Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 1}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 1}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{4} + 1$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{4} + 1$ .

$2 \frac{3 \cdot (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.1

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.6.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $x^{3}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Sposta $x^{3}$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.3

Somma $3$ e $3$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.5

$2$ e $\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 ((3 x^{4} + 3 \cdot 1) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (3 x^{4} x^{2}) + 2 (3 \cdot 1 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.4.1.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.4.1.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{2 (3 (x^{2} x^{4})) + 2 (3 \cdot 1 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.4.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 (3 x^{2 + 4}) + 2 (3 \cdot 1 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.4.1.1.3

Somma $2$ e $4$ .

$\frac{2 (3 x^{6}) + 2 (3 \cdot 1 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.4.1.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6 x^{6} + 2 (3 \cdot 1 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.4.1.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{6 x^{6} + 2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.4.1.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6 x^{6} + 6 x^{2} + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.4.1.5

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$\frac{6 x^{6} + 6 x^{2} - 8 x^{6}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.4.2

Sottrai $8 x^{6}$ da $6 x^{6}$ .

$\frac{- 2 x^{6} + 6 x^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.5

Scomponi $2 x^{2}$ da $- 2 x^{6} + 6 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.5.1

Scomponi $2 x^{2}$ da $- 2 x^{6}$ .

$\frac{2 x^{2} (- x^{4}) + 6 x^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.5.2

Scomponi $2 x^{2}$ da $6 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} (- x^{4}) + 2 x^{2} (3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.5.3

Scomponi $2 x^{2}$ da $2 x^{2} (- x^{4}) + 2 x^{2} (3)$ .

$\frac{2 x^{2} (- x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.6

Scomponi $- 1$ da $- x^{4}$ .

$\frac{2 x^{2} (- (x^{4}) + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.7

Riscrivi $3$ come $- 1 (- 3)$ .

$\frac{2 x^{2} (- (x^{4}) - 1 (- 3))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.8

Scomponi $- 1$ da $- (x^{4}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{2 x^{2} (- (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.9

Riscrivi $- (x^{4} - 3)$ come $- 1 (x^{4} - 3)$ .

$\frac{2 x^{2} (- 1 (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{(2 x^{2}) (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2 x^{2} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}]$

Passaggio 1.2.2

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} (x^{4} - 3)] - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{({(x^{4} + 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{4} + 1)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} (x^{4} - 3)] - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 1.2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} (x^{4} - 3)] - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{4} - 3$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3] + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.3

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{2} (4 x^{3} + 0) + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.5.4

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{2} (4 x^{3}) + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.6

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Sposta $x^{3}$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{3} x^{2} \cdot 4 + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.6.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{3 + 2} \cdot 4 + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.6.3

Somma $3$ e $2$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{5} \cdot 4 + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.7

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Sposta $4$ alla sinistra di $x^{5}$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 \cdot x^{5} + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.7.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + (x^{4} - 3) (2 x)) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.7.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{4} - 3$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 \cdot (x^{4} - 3) x) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.8

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{4} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{4} + 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.8.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - x^{2} (x^{4} - 3) (2 u \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{4} + 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - x^{2} (x^{4} - 3) (2 (x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.9

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.9.2

Scomponi $x^{4} + 1$ da ${(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.2.1

Scomponi $x^{4} + 1$ da ${(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x)$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x)) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.9.2.2

Scomponi $x^{4} + 1$ da $- 2 x^{2} (x^{4} - 3) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x)) + (x^{4} + 1) (- 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.9.2.3

Scomponi $x^{4} + 1$ da $(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x)) + (x^{4} + 1) (- 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Passaggio 1.2.10

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.10.1

Scomponi $x^{4} + 1$ da ${(x^{4} + 1)}^{4}$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.10.2

Elimina il fattore comune.

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.10.3

Riscrivi l'espressione.

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.11

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.13

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.14

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.14.1

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.14.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{2} (x^{4} - 3) x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.15

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.15.1

Sposta $x^{3}$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 (x^{3} x^{2}) (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.15.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{3 + 2} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.15.3

Somma $3$ e $2$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.16

$- 2$ e $\frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{- 2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.17

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.18.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + (2 x^{4} + 2 \cdot - 3) x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{4} x + 2 \cdot - 3 x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{4} x + 2 \cdot - 3 x) - 8 x^{5} x^{4} - 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.4

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{4} x + 2 \cdot - 3 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.18.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.18.5.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.18.5.1.1.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.18.5.1.1.1.1

Sposta $x$ .

