaggio 2.3.3.2.4

Semplifica $\pm \sqrt[4]{\frac{5}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.4.1

Riscrivi $\sqrt[4]{\frac{5}{3}}$ come $\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt[4]{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt[4]{3}}$

Passaggio 2.3.3.2.4.2

Moltiplica $\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt[4]{3}}$ per $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt[4]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Passaggio 2.3.3.2.4.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.4.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt[4]{3}}$ per $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{\sqrt[4]{3} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Passaggio 2.3.3.2.4.3.2

Eleva $\sqrt[4]{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Passaggio 2.3.3.2.4.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1 + 3}}$

Passaggio 2.3.3.2.4.3.4

Somma $1$ e $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{4}}$

Passaggio 2.3.3.2.4.3.5

Riscrivi ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.4.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{3}$ come $3^{\frac{1}{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Passaggio 2.3.3.2.4.3.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Passaggio 2.3.3.2.4.3.5.3

$\frac{1}{4}$ e $4$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Passaggio 2.3.3.2.4.3.5.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.4.3.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Passaggio 2.3.3.2.4.3.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{1}}$

Passaggio 2.3.3.2.4.3.5.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3}$

Passaggio 2.3.3.2.4.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.4.4.1

Riscrivi ${\sqrt[4]{3}}^{3}$ come $\sqrt[4]{3^{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt[4]{3^{3}}}{3}$

Passaggio 2.3.3.2.4.4.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt[4]{27}}{3}$

Passaggio 2.3.3.2.4.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.4.5.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5 \cdot 27}}{3}$

Passaggio 2.3.3.2.4.5.2

Moltiplica $5$ per $27$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{135}}{3}$

Passaggio 2.3.3.2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{\sqrt[4]{135}}{3}$

Passaggio 2.3.3.2.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{\sqrt[4]{135}}{3}$

Passaggio 2.3.3.2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{\sqrt[4]{135}}{3}, - \frac{\sqrt[4]{135}}{3}$

Passaggio 2.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $8 x^{3} (3 x^{4} - 5) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{\sqrt[4]{135}}{3}, - \frac{\sqrt[4]{135}}{3}$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = \frac{2 x^{5}}{x^{4} + 1}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{5}}{{(0)}^{4} + 1}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{0^{4} + 1}$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{0 + 1}$

Passaggio 3.1.2.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{1}$

Passaggio 3.1.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f (0) = \frac{0}{1}$

Passaggio 3.1.2.3.2

Dividi $0$ per $1$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 3.1.2.4

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = \frac{2 x^{5}}{x^{4} + 1}$ è $(0, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 0)$

Passaggio 3.3

Sostituisci $\frac{\sqrt[4]{135}}{3}$ in $f (x) = \frac{2 x^{5}}{x^{4} + 1}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{\sqrt[4]{135}}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 {(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{5}}{{(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[4]{135}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{{\sqrt[4]{135}}^{5}}{3^{5}})}{{(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.1

Riscrivi ${\sqrt[4]{135}}^{5}$ come $\sqrt[4]{135^{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{\sqrt[4]{135^{5}}}{3^{5}})}{{(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Passaggio 3.3.2.1.2.2

Eleva $135$ alla potenza di $5$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{\sqrt[4]{44840334375}}{3^{5}})}{{(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Passaggio 3.3.2.1.2.3

Riscrivi $44840334375$ come $135^{4} \cdot 135$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.3.1

Scomponi $332150625$ da $44840334375$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{\sqrt[4]{332150625 (135)}}{3^{5}})}{{(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Passaggio 3.3.2.1.2.3.2

Riscrivi $332150625$ come $135^{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{\sqrt[4]{135^{4} \cdot 135}}{3^{5}})}{{(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Passaggio 3.3.2.1.2.4

Estrai i termini dal radicale.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{135 \sqrt[4]{135}}{3^{5}})}{{(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Passaggio 3.3.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $5$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{135 \sqrt[4]{135}}{243})}{{(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Passaggio 3.3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $135$ e $243$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.4.1

