Calcolo Esempi

$f (x) = 4 \sqrt{4 - x^{2}}$ , $[0, 2]$

Passaggio 1

Se $f$ è continua sull'intervallo $[a, b]$ e differenziabile su $(a, b)$ , allora esiste almeno un numero reale $c$ nell'intervallo $(a, b)$ tale che $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Il teorema di Lagrange esprime la relazione tra il coefficiente angolare della tangente alla curva con $x = c$ e il coefficiente angolare della retta passante per i punti $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Quando $f (x)$ è continua su $[a, b]$

e se $f (x)$ differenziabile su $(a, b)$ ,

quindi esiste almeno un punto, $c$ in $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Passaggio 2

Verifica se $f (x) = 4 \sqrt{4 - x^{2}}$ è continua.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per determinare se la funzione è continua in $[0, 2]$ o no, trova il dominio di $f (x) = 4 \sqrt{4 - x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Imposta il radicando in $\sqrt{4 - x^{2}}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$4 - x^{2} \geq 0$

Passaggio 2.1.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x^{2} \geq - 4$

Passaggio 2.1.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} \geq - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} \geq - 4$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 2.1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 2.1.2.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 2.1.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.3.1

Dividi $- 4$ per $- 1$ .

$x^{2} \leq 4$

Passaggio 2.1.2.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati della diseguaglianza per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{4}$

Passaggio 2.1.2.4

Semplifica l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$| x | \leq \sqrt{4}$

Passaggio 2.1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.2.1

Semplifica $\sqrt{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.2.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 2.1.2.4.2.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$| x | \leq | 2 |$

Passaggio 2.1.2.4.2.1.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$| x | \leq 2$

Passaggio 2.1.2.5

Scrivi $| x | \leq 2$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$x \geq 0$

Passaggio 2.1.2.5.2

Nella parte in cui $x$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$x \leq 2$

Passaggio 2.1.2.5.3

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$x < 0$

Passaggio 2.1.2.5.4

Nella parte in cui $x$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- x \leq 2$

Passaggio 2.1.2.5.5

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} x \leq 2 & x \geq 0 \\ - x \leq 2 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 2.1.2.6

Trova l'intersezione di $x \leq 2$ e $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 2$

Passaggio 2.1.2.7

Risolvi $- x \leq 2$ dove $x < 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq 2$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2}{- 1}$

Passaggio 2.1.2.7.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{2}{- 1}$

Passaggio 2.1.2.7.1.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{2}{- 1}$

Passaggio 2.1.2.7.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1.3.1

Dividi $2$ per $- 1$ .

$x \geq - 2$

Passaggio 2.1.2.7.2

Trova l'intersezione di $x \geq - 2$ e $x < 0$ .

$- 2 \leq x < 0$

Passaggio 2.1.2.8

Trova l'unione delle soluzioni.

$- 2 \leq x \leq 2$

Passaggio 2.1.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[- 2, 2]$

Notazione intensiva:

${x | - 2 \leq x \leq 2}$

Notazione degli intervalli:

$[- 2, 2]$

Notazione intensiva:

${x | - 2 \leq x \leq 2}$

Passaggio 2.2

$f (x)$ è continua su $[0, 2]$ .

La funzione è continua.

Passaggio 3

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{4 - x^{2}}$ come ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.1.1.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 4 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 - x^{2}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Passaggio 3.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Passaggio 3.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 - x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Passaggio 3.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Passaggio 3.1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Passaggio 3.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Passaggio 3.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$4 (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Passaggio 3.1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$4 (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Passaggio 3.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Passaggio 3.1.8

$\frac{1}{2}$ e ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Passaggio 3.1.9

Sposta ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Passaggio 3.1.10

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $4$ .

$\frac{4}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Passaggio 3.1.11

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Passaggio 3.1.12

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.12.1

Scomponi $2$ da $2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Passaggio 3.1.12.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Passaggio 3.1.12.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Passaggio 3.1.13

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 3.1.14

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 3.1.15

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 3.1.16

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.1.17

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

Passaggio 3.1.18

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.18.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Passaggio 3.1.18.2

$- 2$ e $\frac{2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Passaggio 3.1.18.3

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\frac{- 4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Passaggio 3.1.18.4

$\frac{- 4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{- 4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.1.18.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4

Definisci se la derivata è continua su $(0, 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per determinare se la funzione è continua in $(0, 2)$ o no, trova il dominio di $f' (x) = - \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$- \frac{4 x}{\sqrt{{(4 - x^{2})}^{1}}}$

Passaggio 4.1.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$- \frac{4 x}{\sqrt{4 - x^{2}}}$

Passaggio 4.1.2

Imposta il radicando in $\sqrt{4 - x^{2}}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$4 - x^{2} \geq 0$

Passaggio 4.1.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x^{2} \geq - 4$

Passaggio 4.1.3.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} \geq - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} \geq - 4$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 4.1.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 4.1.3.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 4.1.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.2.3.1

Dividi $- 4$ per $- 1$ .

