Calcolo Esempi

$y = \frac{x}{{(x - 9)}^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x - 9)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{({(x - 9)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 9)}^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 1.1.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica ${(x - 9)}^{2}$ per $1$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 9$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 9$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 9$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} - x (2 (x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.1.4

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 1.1.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2} - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.1.4.2

Scomponi $x - 9$ da ${(x - 9)}^{2} - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])$ .

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Passaggio 1.1.4.2.1

Scomponi $x - 9$ da ${(x - 9)}^{2}$ .

$\frac{(x - 9) (x - 9) - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.1.4.2.2

Scomponi $x - 9$ da $- 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])$ .

$\frac{(x - 9) (x - 9) + (x - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{{(x - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.1.4.2.3

Scomponi $x - 9$ da $(x - 9) (x - 9) + (x - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))$ .

$\frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{{(x - 9)}^{4}}$

Passaggio 1.1.5

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.1.5.1

Scomponi $x - 9$ da ${(x - 9)}^{4}$ .

$\frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{(x - 9) {(x - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{(x - 9) {(x - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.1.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.1.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x - 9 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.1.8

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x - 9 - 2 x (1 + 0)}{{(x - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.1.9

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 1.1.9.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{x - 9 - 2 x \cdot 1}{{(x - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.1.9.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{x - 9 - 2 x}{{(x - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.1.9.3

Sottrai $2 x$ da $x$ .

$\frac{- x - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.1.10

Semplifica.

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Passaggio 1.1.10.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{- (x) - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.1.10.2

Riscrivi $- 9$ come $- 1 (9)$ .

$\frac{- (x) - 1 (9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.1.10.3

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (9)$ .

$\frac{- (x + 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.1.10.4

Riscrivi $- (x + 9)$ come $- 1 (x + 9)$ .

$\frac{- 1 (x + 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.1.10.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{x + 9}{{(x - 9)}^{3}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{x + 9}{{(x - 9)}^{3}}$ .

$- \frac{x + 9}{{(x - 9)}^{3}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{x + 9}{{(x - 9)}^{3}} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{x + 9}{{(x - 9)}^{3}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$x + 9 = 0$

Passaggio 2.3

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 9$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Imposta il denominatore in $\frac{x + 9}{{(x - 9)}^{3}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x - 9)}^{3} = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Poni $x - 9$ uguale a $0$ .

$x - 9 = 0$

Passaggio 3.2.2

Somma $9$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 9$

Passaggio 4

Risolvi $\frac{x}{{(x - 9)}^{2}}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = - 9$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $- 9$ a $x$ .

$\frac{- 9}{{((- 9) - 9)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.1.2.1.1

Sottrai $9$ da $- 9$ .

$\frac{- 9}{{(- 18)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Eleva $- 18$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 9}{324}$

Passaggio 4.1.2.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 4.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 9$ e $324$ .

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Passaggio 4.1.2.2.1.1

Scomponi $9$ da $- 9$ .

$\frac{9 (- 1)}{324}$

Passaggio 4.1.2.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1.2.1

Scomponi $9$ da $324$ .

$\frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 36}$

Passaggio 4.1.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 36}$

Passaggio 4.1.2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{36}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{36}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 9$ .

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Passaggio 4.2.1

Sostituisci $9$ a $x$ .

$\frac{9}{{((9) - 9)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.2.1

Sottrai $9$ da $9$ .

$\frac{9}{0^{2}}$

Passaggio 4.2.2.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{9}{0}$

Passaggio 4.2.2.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(- 9, - \frac{1}{36})$

Passaggio 5