Scomponi $27$ da $135 \sqrt[4]{135}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{27 (5 \sqrt[4]{135})}{243})}{{(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Passaggio 3.3.2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.4.2.1

Scomponi $27$ da $243$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{27 (5 \sqrt[4]{135})}{27 (9)})}{{(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Passaggio 3.3.2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{27 (5 \sqrt[4]{135})}{27 \cdot 9})}{{(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Passaggio 3.3.2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{{(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[4]{135}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{{\sqrt[4]{135}}^{4}}{3^{4}} + 1}$

Passaggio 3.3.2.2.2

Riscrivi ${\sqrt[4]{135}}^{4}$ come $135$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{135}$ come $135^{\frac{1}{4}}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{{(135^{\frac{1}{4}})}^{4}}{3^{4}} + 1}$

Passaggio 3.3.2.2.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{135^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{3^{4}} + 1}$

Passaggio 3.3.2.2.2.3

$\frac{1}{4}$ e $4$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{135^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} + 1}$

Passaggio 3.3.2.2.2.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{135^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} + 1}$

Passaggio 3.3.2.2.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{135}{3^{4}} + 1}$

Passaggio 3.3.2.2.2.5

Calcola l'esponente.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{135}{3^{4}} + 1}$

Passaggio 3.3.2.2.3

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{135}{81} + 1}$

Passaggio 3.3.2.2.4

Elimina il fattore comune di $135$ e $81$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.4.1

Scomponi $27$ da $135$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{27 (5)}{81} + 1}$

Passaggio 3.3.2.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.4.2.1

Scomponi $27$ da $81$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{27 \cdot 5}{27 \cdot 3} + 1}$

Passaggio 3.3.2.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{27 \cdot 5}{27 \cdot 3} + 1}$

Passaggio 3.3.2.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{5}{3} + 1}$

Passaggio 3.3.2.2.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{5}{3} + \frac{3}{3}}$

Passaggio 3.3.2.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{5 + 3}{3}}$

Passaggio 3.3.2.2.7

Somma $5$ e $3$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{8}{3}}$

Passaggio 3.3.2.3

$2$ e $\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{\frac{2 (5 \sqrt[4]{135})}{9}}{\frac{8}{3}}$

Passaggio 3.3.2.4

Moltiplica $2$ per $5$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{\frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{8}{3}}$

Passaggio 3.3.2.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9} \cdot \frac{3}{8}$

Passaggio 3.3.2.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.6.1

Scomponi $2$ da $10 \sqrt[4]{135}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (5 \sqrt[4]{135})}{9} \cdot \frac{3}{8}$

Passaggio 3.3.2.6.2

Scomponi $2$ da $8$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (5 \sqrt[4]{135})}{9} \cdot \frac{3}{2 (4)}$

Passaggio 3.3.2.6.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (5 \sqrt[4]{135})}{9} \cdot \frac{3}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.3.2.6.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{5 \sqrt[4]{135}}{9} \cdot \frac{3}{4}$

Passaggio 3.3.2.7

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.7.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{5 \sqrt[4]{135}}{3 (3)} \cdot \frac{3}{4}$

Passaggio 3.3.2.7.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{5 \sqrt[4]{135}}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3}{4}$

Passaggio 3.3.2.7.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{5 \sqrt[4]{135}}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Passaggio 3.3.2.8

Moltiplica $\frac{5 \sqrt[4]{135}}{3}$ per $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{5 \sqrt[4]{135}}{3 \cdot 4}$

Passaggio 3.3.2.9

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12}$

Passaggio 3.3.2.10

La risposta finale è $\frac{5 \sqrt[4]{135}}{12}$ .