$x^{2} \leq 4$

Passaggio 4.1.3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati della diseguaglianza per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{4}$

Passaggio 4.1.3.4

Semplifica l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.4.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$| x | \leq \sqrt{4}$

Passaggio 4.1.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.4.2.1

Semplifica $\sqrt{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.4.2.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 4.1.3.4.2.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$| x | \leq | 2 |$

Passaggio 4.1.3.4.2.1.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$| x | \leq 2$

Passaggio 4.1.3.5

Scrivi $| x | \leq 2$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.5.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$x \geq 0$

Passaggio 4.1.3.5.2

Nella parte in cui $x$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$x \leq 2$

Passaggio 4.1.3.5.3

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$x < 0$

Passaggio 4.1.3.5.4

Nella parte in cui $x$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- x \leq 2$

Passaggio 4.1.3.5.5

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} x \leq 2 & x \geq 0 \\ - x \leq 2 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 4.1.3.6

Trova l'intersezione di $x \leq 2$ e $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 2$

Passaggio 4.1.3.7

Risolvi $- x \leq 2$ dove $x < 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.7.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.7.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq 2$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2}{- 1}$

Passaggio 4.1.3.7.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.7.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{2}{- 1}$

Passaggio 4.1.3.7.1.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{2}{- 1}$

Passaggio 4.1.3.7.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.7.1.3.1

Dividi $2$ per $- 1$ .

$x \geq - 2$

Passaggio 4.1.3.7.2

Trova l'intersezione di $x \geq - 2$ e $x < 0$ .

$- 2 \leq x < 0$

Passaggio 4.1.3.8

Trova l'unione delle soluzioni.

$- 2 \leq x \leq 2$

Passaggio 4.1.4

Imposta il denominatore in $\frac{4 x}{\sqrt{4 - x^{2}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt{4 - x^{2}} = 0$

Passaggio 4.1.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{4 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.1.5.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{4 - x^{2}}$ come ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.1.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.2.2.1

Semplifica ${({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 4.1.5.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 4.1.5.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(4 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Passaggio 4.1.5.2.2.1.2

Semplifica.

$4 - x^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.1.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 - x^{2} = 0$

Passaggio 4.1.5.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.3.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} = - 4$

Passaggio 4.1.5.3.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.3.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 4$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 4.1.5.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.3.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 4.1.5.3.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 4.1.5.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.3.2.3.1

Dividi $- 4$ per $- 1$ .

$x^{2} = 4$

Passaggio 4.1.5.3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{4}$

Passaggio 4.1.5.3.4

Semplifica $\pm \sqrt{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.3.4.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 4.1.5.3.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 2$

Passaggio 4.1.5.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2$

Passaggio 4.1.5.3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2$

Passaggio 4.1.5.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2, - 2$

Passaggio 4.1.6

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- 2, 2)$

Notazione intensiva:

${x | - 2 < x < 2}$

Notazione degli intervalli:

$(- 2, 2)$

Notazione intensiva:

${x | - 2 < x < 2}$

Passaggio 4.2

$f' (x)$ è continua su $(0, 2)$ .

La funzione è continua.

Passaggio 5

La funzione è differenziabile su $(0, 2)$ perché la derivata è continua su $(0, 2)$ .

La funzione è differenziabile.

Passaggio 6

$f (x)$ soddisfa le due condizioni del teorema del valor medio. È continua su $[0, 2]$ e differenziabile su $(0, 2)$ .

$f (x)$ è continua su $[0, 2]$ e differenziabile su $(0, 2)$ .

Passaggio 7

Calcola $f (a)$ dall'intervallo $[0, 2]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 4 \sqrt{4 - {(0)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 4 \sqrt{4 - 0}$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = 4 \sqrt{4 + 0}$

Passaggio 7.2.3

Somma $4$ e $0$ .

$f (0) = 4 \sqrt{4}$

Passaggio 7.2.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (0) = 4 \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 7.2.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (0) = 4 \cdot 2$

Passaggio 7.2.6

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f (0) = 8$

Passaggio 7.2.7

La risposta finale è $8$ .

$8$

Passaggio 8

Calcola $f (b)$ dall'intervallo $[0, 2]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = 4 \sqrt{4 - {(2)}^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = 4 \sqrt{4 - 1 \cdot 4}$

Passaggio 8.2.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f (2) = 4 \sqrt{4 - 4}$

Passaggio 8.2.3

Sottrai $4$ da $4$ .

$f (2) = 4 \sqrt{0}$

Passaggio 8.2.4

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$f (2) = 4 \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 8.2.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (2) = 4 \cdot 0$

Passaggio 8.2.6

Moltiplica $4$ per $0$ .

$f (2) = 0$

Passaggio 8.2.7

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 9

Risolvi $- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ per $x$ . $- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- (f (2) + f (0))}{- (2 + 0)}$

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica $\frac{(0) - (8)}{(2) - (0)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{0 - 8}{2 - (0)}$

Passaggio 9.1.1.2

Sottrai $8$ da $0$ .

$- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 8}{2 - (0)}$

Passaggio 9.1.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 8}{2 + 0}$

Passaggio 9.1.2.2

Somma $2$ e $0$ .

$- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 8}{2}$

Passaggio 9.1.3

Dividi $- 8$ per $2$ .

$- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = - 4$

Passaggio 9.2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x = \sqrt{2}$

Passaggio 10

C'è una tangente che si trova con $x = \sqrt{2}$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = 0$ e $b = 2$ .

C'è una tangente con $x = \sqrt{2}$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = 0$ e $b = 2$

Passaggio 11