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x \cdot x^{4}) + 2 \cdot - 3 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.5.1.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.18.5.1.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{1} x^{4}) + 2 \cdot - 3 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.5.1.1.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{1 + 4} + 2 \cdot - 3 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.5.1.1.1.3

Somma $1$ e $4$ .

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{5} + 2 \cdot - 3 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.5.1.1.2

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{5} - 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.5.1.2

Somma $4 x^{5}$ e $2 x^{5}$ .

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (6 x^{5} - 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.5.1.3

Espandi $(x^{4} + 1) (6 x^{5} - 6 x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.18.5.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{2 (x^{4} (6 x^{5} - 6 x) + 1 (6 x^{5} - 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.5.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{2 (x^{4} (6 x^{5}) + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5} - 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.5.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{2 (x^{4} (6 x^{5}) + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.5.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.18.5.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.18.5.1.4.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \frac{2 (6 x^{4} x^{5} + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.5.1.4.1.2

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{5}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.18.5.1.4.1.2.1

Sposta $x^{5}$ .

$- \frac{2 (6 (x^{5} x^{4}) + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.5.1.4.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{2 (6 x^{5 + 4} + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.5.1.4.1.2.3

Somma $5$ e $4$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.5.1.4.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x^{4} x + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.5.1.4.1.4

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.18.5.1.4.1.4.1

Sposta $x$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 (x \cdot x^{4}) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.5.1.4.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.18.5.1.4.1.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 (x^{1} x^{4}) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.5.1.4.1.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x^{1 + 4} + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.5.1.4.1.4.3

Somma $1$ e $4$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x^{5} + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.5.1.4.1.5

Moltiplica $6 x^{5}$ per $1$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x^{5} + 6 x^{5} + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.5.1.4.1.6

Moltiplica $- 6 x$ per $1$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x^{5} + 6 x^{5} - 6 x) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.5.1.4.2

Somma $- 6 x^{5}$ e $6 x^{5}$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} + 0 - 6 x) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.5.1.4.3

Somma $6 x^{9}$ e $0$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.5.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{2 (6 x^{9}) + 2 (- 6 x) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.5.1.6

Moltiplica $6$ per $2$ .

$- \frac{12 x^{9} + 2 (- 6 x) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.5.1.7

Moltiplica $- 6$ per $2$ .

$- \frac{12 x^{9} - 12 x + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.5.1.8

Moltiplica $x^{5}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.18.5.1.8.1

Sposta $x^{4}$ .

$- \frac{12 x^{9} - 12 x + 2 (- 8 (x^{4} x^{5})) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.5.1.8.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{12 x^{9} - 12 x + 2 (- 8 x^{4 + 5}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.5.1.8.3

Somma $4$ e $5$ .

$- \frac{12 x^{9} - 12 x + 2 (- 8 x^{9}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.5.1.9

Moltiplica $- 8$ per $2$ .

$- \frac{12 x^{9} - 12 x - 16 x^{9} + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.5.1.10

Moltiplica $- 3$ per $- 8$ .

$- \frac{12 x^{9} - 12 x - 16 x^{9} + 2 (24 x^{5})}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.5.1.11

Moltiplica $24$ per $2$ .

$- \frac{12 x^{9} - 12 x - 16 x^{9} + 48 x^{5}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.5.2

Sottrai $16 x^{9}$ da $12 x^{9}$ .

$- \frac{- 4 x^{9} - 12 x + 48 x^{5}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.18.6.1

Scomponi $4 x$ da $- 4 x^{9} - 12 x + 48 x^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.18.6.1.1

Scomponi $4 x$ da $- 4 x^{9}$ .

$- \frac{4 x (- x^{8}) - 12 x + 48 x^{5}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.6.1.2

Scomponi $4 x$ da $- 12 x$ .

$- \frac{4 x (- x^{8}) + 4 x (- 3) + 48 x^{5}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.6.1.3

Scomponi $4 x$ da $48 x^{5}$ .

$- \frac{4 x (- x^{8}) + 4 x (- 3) + 4 x (12 x^{4})}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.6.1.4

Scomponi $4 x$ da $4 x (- x^{8}) + 4 x (- 3)$ .

$- \frac{4 x (- x^{8} - 3) + 4 x (12 x^{4})}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.6.1.5

Scomponi $4 x$ da $4 x (- x^{8} - 3) + 4 x (12 x^{4})$ .

