Calcolo Esempi

$48 (x^{2} + y^{2}) = 625 x y^{2}$ ; $(3, 4)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (48 (x^{2} + y^{2})) = \frac{d}{d x} (625 x y^{2})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Poiché $48$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $48 (x^{2} + y^{2})$ rispetto a $x$ è $48 \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$ .

$48 \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$48 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$48 (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$48 (2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$48 (2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$48 (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$48 (2 x + 2 y y')$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$48 (2 x) + 48 (2 y y')$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Moltiplica $2$ per $48$ .

$96 x + 48 (2 y y')$

Passaggio 2.4.2.2

Moltiplica $2$ per $48$ .

$96 x + 96 y y'$

Passaggio 2.4.3

Riordina i termini.

$96 y y' + 96 x$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $625$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $625 x y^{2}$ rispetto a $x$ è $625 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$625 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y^{2}$ .

$625 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$625 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$625 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$625 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$625 (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.5

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$625 (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$625 (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Passaggio 3.7

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$625 (2 x y y' + y^{2})$

Passaggio 3.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$625 (2 x y y') + 625 y^{2}$

Passaggio 3.8.2

Moltiplica $2$ per $625$ .

$1250 x y y' + 625 y^{2}$

Passaggio 3.8.3

Riordina i termini.

$625 y^{2} + 1250 x y y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$96 y y' + 96 x = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sottrai $1250 x y y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$96 y y' + 96 x - 1250 x y y' = 625 y^{2}$

Passaggio 5.2

Sottrai $96 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$96 y y' - 1250 x y y' = 625 y^{2} - 96 x$

Passaggio 5.3

Scomponi $2 y y'$ da $96 y y' - 1250 x y y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi $2 y y'$ da $96 y y'$ .

$2 y y' \cdot 48 - 1250 x y y' = 625 y^{2} - 96 x$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $2 y y'$ da $- 1250 x y y'$ .

$2 y y' \cdot 48 + 2 y y' (- 625 x) = 625 y^{2} - 96 x$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $2 y y'$ da $2 y y' \cdot 48 + 2 y y' (- 625 x)$ .

$2 y y' (48 - 625 x) = 625 y^{2} - 96 x$

Passaggio 5.4

Dividi per $2 y (48 - 625 x)$ ciascun termine in $2 y y' (48 - 625 x) = 625 y^{2} - 96 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Dividi per $2 y (48 - 625 x)$ ciascun termine in $2 y y' (48 - 625 x) = 625 y^{2} - 96 x$ .

$\frac{2 y y' (48 - 625 x)}{2 y (48 - 625 x)} = \frac{625 y^{2}}{2 y (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y y' (48 - 625 x)}{2 y (48 - 625 x)} = \frac{625 y^{2}}{2 y (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y' (48 - 625 x)}{y (48 - 625 x)} = \frac{625 y^{2}}{2 y (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y' (48 - 625 x)}{y (48 - 625 x)} = \frac{625 y^{2}}{2 y (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (48 - 625 x)}{48 - 625 x} = \frac{625 y^{2}}{2 y (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Passaggio 5.4.2.3

Elimina il fattore comune di $48 - 625 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (48 - 625 x)}{48 - 625 x} = \frac{625 y^{2}}{2 y (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Passaggio 5.4.2.3.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{625 y^{2}}{2 y (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1.1

Scomponi $y$ da $625 y^{2}$ .

$y' = \frac{y (625 y)}{2 y (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1.2.1

Scomponi $y$ da $2 y (48 - 625 x)$ .

$y' = \frac{y (625 y)}{y (2 (48 - 625 x))} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{y (625 y)}{y (2 (48 - 625 x))} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{625 y}{2 (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Passaggio 5.4.3.1.2

Elimina il fattore comune di $- 96$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $- 96 x$ .

$y' = \frac{625 y}{2 (48 - 625 x)} + \frac{2 (- 48 x)}{2 y (48 - 625 x)}$

Passaggio 5.4.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 y (48 - 625 x)$ .

$y' = \frac{625 y}{2 (48 - 625 x)} + \frac{2 (- 48 x)}{2 (y (48 - 625 x))}$

Passaggio 5.4.3.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{625 y}{2 (48 - 625 x)} + \frac{2 (- 48 x)}{2 (y (48 - 625 x))}$

Passaggio 5.4.3.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{625 y}{2 (48 - 625 x)} + \frac{- 48 x}{y (48 - 625 x)}$

Passaggio 5.4.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{625 y}{2 (48 - 625 x)} - \frac{48 x}{y (48 - 625 x)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{625 y}{2 (48 - 625 x)} - \frac{48 x}{y (48 - 625 x)}$

Passaggio 7

Sostituisci $x$ con $3$ e $y$ con $4$ nell'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{625 (4)}{2 (48 - 625 \cdot 3)} - \frac{48 (3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Passaggio 8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica $625$ per $4$ .

