Calcolo Esempi

$f (x) = 2 \sin (x)$ , $[0, 2 π]$

Passaggio 1

Se $f$ è continua sull'intervallo $[a, b]$ e differenziabile su $(a, b)$ , allora esiste almeno un numero reale $c$ nell'intervallo $(a, b)$ tale che $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Il teorema di Lagrange esprime la relazione tra il coefficiente angolare della tangente alla curva con $x = c$ e il coefficiente angolare della retta passante per i punti $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Quando $f (x)$ è continua su $[a, b]$

e se $f (x)$ differenziabile su $(a, b)$ ,

quindi esiste almeno un punto, $c$ in $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Passaggio 2

Verifica se $f (x) = 2 \sin (x)$ è continua.

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Passaggio 2.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 2.2

$f (x)$ è continua su $[0, 2 π]$ .

La funzione è continua.

Passaggio 3

Trova la derivata.

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Passaggio 3.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 3.1.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f' (x) = 2 \cos (x)$

Passaggio 3.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x)$

Passaggio 4

Definisci se la derivata è continua su $(0, 2 π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4.2

$f' (x)$ è continua su $(0, 2 π)$ .

La funzione è continua.

Passaggio 5

La funzione è differenziabile su $(0, 2 π)$ perché la derivata è continua su $(0, 2 π)$ .

La funzione è differenziabile.

Passaggio 6

$f (x)$ soddisfa le due condizioni del teorema del valor medio. È continua su $[0, 2 π]$ e differenziabile su $(0, 2 π)$ .

$f (x)$ è continua su $[0, 2 π]$ e differenziabile su $(0, 2 π)$ .

Passaggio 7

Calcola $f (a)$ dall'intervallo $[0, 2 π]$ .

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Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 2 \sin (0)$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 7.2.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 8

Risolvi $2 \cos (x) = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ per $x$ . $2 \cos (x) = \frac{- (f (2 π) + f (0))}{- (2 π + 0)}$

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Passaggio 8.1

Semplifica.

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Passaggio 8.1.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$2 \cos (x) = \frac{0 + 0}{2 π - (0)}$

Passaggio 8.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$2 \cos (x) = \frac{0 + 0}{2 π + 0}$

Passaggio 8.1.3

Riduci l'espressione $\frac{0 + 0}{2 π + 0}$ eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 8.1.3.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$2 \cos (x) = \frac{2 (0) + 0}{2 π + 0}$

Passaggio 8.1.3.2

Scomponi $2$ da $0$ .

$2 \cos (x) = \frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{2 π + 0}$

Passaggio 8.1.3.3

Scomponi $2$ da $2 \cdot 0 + 2 \cdot 0$ .

$2 \cos (x) = \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 π + 0}$

Passaggio 8.1.3.4

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$2 \cos (x) = \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 (π) + 0}$

Passaggio 8.1.3.5

Scomponi $2$ da $0$ .

$2 \cos (x) = \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 (π) + 2 (0)}$

Passaggio 8.1.3.6

Scomponi $2$ da $2 (π) + 2 (0)$ .

$2 \cos (x) = \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 (π + 0)}$

Passaggio 8.1.3.7

Elimina il fattore comune.

$2 \cos (x) = \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 (π + 0)}$

Passaggio 8.1.3.8

Riscrivi l'espressione.

$2 \cos (x) = \frac{0 + 0}{π + 0}$

Passaggio 8.1.4

Somma $0$ e $0$ .

$2 \cos (x) = \frac{0}{π + 0}$

Passaggio 8.1.5

Somma $π$ e $0$ .

$2 \cos (x) = \frac{0}{π}$

Passaggio 8.1.6

Dividi $0$ per $π$ .

$2 \cos (x) = 0$

Passaggio 8.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (x) = 0$ e semplifica.

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Passaggio 8.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (x) = 0$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 8.2.2.1.2

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$\cos (x) = \frac{0}{2}$

Passaggio 8.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$\cos (x) = 0$

Passaggio 8.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 8.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.4.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 8.5

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 8.6

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 8.6.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 8.6.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 8.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 8.6.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.6.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 8.6.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 8.7

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 8.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 8.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 8.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 8.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 8.8

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8.9

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9

C'è una tangente che si trova con $x = \frac{π}{2} + π n$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = 0$ e $b = 2 π$ .

C'è una tangente con $x = \frac{π}{2} + π n$ parallela alla retta che passa per i punti finali $a = 0$ e $b = 2 π$

Passaggio 10