$- \frac{4 x (- x^{8} - 3 + 12 x^{4})}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.6.2

Riordina i termini.

$- \frac{4 x (- x^{8} + 12 x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.7

Scomponi $- 1$ da $- x^{8}$ .

$- \frac{4 x (- (x^{8}) + 12 x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.8

Scomponi $- 1$ da $12 x^{4}$ .

$- \frac{4 x (- (x^{8}) - (- 12 x^{4}) - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.9

Scomponi $- 1$ da $- (x^{8}) - (- 12 x^{4})$ .

$- \frac{4 x (- (x^{8} - 12 x^{4}) - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.10

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$- \frac{4 x (- (x^{8} - 12 x^{4}) - 1 (3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.11

Scomponi $- 1$ da $- (x^{8} - 12 x^{4}) - 1 (3)$ .

$- \frac{4 x (- (x^{8} - 12 x^{4} + 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.12

Riscrivi $- (x^{8} - 12 x^{4} + 3)$ come $- 1 (x^{8} - 12 x^{4} + 3)$ .

$- \frac{4 x (- 1 (x^{8} - 12 x^{4} + 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{(4 x) (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.14

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{(4 x) (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.15

Moltiplica $\frac{(4 x) (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$ per $1$ .

$\frac{(4 x) (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2.18.16

Riordina i fattori in $\frac{(4 x) (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{4 x (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{4 x (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{4 x (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{4 x (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}} = 0$

Passaggio 2.2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x \approx - 1.85122502, - 0.7109206, 0, 0.7109206, 1.85122502$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $- 1.85122502$ in $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.85122502$ nell'espressione.

$f (- 1.85122502) = \frac{2 {(- 1.85122502)}^{3}}{{(- 1.85122502)}^{4} + 1}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Eleva $- 1.85122502$ alla potenza di $3$ .

$f (- 1.85122502) = \frac{2 \cdot - 6.34421126}{{(- 1.85122502)}^{4} + 1}$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Eleva $- 1.85122502$ alla potenza di $4$ .

$f (- 1.85122502) = \frac{2 \cdot - 6.34421126}{11.74456266 + 1}$

Passaggio 3.1.2.2.2

Somma $11.74456266$ e $1$ .

$f (- 1.85122502) = \frac{2 \cdot - 6.34421126}{12.74456266}$

Passaggio 3.1.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1

Moltiplica $2$ per $- 6.34421126$ .

$f (- 1.85122502) = \frac{- 12.68842253}{12.74456266}$

Passaggio 3.1.2.3.2

Dividi $- 12.68842253$ per $12.74456266$ .

$f (- 1.85122502) = - 0.99559497$

Passaggio 3.1.2.4

La risposta finale è $- 0.99559497$ .

$- 0.99559497$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $- 1.85122502$ in $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ è $(- 1.85122502, - 0.99559497)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 1.85122502, - 0.99559497)$

Passaggio 3.3

Sostituisci $- 0.7109206$ in $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.7109206$ nell'espressione.

$f (- 0.7109206) = \frac{2 {(- 0.7109206)}^{3}}{{(- 0.7109206)}^{4} + 1}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Eleva $- 0.7109206$ alla potenza di $3$ .

$f (- 0.7109206) = \frac{2 \cdot - 0.35930503}{{(- 0.7109206)}^{4} + 1}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Eleva $- 0.7109206$ alla potenza di $4$ .

$f (- 0.7109206) = \frac{2 \cdot - 0.35930503}{0.25543735 + 1}$

Passaggio 3.3.2.2.2

Somma $0.25543735$ e $1$ .

$f (- 0.7109206) = \frac{2 \cdot - 0.35930503}{1.25543735}$

Passaggio 3.3.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Moltiplica $2$ per $- 0.35930503$ .

$f (- 0.7109206) = \frac{- 0.71861007}{1.25543735}$

Passaggio 3.3.2.3.2

Dividi $- 0.71861007$ per $1.25543735$ .

$f (- 0.7109206) = - 0.57239819$

Passaggio 3.3.2.4

La risposta finale è $- 0.57239819$ .

