Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{2} - 5 \sqrt{x}$

Passaggio 1

Considera la formula del rapporto incrementale.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

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Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

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Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{2} - 5 \sqrt{x + h}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.2.1.1

Riscrivi ${(x + h)}^{2}$ come $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 2 ((x + h) (x + h)) - 5 \sqrt{x + h}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Espandi $(x + h) (x + h)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 2 (x (x + h) + h (x + h)) - 5 \sqrt{x + h}$

Passaggio 2.1.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + h (x + h)) - 5 \sqrt{x + h}$

Passaggio 2.1.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - 5 \sqrt{x + h}$

Passaggio 2.1.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.1.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.2.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - 5 \sqrt{x + h}$

Passaggio 2.1.2.1.3.1.2

Moltiplica $h$ per $h$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - 5 \sqrt{x + h}$

Passaggio 2.1.2.1.3.2

Somma $x h$ e $h x$ .

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Passaggio 2.1.2.1.3.2.1

Riordina $x$ e $h$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - 5 \sqrt{x + h}$

Passaggio 2.1.2.1.3.2.2

Somma $h x$ e $h x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 5 \sqrt{x + h}$

Passaggio 2.1.2.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 2 x^{2} + 2 (2 h x) + 2 h^{2} - 5 \sqrt{x + h}$

Passaggio 2.1.2.1.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 5 \sqrt{x + h}$

Passaggio 2.1.2.2

La risposta finale è $2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 5 \sqrt{x + h}$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 5 \sqrt{x + h}$

Passaggio 2.2

Riordina.

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Passaggio 2.2.1

Riordina $x$ e $h$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 5 \sqrt{h + x}$

Passaggio 2.2.2

Sposta $2 x^{2}$ .

$4 h x + 2 h^{2} + 2 x^{2} - 5 \sqrt{h + x}$

Passaggio 2.2.3

Riordina $4 h x$ e $2 h^{2}$ .

$2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 5 \sqrt{h + x}$

Passaggio 2.3

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 5 \sqrt{h + x}$

$f (x) = 2 x^{2} - 5 \sqrt{x}$

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 5 \sqrt{h + x}$

$f (x) = 2 x^{2} - 5 \sqrt{x}$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 5 \sqrt{h + x} - (2 x^{2} - 5 \sqrt{x})}{h}$

Passaggio 4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 5 \sqrt{h + x} - (2 x^{2}) - (- 5 \sqrt{x})}{h}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 5 \sqrt{h + x} - 2 x^{2} - (- 5 \sqrt{x})}{h}$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 5 \sqrt{h + x} - 2 x^{2} + 5 \sqrt{x}}{h}$

Passaggio 4.4

Sottrai $2 x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 0 - 5 \sqrt{h + x} + 5 \sqrt{x}}{h}$

Passaggio 4.5

Somma $2 h^{2}$ e $0$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 5 \sqrt{h + x} + 5 \sqrt{x}}{h}$

Passaggio 5