Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{7 x - 1}$ , $[4, 5]$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

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Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$\frac{1}{7 x - 1} = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi $\frac{1}{7 x - 1} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$1 = 0$

Passaggio 1.2.2

Poiché $1 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{4}^{5} \frac{1}{7 x - 1} d x - \int_{4}^{5} 0 d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $4$ e $5$ .

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Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{4}^{5} \frac{1}{7 x - 1} - (0) d x$

Passaggio 3.2

Sottrai $0$ da $\frac{1}{7 x - 1}$ .

$\int_{4}^{5} \frac{1}{7 x - 1} d x$

Passaggio 3.3

Sia $u = 7 x - 1$ . Allora $d u = 7 d x$ , quindi $\frac{1}{7} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.3.1

Sia $u = 7 x - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Differenzia $7 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [7 x - 1]$

Passaggio 3.3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.3.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Passaggio 3.3.1.3.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.3.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.3.1.3.3

Moltiplica $7$ per $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.3.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 3.3.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$7 + 0$

Passaggio 3.3.1.4.2

Somma $7$ e $0$ .

$7$

Passaggio 3.3.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 7 x - 1$ .

$u_{lower} = 7 \cdot 4 - 1$

Passaggio 3.3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.3.1

Moltiplica $7$ per $4$ .

$u_{lower} = 28 - 1$

Passaggio 3.3.3.2

Sottrai $1$ da $28$ .

$u_{lower} = 27$

Passaggio 3.3.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 7 x - 1$ .

$u_{upper} = 7 \cdot 5 - 1$

Passaggio 3.3.5

Semplifica.

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Passaggio 3.3.5.1

Moltiplica $7$ per $5$ .

$u_{upper} = 35 - 1$

Passaggio 3.3.5.2

Sottrai $1$ da $35$ .

$u_{upper} = 34$

Passaggio 3.3.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 27$

$u_{upper} = 34$

Passaggio 3.3.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{27}^{34} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{7} d u$

Passaggio 3.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{7}$ .

$\int_{27}^{34} \frac{1}{u \cdot 7} d u$

Passaggio 3.4.2

Sposta $7$ alla sinistra di $u$ .

$\int_{27}^{34} \frac{1}{7 u} d u$

Passaggio 3.5

Poiché $\frac{1}{7}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{7}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{7} \int_{27}^{34} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 3.6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{7} \ln (| u |)]_{27}^{34}$

Passaggio 3.7

Calcola $\ln (| u |)$ per $34$ e per $27$ .

$\frac{1}{7} (\ln (| 34 |) - \ln (| 27 |))$

Passaggio 3.8

Semplifica.

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Passaggio 3.8.1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{7} \ln (\frac{| 34 |}{| 27 |})$

Passaggio 3.8.2

$\frac{1}{7}$ e $\ln (\frac{| 34 |}{| 27 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 34 |}{| 27 |})}{7}$

Passaggio 3.9

Semplifica.

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Passaggio 3.9.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $34$ è $34$ .

$\frac{\ln (\frac{34}{| 27 |})}{7}$

Passaggio 3.9.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $27$ è $27$ .

$\frac{\ln (\frac{34}{27})}{7}$

Passaggio 4

Somma le aree $\frac{\ln (\frac{34}{27})}{7}$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi $\frac{\ln (\frac{34}{27})}{7}$ come $\frac{1}{7} \ln (\frac{34}{27})$ .

$\frac{1}{7} \ln (\frac{34}{27})$

Passaggio 4.2

Semplifica $\frac{1}{7} \ln (\frac{34}{27})$ spostando $\frac{1}{7}$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({(\frac{34}{27})}^{\frac{1}{7}})$

Passaggio 4.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{34}{27}$ .

$\ln (\frac{34^{\frac{1}{7}}}{27^{\frac{1}{7}}})$

Passaggio 5