$- 0.57239819$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $- 0.7109206$ in $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ è $(- 0.7109206, - 0.57239819)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 0.7109206, - 0.57239819)$

Passaggio 3.5

Sostituisci $0$ in $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{3}}{{(0)}^{4} + 1}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{0^{4} + 1}$

Passaggio 3.5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{0 + 1}$

Passaggio 3.5.2.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{1}$

Passaggio 3.5.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f (0) = \frac{0}{1}$

Passaggio 3.5.2.3.2

Dividi $0$ per $1$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 3.5.2.4

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 3.6

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ è $(0, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 0)$

Passaggio 3.7

Sostituisci $0.7109206$ in $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.7109206$ nell'espressione.

$f (0.7109206) = \frac{2 {(0.7109206)}^{3}}{{(0.7109206)}^{4} + 1}$

Passaggio 3.7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1

Eleva $0.7109206$ alla potenza di $3$ .

$f (0.7109206) = \frac{2 \cdot 0.35930503}{{0.7109206}^{4} + 1}$

Passaggio 3.7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.2.1

Eleva $0.7109206$ alla potenza di $4$ .

$f (0.7109206) = \frac{2 \cdot 0.35930503}{0.25543735 + 1}$

Passaggio 3.7.2.2.2

Somma $0.25543735$ e $1$ .

$f (0.7109206) = \frac{2 \cdot 0.35930503}{1.25543735}$

Passaggio 3.7.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.3.1

Moltiplica $2$ per $0.35930503$ .

$f (0.7109206) = \frac{0.71861007}{1.25543735}$

Passaggio 3.7.2.3.2

Dividi $0.71861007$ per $1.25543735$ .

$f (0.7109206) = 0.57239819$

Passaggio 3.7.2.4

La risposta finale è $0.57239819$ .

$0.57239819$

Passaggio 3.8

Il punto trovato sostituendo $0.7109206$ in $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ è $(0.7109206, 0.57239819)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0.7109206, 0.57239819)$

Passaggio 3.9

Sostituisci $1.85122502$ in $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.85122502$ nell'espressione.

$f (1.85122502) = \frac{2 {(1.85122502)}^{3}}{{(1.85122502)}^{4} + 1}$

Passaggio 3.9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.1

Eleva $1.85122502$ alla potenza di $3$ .

$f (1.85122502) = \frac{2 \cdot 6.34421126}{{1.85122502}^{4} + 1}$

Passaggio 3.9.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.2.1

Eleva $1.85122502$ alla potenza di $4$ .

$f (1.85122502) = \frac{2 \cdot 6.34421126}{11.74456266 + 1}$

Passaggio 3.9.2.2.2

Somma $11.74456266$ e $1$ .

$f (1.85122502) = \frac{2 \cdot 6.34421126}{12.74456266}$

Passaggio 3.9.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.1

Moltiplica $2$ per $6.34421126$ .

$f (1.85122502) = \frac{12.68842253}{12.74456266}$

Passaggio 3.9.2.3.2

Dividi $12.68842253$ per $12.74456266$ .

$f (1.85122502) = 0.99559497$

Passaggio 3.9.2.4

La risposta finale è $0.99559497$ .

$0.99559497$

Passaggio 3.10

Il punto trovato sostituendo $1.85122502$ in $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ è $(1.85122502, 0.99559497)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(1.85122502, 0.99559497)$

Passaggio 3.11

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(- 1.85122502, - 0.99559497), (- 0.7109206, - 0.57239819), (0, 0), (0.7109206, 0.57239819), (1.85122502, 0.99559497)$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 1.85122502) \cup (- 1.85122502, - 0.7109206) \cup (- 0.7109206, 0) \cup (0, 0.7109206) \cup (0.7109206, 1.85122502) \cup (1.85122502, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 1.85122502)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.95122502$ nell'espressione.

$f'' (- 1.95122502) = \frac{4 (- 1.95122502) ({(- 1.95122502)}^{8} - 12 {(- 1.95122502)}^{4} + 3)}{{({(- 1.95122502)}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica $4$ per $- 1.95122502$ .

$f'' (- 1.95122502) = \frac{- 7.80490009 ({(- 1.95122502)}^{8} - 12 {(- 1.95122502)}^{4} + 3)}{{({(- 1.95122502)}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 7.80490009$ per ${(- 1.95122502)}^{8} - 12 {(- 1.95122502)}^{4} + 3$ .

$f'' (- 1.95122502) = \frac{- 305.72871822}{{({(- 1.95122502)}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Eleva $- 1.95122502$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 1.95122502) = \frac{- 305.72871822}{{(14.49537411 + 1)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $14.49537411$ e $1$ .