$\frac{5 \sqrt[4]{135}}{12}$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $\frac{\sqrt[4]{135}}{3}$ in $f (x) = \frac{2 x^{5}}{x^{4} + 1}$ è $(\frac{\sqrt[4]{135}}{3}, \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{\sqrt[4]{135}}{3}, \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12})$

Passaggio 3.5

Sostituisci $- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}$ in $f (x) = \frac{2 x^{5}}{x^{4} + 1}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}$ nell'espressione.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 {(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{5}}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 {(- 1)}^{5} {(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{5}}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Passaggio 3.5.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 \cdot (- 1 {(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{5})}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Passaggio 3.5.2.1.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[4]{135}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 \cdot (- 1 \frac{{\sqrt[4]{135}}^{5}}{3^{5}})}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Passaggio 3.5.2.1.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.4.1

Riscrivi ${\sqrt[4]{135}}^{5}$ come $\sqrt[4]{135^{5}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt[4]{135^{5}}}{3^{5}})}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Passaggio 3.5.2.1.4.2

Eleva $135$ alla potenza di $5$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt[4]{44840334375}}{3^{5}})}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Passaggio 3.5.2.1.4.3

Riscrivi $44840334375$ come $135^{4} \cdot 135$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.4.3.1

Scomponi $332150625$ da $44840334375$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt[4]{332150625 (135)}}{3^{5}})}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Passaggio 3.5.2.1.4.3.2

Riscrivi $332150625$ come $135^{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt[4]{135^{4} \cdot 135}}{3^{5}})}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Passaggio 3.5.2.1.4.4

Estrai i termini dal radicale.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 \cdot (- 1 \frac{135 \sqrt[4]{135}}{3^{5}})}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Passaggio 3.5.2.1.5

Eleva $3$ alla potenza di $5$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 \cdot (- 1 \frac{135 \sqrt[4]{135}}{243})}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Passaggio 3.5.2.1.6

Elimina il fattore comune di $135$ e $243$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.6.1

Scomponi $27$ da $135 \sqrt[4]{135}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 \cdot (- 1 \frac{27 (5 \sqrt[4]{135})}{243})}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Passaggio 3.5.2.1.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.6.2.1

Scomponi $27$ da $243$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 \cdot (- 1 \frac{27 (5 \sqrt[4]{135})}{27 (9)})}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Passaggio 3.5.2.1.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 \cdot (- 1 \frac{27 (5 \sqrt[4]{135})}{27 \cdot 9})}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Passaggio 3.5.2.1.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 \cdot (- 1 \frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Passaggio 3.5.2.1.7

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.7.1

Metti in evidenza il valore negativo.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- (2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9}))}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Passaggio 3.5.2.1.7.2

$2$ e $\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{2 (5 \sqrt[4]{135})}{9}}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Passaggio 3.5.2.1.7.3

Moltiplica $5$ per $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Passaggio 3.5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{{(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Passaggio 3.5.2.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[4]{135}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{{(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt[4]{135}}^{4}}{3^{4}}) + 1}$

Passaggio 3.5.2.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{1 (\frac{{\sqrt[4]{135}}^{4}}{3^{4}}) + 1}$

Passaggio 3.5.2.2.3

Moltiplica $\frac{{\sqrt[4]{135}}^{4}}{3^{4}}$ per $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{{\sqrt[4]{135}}^{4}}{3^{4}} + 1}$

Passaggio 3.5.2.2.4

Riscrivi ${\sqrt[4]{135}}^{4}$ come $135$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{135}$ come $135^{\frac{1}{4}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{{(135^{\frac{1}{4}})}^{4}}{3^{4}} + 1}$

Passaggio 3.5.2.2.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{135^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{3^{4}} + 1}$

Passaggio 3.5.2.2.4.3

$\frac{1}{4}$ e $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{135^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} + 1}$

Passaggio 3.5.2.2.4.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{135^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} + 1}$

Passaggio 3.5.2.2.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{135}{3^{4}} + 1}$

Passaggio 3.5.2.2.4.5

Calcola l'esponente.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{135}{3^{4}} + 1}$

