Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{5}{6 x - 4}$ , $[2, 5]$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

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Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$\frac{5}{6 x - 4} = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi $\frac{5}{6 x - 4} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$5 = 0$

Passaggio 1.2.2

Poiché $5 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 2

Scomponi $2$ da $6 x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi $2$ da $6 x$ .

$y = \frac{5}{2 (3 x) - 4}$

Passaggio 2.2

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$y = \frac{5}{2 (3 x) + 2 (- 2)}$

Passaggio 2.3

Scomponi $2$ da $2 (3 x) + 2 (- 2)$ .

$y = \frac{5}{2 (3 x - 2)}$

Passaggio 3

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{2}^{5} \frac{5}{2 (3 x - 2)} d x - \int_{2}^{5} 0 d x$

Passaggio 4

Integra per trovare l'area tra $2$ e $5$ .

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Passaggio 4.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{2}^{5} \frac{5}{2 (3 x - 2)} - (0) d x$

Passaggio 4.2

Sottrai $0$ da $\frac{5}{2 (3 x - 2)}$ .

$\int_{2}^{5} \frac{5}{2 (3 x - 2)} d x$

Passaggio 4.3

Poiché $\frac{5}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{5}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{5}{2} \int_{2}^{5} \frac{1}{3 x - 2} d x$

Passaggio 4.4

Sia $u = 3 x - 2$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.4.1

Sia $u = 3 x - 2$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.4.1.1

Differenzia $3 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Passaggio 4.4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 4.4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Passaggio 4.4.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 4.4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 4.4.1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 4.4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 4.4.1.4.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 + 0$

Passaggio 4.4.1.4.2

Somma $3$ e $0$ .

$3$

Passaggio 4.4.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 3 x - 2$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 2 - 2$

Passaggio 4.4.3

Semplifica.

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Passaggio 4.4.3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$u_{lower} = 6 - 2$

Passaggio 4.4.3.2

Sottrai $2$ da $6$ .

$u_{lower} = 4$

Passaggio 4.4.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 3 x - 2$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 5 - 2$

Passaggio 4.4.5

Semplifica.

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Passaggio 4.4.5.1

Moltiplica $3$ per $5$ .

$u_{upper} = 15 - 2$

Passaggio 4.4.5.2

Sottrai $2$ da $15$ .

$u_{upper} = 13$

Passaggio 4.4.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 13$

Passaggio 4.4.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{5}{2} \int_{4}^{13} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Passaggio 4.5

Semplifica.

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{2} \int_{4}^{13} \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Passaggio 4.5.2

Sposta $3$ alla sinistra di $u$ .

$\frac{5}{2} \int_{4}^{13} \frac{1}{3 u} d u$

Passaggio 4.6

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{5}{2} (\frac{1}{3} \int_{4}^{13} \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 4.7

Semplifica.

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Passaggio 4.7.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{3 \cdot 2} \int_{4}^{13} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.7.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{5}{6} \int_{4}^{13} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.8

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{5}{6} \ln (| u |)]_{4}^{13}$

Passaggio 4.9

Calcola $\ln (| u |)$ per $13$ e per $4$ .

$\frac{5}{6} (\ln (| 13 |) - \ln (| 4 |))$

Passaggio 4.10

Semplifica.

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Passaggio 4.10.1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{5}{6} \ln (\frac{| 13 |}{| 4 |})$

Passaggio 4.10.2

$\frac{5}{6}$ e $\ln (\frac{| 13 |}{| 4 |})$ .

$\frac{5 \ln (\frac{| 13 |}{| 4 |})}{6}$

Passaggio 4.11

Semplifica.

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Passaggio 4.11.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $13$ è $13$ .

$\frac{5 \ln (\frac{13}{| 4 |})}{6}$

Passaggio 4.11.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $4$ è $4$ .

$\frac{5 \ln (\frac{13}{4})}{6}$

Passaggio 5

Somma le aree $\frac{5 \ln (\frac{13}{4})}{6}$ .

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Passaggio 5.1

Semplifica $5 \ln (\frac{13}{4})$ spostando $5$ all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln ({(\frac{13}{4})}^{5})}{6}$

Passaggio 5.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{13}{4}$ .

$\frac{\ln (\frac{13^{5}}{4^{5}})}{6}$

Passaggio 5.2.2

Eleva $13$ alla potenza di $5$ .

$\frac{\ln (\frac{371293}{4^{5}})}{6}$

Passaggio 5.2.3

Eleva $4$ alla potenza di $5$ .

$\frac{\ln (\frac{371293}{1024})}{6}$

Passaggio 5.3

Riscrivi $\frac{\ln (\frac{371293}{1024})}{6}$ come $\frac{1}{6} \ln (\frac{371293}{1024})$ .

$\frac{1}{6} \ln (\frac{371293}{1024})$

Passaggio 5.4

Semplifica $\frac{1}{6} \ln (\frac{371293}{1024})$ spostando $\frac{1}{6}$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({(\frac{371293}{1024})}^{\frac{1}{6}})$

Passaggio 5.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{371293}{1024}$ .

$\ln (\frac{371293^{\frac{1}{6}}}{1024^{\frac{1}{6}}})$

Passaggio 6