$f'' (- 1.95122502) = \frac{- 305.72871822}{{15.49537411}^{3}}$

Passaggio 5.2.2.3

Eleva $15.49537411$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 1.95122502) = \frac{- 305.72871822}{3720.54188867}$

Passaggio 5.2.3

Dividi $- 305.72871822$ per $3720.54188867$ .

$f'' (- 1.95122502) = - 0.08217316$

Passaggio 5.2.4

La risposta finale è $- 0.08217316$ .

$- 0.08217316$

Passaggio 5.3

Per $- 1.95122502$ , la derivata seconda è $- 0.08217316$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - 1.85122502)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 1.85122502)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1.85122502, - 0.7109206)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.28107281$ nell'espressione.

$f'' (- 1.28107281) = \frac{4 (- 1.28107281) ({(- 1.28107281)}^{8} - 12 {(- 1.28107281)}^{4} + 3)}{{({(- 1.28107281)}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $4$ per $- 1.28107281$ .

$f'' (- 1.28107281) = \frac{- 5.12429125 ({(- 1.28107281)}^{8} - 12 {(- 1.28107281)}^{4} + 3)}{{({(- 1.28107281)}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 5.12429125$ per ${(- 1.28107281)}^{8} - 12 {(- 1.28107281)}^{4} + 3$ .

$f'' (- 1.28107281) = \frac{113.07346647}{{({(- 1.28107281)}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Eleva $- 1.28107281$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 1.28107281) = \frac{113.07346647}{{(2.6933653 + 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $2.6933653$ e $1$ .

$f'' (- 1.28107281) = \frac{113.07346647}{{3.6933653}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.3

Eleva $3.6933653$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 1.28107281) = \frac{113.07346647}{50.38100121}$

Passaggio 6.2.3

Dividi $113.07346647$ per $50.38100121$ .

$f'' (- 1.28107281) = 2.24436719$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $2.24436719$ .

$2.24436719$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $- 1.28107281$ , la derivata seconda è $2.24436719$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- 1.85122502, - 0.7109206)$ .

Crescente su $(- 1.85122502, - 0.7109206)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 0.7109206, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.3554603$ nell'espressione.

$f'' (- 0.3554603) = \frac{4 (- 0.3554603) ({(- 0.3554603)}^{8} - 12 {(- 0.3554603)}^{4} + 3)}{{({(- 0.3554603)}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Moltiplica $4$ per $- 0.3554603$ .

$f'' (- 0.3554603) = \frac{- 1.4218412 ({(- 0.3554603)}^{8} - 12 {(- 0.3554603)}^{4} + 3)}{{({(- 0.3554603)}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 1.4218412$ per ${(- 0.3554603)}^{8} - 12 {(- 0.3554603)}^{4} + 3$ .

$f'' (- 0.3554603) = \frac{- 3.9934925}{{({(- 0.3554603)}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Eleva $- 0.3554603$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 0.3554603) = \frac{- 3.9934925}{{(0.01596483 + 1)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $0.01596483$ e $1$ .

$f'' (- 0.3554603) = \frac{- 3.9934925}{{1.01596483}^{3}}$

Passaggio 7.2.2.3

Eleva $1.01596483$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 0.3554603) = \frac{- 3.9934925}{1.0486632}$

Passaggio 7.2.3

Dividi $- 3.9934925$ per $1.0486632$ .

$f'' (- 0.3554603) = - 3.80817454$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $- 3.80817454$ .

$- 3.80817454$

Passaggio 7.3

Per $- 0.3554603$ , la derivata seconda è $- 3.80817454$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- 0.7109206, 0)$ .

Decrescente su $(- 0.7109206, 0)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 0.7109206)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.3554603$ nell'espressione.

$f'' (0.3554603) = \frac{4 (0.3554603) ({(0.3554603)}^{8} - 12 {(0.3554603)}^{4} + 3)}{{({(0.3554603)}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Moltiplica $4$ per $0.3554603$ .

$f'' (0.3554603) = \frac{1.4218412 ({0.3554603}^{8} - 12 \cdot {0.3554603}^{4} + 3)}{{({0.3554603}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $1.4218412$ per ${0.3554603}^{8} - 12 \cdot {0.3554603}^{4} + 3$ .

$f'' (0.3554603) = \frac{3.9934925}{{({0.3554603}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Eleva $0.3554603$ alla potenza di $4$ .