Passaggio 3.5.2.2.5

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{135}{81} + 1}$

Passaggio 3.5.2.2.6

Elimina il fattore comune di $135$ e $81$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.6.1

Scomponi $27$ da $135$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{27 (5)}{81} + 1}$

Passaggio 3.5.2.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.6.2.1

Scomponi $27$ da $81$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{27 \cdot 5}{27 \cdot 3} + 1}$

Passaggio 3.5.2.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{27 \cdot 5}{27 \cdot 3} + 1}$

Passaggio 3.5.2.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{5}{3} + 1}$

Passaggio 3.5.2.2.7

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{5}{3} + \frac{3}{3}}$

Passaggio 3.5.2.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{5 + 3}{3}}$

Passaggio 3.5.2.2.9

Somma $5$ e $3$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{8}{3}}$

Passaggio 3.5.2.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = - \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9} \cdot \frac{3}{8}$

Passaggio 3.5.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}$ nel numeratore.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- 10 \sqrt[4]{135}}{9} \cdot \frac{3}{8}$

Passaggio 3.5.2.4.2

Scomponi $2$ da $- 10 \sqrt[4]{135}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (- 5 \sqrt[4]{135})}{9} \cdot \frac{3}{8}$

Passaggio 3.5.2.4.3

Scomponi $2$ da $8$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (- 5 \sqrt[4]{135})}{9} \cdot \frac{3}{2 (4)}$

Passaggio 3.5.2.4.4

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (- 5 \sqrt[4]{135})}{9} \cdot \frac{3}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.5.2.4.5

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- 5 \sqrt[4]{135}}{9} \cdot \frac{3}{4}$

Passaggio 3.5.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.5.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- 5 \sqrt[4]{135}}{3 (3)} \cdot \frac{3}{4}$

Passaggio 3.5.2.5.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- 5 \sqrt[4]{135}}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3}{4}$

Passaggio 3.5.2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- 5 \sqrt[4]{135}}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Passaggio 3.5.2.6

Moltiplica $\frac{- 5 \sqrt[4]{135}}{3}$ per $\frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- 5 \sqrt[4]{135}}{3 \cdot 4}$

Passaggio 3.5.2.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.7.1

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- 5 \sqrt[4]{135}}{12}$

Passaggio 3.5.2.7.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = - \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12}$

Passaggio 3.5.2.8

La risposta finale è $- \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12}$ .

$- \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12}$

Passaggio 3.6

Il punto trovato sostituendo $- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}$ in $f (x) = \frac{2 x^{5}}{x^{4} + 1}$ è $(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}, - \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}, - \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12})$

Passaggio 3.7

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, 0), (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}, \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12}), (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}, - \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12})$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) \cup (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{135}}{3})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.23621936$ nell'espressione.

$f'' (- 1.23621936) = - \frac{8 {(- 1.23621936)}^{3} (3 {(- 1.23621936)}^{4} - 5)}{{({(- 1.23621936)}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 1.23621936$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 1.23621936) = - \frac{8 {(- 1.23621936)}^{3} (3 \cdot 2.33551236 - 5)}{{({(- 1.23621936)}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $3$ per $2.33551236$ .

$f'' (- 1.23621936) = - \frac{8 {(- 1.23621936)}^{3} (7.0065371 - 5)}{{({(- 1.23621936)}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 5.2.1.3

Sottrai $5$ da $7.0065371$ .

$f'' (- 1.23621936) = - \frac{8 {(- 1.23621936)}^{3} \cdot 2.0065371}{{({(- 1.23621936)}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 5.2.1.4

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.4.1

Moltiplica $2.0065371$ per $8$ .

$f'' (- 1.23621936) = - \frac{16.05229685 {(- 1.23621936)}^{3}}{{({(- 1.23621936)}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 5.2.1.4.2

Moltiplica $16.05229685$ per ${(- 1.23621936)}^{3}$ .