$\frac{2500}{2 (48 - 625 \cdot 3)} - \frac{48 (3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Passaggio 8.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $2500$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Scomponi $2$ da $2500$ .

$\frac{2 \cdot 1250}{2 (48 - 625 \cdot 3)} - \frac{48 (3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Passaggio 8.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1250}{2 (48 - 625 \cdot 3)} - \frac{48 (3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Passaggio 8.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1250}{48 - 625 \cdot 3} - \frac{48 (3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Moltiplica $- 625$ per $3$ .

$\frac{1250}{48 - 1875} - \frac{48 (3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Passaggio 8.2.2.2

Sottrai $1875$ da $48$ .

$\frac{1250}{- 1827} - \frac{48 (3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Passaggio 8.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1250}{1827} - \frac{48 (3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Passaggio 8.2.4

Elimina il fattore comune di $48$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.4.1

Scomponi $4$ da $48 (3)$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{4 (12 \cdot 3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Passaggio 8.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1250}{1827} - \frac{4 (12 \cdot 3)}{4 (48 - 625 \cdot 3)}$

Passaggio 8.2.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1250}{1827} - \frac{12 \cdot 3}{48 - 625 \cdot 3}$

Passaggio 8.2.5

Elimina il fattore comune di $12$ e $48 - 625 \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.5.1

Riscrivi $48$ come $- 1 (- 48)$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{12 \cdot 3}{- 1 (- 48) - 625 \cdot 3}$

Passaggio 8.2.5.2

Scomponi $- 1$ da $- 625 \cdot 3$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{12 \cdot 3}{- 1 (- 48) - (625 \cdot 3)}$

Passaggio 8.2.5.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (- 48) - (625 \cdot 3)$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{12 \cdot 3}{- 1 (- 48 + 625 \cdot 3)}$

Passaggio 8.2.5.4

Riordina i termini.

$- \frac{1250}{1827} - \frac{12 \cdot 3}{- 1 (3 \cdot 625 - 48)}$

Passaggio 8.2.5.5

Scomponi $3$ da $12 \cdot 3$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{3 (4 \cdot 3)}{- 1 (3 \cdot 625 - 48)}$

Passaggio 8.2.5.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.5.6.1

Scomponi $3$ da $- 1 (3 \cdot 625 - 48)$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{3 (4 \cdot 3)}{3 (- 1 (625 - 16))}$

Passaggio 8.2.5.6.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1250}{1827} - \frac{3 (4 \cdot 3)}{3 (- 1 (625 - 16))}$

Passaggio 8.2.5.6.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1250}{1827} - \frac{4 \cdot 3}{- 1 (625 - 16)}$

Passaggio 8.2.6

Moltiplica $4$ per $3$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{12}{- 1 (625 - 16)}$

Passaggio 8.2.7

Sottrai $16$ da $625$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{12}{- 1 \cdot 609}$

Passaggio 8.2.8

Moltiplica $- 1$ per $609$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{12}{- 609}$

Passaggio 8.2.9

Elimina il fattore comune di $12$ e $- 609$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.9.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{3 (4)}{- 609}$

Passaggio 8.2.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.9.2.1

Scomponi $3$ da $- 609$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot - 203}$

Passaggio 8.2.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1250}{1827} - \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot - 203}$

Passaggio 8.2.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1250}{1827} - \frac{4}{- 203}$

Passaggio 8.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1250}{1827} - - \frac{4}{203}$

Passaggio 8.2.11

Moltiplica $- - \frac{4}{203}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.11.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{1250}{1827} + 1 (\frac{4}{203})$

Passaggio 8.2.11.2

Moltiplica $\frac{4}{203}$ per $1$ .

$- \frac{1250}{1827} + \frac{4}{203}$

Passaggio 8.3

Per scrivere $\frac{4}{203}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1250}{1827} + \frac{4}{203} \cdot \frac{9}{9}$

Passaggio 8.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $1827$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Moltiplica $\frac{4}{203}$ per $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1250}{1827} + \frac{4 \cdot 9}{203 \cdot 9}$

Passaggio 8.4.2

Moltiplica $203$ per $9$ .

$- \frac{1250}{1827} + \frac{4 \cdot 9}{1827}$

Passaggio 8.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 1250 + 4 \cdot 9}{1827}$

Passaggio 8.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1

Moltiplica $4$ per $9$ .

$\frac{- 1250 + 36}{1827}$

Passaggio 8.6.2

Somma $- 1250$ e $36$ .

$\frac{- 1214}{1827}$

Passaggio 8.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1214}{1827}$