$f'' (0.3554603) = \frac{3.9934925}{{(0.01596483 + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.2.2.2

Somma $0.01596483$ e $1$ .

$f'' (0.3554603) = \frac{3.9934925}{{1.01596483}^{3}}$

Passaggio 8.2.2.3

Eleva $1.01596483$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0.3554603) = \frac{3.9934925}{1.0486632}$

Passaggio 8.2.3

Dividi $3.9934925$ per $1.0486632$ .

$f'' (0.3554603) = 3.80817454$

Passaggio 8.2.4

La risposta finale è $3.80817454$ .

$3.80817454$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $0.3554603$ , la derivata seconda è $3.80817454$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(0, 0.7109206)$ .

Crescente su $(0, 0.7109206)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0.7109206, 1.85122502)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.28107281$ nell'espressione.

$f'' (1.28107281) = \frac{4 (1.28107281) ({(1.28107281)}^{8} - 12 {(1.28107281)}^{4} + 3)}{{({(1.28107281)}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Moltiplica $4$ per $1.28107281$ .

$f'' (1.28107281) = \frac{5.12429125 ({1.28107281}^{8} - 12 \cdot {1.28107281}^{4} + 3)}{{({1.28107281}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 9.2.1.2

Moltiplica $5.12429125$ per ${1.28107281}^{8} - 12 \cdot {1.28107281}^{4} + 3$ .

$f'' (1.28107281) = \frac{- 113.07346647}{{({1.28107281}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Eleva $1.28107281$ alla potenza di $4$ .

$f'' (1.28107281) = \frac{- 113.07346647}{{(2.6933653 + 1)}^{3}}$

Passaggio 9.2.2.2

Somma $2.6933653$ e $1$ .

$f'' (1.28107281) = \frac{- 113.07346647}{{3.6933653}^{3}}$

Passaggio 9.2.2.3

Eleva $3.6933653$ alla potenza di $3$ .

$f'' (1.28107281) = \frac{- 113.07346647}{50.38100121}$

Passaggio 9.2.3

Dividi $- 113.07346647$ per $50.38100121$ .

$f'' (1.28107281) = - 2.24436719$

Passaggio 9.2.4

La risposta finale è $- 2.24436719$ .

$- 2.24436719$

Passaggio 9.3

Per $1.28107281$ , la derivata seconda è $- 2.24436719$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(0.7109206, 1.85122502)$ .

Decrescente su $(0.7109206, 1.85122502)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 10

Sostituisci un valore dell'intervallo $(1.85122502, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.95122502$ nell'espressione.

$f'' (1.95122502) = \frac{4 (1.95122502) ({(1.95122502)}^{8} - 12 {(1.95122502)}^{4} + 3)}{{({(1.95122502)}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Moltiplica $4$ per $1.95122502$ .

$f'' (1.95122502) = \frac{7.80490009 ({1.95122502}^{8} - 12 \cdot {1.95122502}^{4} + 3)}{{({1.95122502}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.2.1.2

Moltiplica $7.80490009$ per ${1.95122502}^{8} - 12 \cdot {1.95122502}^{4} + 3$ .

$f'' (1.95122502) = \frac{305.72871822}{{({1.95122502}^{4} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Eleva $1.95122502$ alla potenza di $4$ .

$f'' (1.95122502) = \frac{305.72871822}{{(14.49537411 + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.2.2.2

Somma $14.49537411$ e $1$ .

$f'' (1.95122502) = \frac{305.72871822}{{15.49537411}^{3}}$

Passaggio 10.2.2.3

Eleva $15.49537411$ alla potenza di $3$ .

$f'' (1.95122502) = \frac{305.72871822}{3720.54188869}$

Passaggio 10.2.3

Dividi $305.72871822$ per $3720.54188869$ .

$f'' (1.95122502) = 0.08217316$

Passaggio 10.2.4

La risposta finale è $0.08217316$ .

$0.08217316$

Passaggio 10.3

In corrispondenza di $1.95122502$ , la derivata seconda è $0.08217316$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(1.85122502, \infty)$ .

Crescente su $(1.85122502, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 11

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(- 1.85122502, - 0.99559497), (- 0.7109206, - 0.57239819), (0, 0), (0.7109206, 0.57239819), (1.85122502, 0.99559497)$ .

$(- 1.85122502, - 0.99559497), (- 0.7109206, - 0.57239819), (0, 0), (0.7109206, 0.57239819), (1.85122502, 0.99559497)$

Passaggio 12