$f'' (- 1.23621936) = - \frac{- 30.32660615}{{({(- 1.23621936)}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Eleva $- 1.23621936$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 1.23621936) = - \frac{- 30.32660615}{{(2.33551236 + 1)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $2.33551236$ e $1$ .

$f'' (- 1.23621936) = - \frac{- 30.32660615}{{3.33551236}^{3}}$

Passaggio 5.2.2.3

Eleva $3.33551236$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 1.23621936) = - \frac{- 30.32660615}{37.10971904}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Dividi $- 30.32660615$ per $37.10971904$ .

$f'' (- 1.23621936) = 0.81721465$

Passaggio 5.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 0.81721465$ .

$f'' (- 1.23621936) = 0.81721465$

Passaggio 5.2.4

La risposta finale è $0.81721465$ .

$0.81721465$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $- 1.23621936$ , la derivata seconda è $0.81721465$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{135}}{3})$ .

Crescente su $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{135}}{3})$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.56810968$ nell'espressione.

$f'' (- 0.56810968) = - \frac{8 {(- 0.56810968)}^{3} (3 {(- 0.56810968)}^{4} - 5)}{{({(- 0.56810968)}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 0.56810968$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 0.56810968) = - \frac{8 {(- 0.56810968)}^{3} (3 \cdot 0.1041\overline{6} - 5)}{{({(- 0.56810968)}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0.1041\overline{6}$ .

$f'' (- 0.56810968) = - \frac{8 {(- 0.56810968)}^{3} (0.3125 - 5)}{{({(- 0.56810968)}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.3

Sottrai $5$ da $0.3125$ .

$f'' (- 0.56810968) = - \frac{8 {(- 0.56810968)}^{3} \cdot - 4.6874\overline{9}}{{({(- 0.56810968)}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.4

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.4.1

Moltiplica $- 4.6874\overline{9}$ per $8$ .

$f'' (- 0.56810968) = - \frac{- 37.4\overline{9} {(- 0.56810968)}^{3}}{{({(- 0.56810968)}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.4.2

Moltiplica $- 37.4\overline{9}$ per ${(- 0.56810968)}^{3}$ .

$f'' (- 0.56810968) = - \frac{6.87587294}{{({(- 0.56810968)}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Eleva $- 0.56810968$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 0.56810968) = - \frac{6.87587294}{{(0.1041\overline{6} + 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $0.1041\overline{6}$ e $1$ .

$f'' (- 0.56810968) = - \frac{6.87587294}{{1.1041\overline{6}}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.3

Eleva $1.1041\overline{6}$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 0.56810968) = - \frac{6.87587294}{1.34618236}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Dividi $6.87587294$ per $1.34618236$ .

$f'' (- 0.56810968) = - 1 \cdot 5.10768312$

Passaggio 6.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $5.10768312$ .

$f'' (- 0.56810968) = - 5.10768312$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $- 5.10768312$ .

$- 5.10768312$

Passaggio 6.3

Per $- 0.56810968$ , la derivata seconda è $- 5.10768312$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}, 0)$ .

Decrescente su $(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}, 0)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \frac{\sqrt[4]{135}}{3})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.56810968$ nell'espressione.

$f'' (0.56810968) = - \frac{8 {(0.56810968)}^{3} (3 {(0.56810968)}^{4} - 5)}{{({(0.56810968)}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $0.56810968$ alla potenza di $4$ .

$f'' (0.56810968) = - \frac{8 \cdot ({0.56810968}^{3} (3 \cdot 0.1041\overline{6} - 5))}{{({0.56810968}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0.1041\overline{6}$ .

$f'' (0.56810968) = - \frac{8 \cdot ({0.56810968}^{3} (0.3125 - 5))}{{({0.56810968}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 7.2.1.3

Sottrai $5$ da $0.3125$ .

$f'' (0.56810968) = - \frac{8 \cdot {0.56810968}^{3} \cdot - 4.6874\overline{9}}{{({0.56810968}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 7.2.1.4

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.4.1

Moltiplica $- 4.6874\overline{9}$ per $8$ .

$f'' (0.56810968) = - \frac{- 37.4\overline{9} \cdot {0.56810968}^{3}}{{({0.56810968}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 7.2.1.4.2

Moltiplica $- 37.4\overline{9}$ per ${0.56810968}^{3}$ .

$f'' (0.56810968) = - \frac{- 6.87587294}{{({0.56810968}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Eleva $0.56810968$ alla potenza di $4$ .

$f'' (0.56810968) = - \frac{- 6.87587294}{{(0.1041\overline{6} + 1)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $0.1041\overline{6}$ e $1$ .

$f'' (0.56810968) = - \frac{- 6.87587294}{{1.1041\overline{6}}^{3}}$

Passaggio 7.2.2.3

Eleva $1.1041\overline{6}$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0.56810968) = - \frac{- 6.87587294}{1.34618236}$

Passaggio 7.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Dividi $- 6.87587294$ per $1.34618236$ .

$f'' (0.56810968) = 5.10768312$

Passaggio 7.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 5.10768312$ .

$f'' (0.56810968) = 5.10768312$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $5.10768312$ .

$5.10768312$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $0.56810968$ , la derivata seconda è $5.10768312$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(0, \frac{\sqrt[4]{135}}{3})$ .

Crescente su $(0, \frac{\sqrt[4]{135}}{3})$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{\sqrt[4]{135}}{3}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.23621936$ nell'espressione.

$f'' (1.23621936) = - \frac{8 {(1.23621936)}^{3} (3 {(1.23621936)}^{4} - 5)}{{({(1.23621936)}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $1.23621936$ alla potenza di $4$ .

$f'' (1.23621936) = - \frac{8 \cdot ({1.23621936}^{3} (3 \cdot 2.33551236 - 5))}{{({1.23621936}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $3$ per $2.33551236$ .

$f'' (1.23621936) = - \frac{8 \cdot ({1.23621936}^{3} (7.0065371 - 5))}{{({1.23621936}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.2.1.3

Sottrai $5$ da $7.0065371$ .

$f'' (1.23621936) = - \frac{8 \cdot {1.23621936}^{3} \cdot 2.0065371}{{({1.23621936}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.2.1.4

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.4.1

Moltiplica $2.0065371$ per $8$ .

$f'' (1.23621936) = - \frac{16.05229685 \cdot {1.23621936}^{3}}{{({1.23621936}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.2.1.4.2

Moltiplica $16.05229685$ per ${1.23621936}^{3}$ .

$f'' (1.23621936) = - \frac{30.32660615}{{({1.23621936}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Eleva $1.23621936$ alla potenza di $4$ .

$f'' (1.23621936) = - \frac{30.32660615}{{(2.33551236 + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.2.2.2

Somma $2.33551236$ e $1$ .

$f'' (1.23621936) = - \frac{30.32660615}{{3.33551236}^{3}}$

Passaggio 8.2.2.3

Eleva $3.33551236$ alla potenza di $3$ .

$f'' (1.23621936) = - \frac{30.32660615}{37.10971904}$

Passaggio 8.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Dividi $30.32660615$ per $37.10971904$ .

$f'' (1.23621936) = - 1 \cdot 0.81721465$

Passaggio 8.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $0.81721465$ .

$f'' (1.23621936) = - 0.81721465$

Passaggio 8.2.4

La risposta finale è $- 0.81721465$ .

$- 0.81721465$

Passaggio 8.3

Per $1.23621936$ , la derivata seconda è $- 0.81721465$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(\frac{\sqrt[4]{135}}{3}, \infty)$ .

Decrescente su $(\frac{\sqrt[4]{135}}{3}, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 9

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}, - \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12}), (0, 0), (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}, \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12})$ .

$(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}, - \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12}), (0, 0), (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}, \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12})$

Passaggio 10