Calcolo Esempi

$g (x) = - 5 \sec (x)$ , $- \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 \sec (x)$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 1.1.1.2

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$f' (x) = - 5 \sec (x) \tan (x)$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $g (x)$ rispetto a $x$ è $- 5 \sec (x) \tan (x)$ .

$- 5 \sec (x) \tan (x)$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 5 \sec (x) \tan (x) = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 5 \sec (x) \tan (x) = 0$

Passaggio 1.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\sec (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

Passaggio 1.2.3

Imposta $\sec (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.3.1

Imposta $\sec (x)$ uguale a $0$ .

$\sec (x) = 0$

Passaggio 1.2.3.2

L'intervallo della secante è $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Poiché $0$ non rientra nell'intervallo, non esiste soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 1.2.4

Imposta $\tan (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.4.1

Imposta $\tan (x)$ uguale a $0$ .

$\tan (x) = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Risolvi $\tan (x) = 0$ per $x$ .

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Passaggio 1.2.4.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (0)$

Passaggio 1.2.4.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.4.2.2.1

Il valore esatto di $\arctan (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.4.2.3

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + 0$

Passaggio 1.2.4.2.4

Somma $π$ e $0$ .

$x = π$

Passaggio 1.2.4.2.5

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

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Passaggio 1.2.4.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 1.2.4.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 1.2.4.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 1.2.4.2.5.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 1.2.4.2.6

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = π n, π + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 5 \sec (x) \tan (x) = 0$ vera.

$x = π n, π + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.2.6

Consolida le risposte.

$x = π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 1.3.1

Imposta l'argomento in $\sec (x)$ in modo che sia uguale a $\frac{π}{2} + π n$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.3.2

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.4

Risolvi $- 5 \sec (x)$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 0$ .

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Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$- 5 \sec (0)$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$- 5 \cdot 1$

Passaggio 1.4.1.2.2

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$- 5$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $π$ a $x$ .

$- 5 \sec (π)$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

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Passaggio 1.4.2.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la secante è negativa nel secondo quadrante.

$- 5 (- \sec (0))$

Passaggio 1.4.2.2.2

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$- 5 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 1.4.2.2.3

Moltiplica $- 5 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 5 \cdot - 1$

Passaggio 1.4.2.2.3.2

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$5$

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

$(0 + 2 π n, - 5), (π + 2 π n, 5)$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2

Escludi i punti che non si trovano sull'intervallo.

$(0, - 5), (π, 5)$

Passaggio 3

Usa il test della derivata seconda per determinare quale punto può essere il massimo o il minimo.

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Passaggio 3.1

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 3.1.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 \sec (x) \tan (x)$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = \tan (x)$ .

$- 5 (\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Passaggio 3.1.3

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$- 5 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $\sec (x)$ per $\sec^{2} (x)$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1.4.1

Moltiplica $\sec (x)$ per $\sec^{2} (x)$ .

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Passaggio 3.1.4.1.1

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$- 5 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Passaggio 3.1.4.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 5 ({\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Passaggio 3.1.4.2

Somma $1$ e $2$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Passaggio 3.1.5

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Passaggio 3.1.6

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x))$

Passaggio 3.1.7

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x))$

Passaggio 3.1.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 5 (\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x))$

Passaggio 3.1.9

Somma $1$ e $1$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x))$

Passaggio 3.1.10

Semplifica.

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Passaggio 3.1.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 5 \sec^{3} (x) - 5 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

Passaggio 3.1.10.2

Riordina i termini.

$- 5 \tan^{2} (x) \sec (x) - 5 \sec^{3} (x)$

Passaggio 3.2

Sostituisci $0$ a $x$ e semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$- 5 \tan^{2} (0) \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

Passaggio 3.2.2

Calcola $\tan (0)$ .

$- 5 \cdot 0^{2} \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

Passaggio 3.2.3

Eleva $0$ alla potenza di $2$ .

$- 5 \cdot 0 \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $- 5$ per $0$ .

$0 \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

Passaggio 3.2.5

Calcola $\sec (0)$ .

$0 \cdot 1 - 5 \sec^{3} (0)$

Passaggio 3.2.6

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0 - 5 \sec^{3} (0)$

Passaggio 3.2.7

Calcola $\sec (0)$ .

$0 - 5 \cdot 1^{3}$

Passaggio 3.2.8

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$0 - 5 \cdot 1$

Passaggio 3.2.9

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$0 - 5$

Passaggio 3.2.10

Sottrai $5$ da $0$ .

$- 5$

Passaggio 3.3

La funzione ha un valore massimo poiché la derivata seconda è negativa in corrispondenza di $0$ .

$0$ è un massimo locale

Passaggio 3.4

Sostituisci $π$ a $x$ e semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Sostituisci $π$ a $x$ .

$- 5 \tan^{2} (π) \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

Passaggio 3.4.2

Calcola $\tan (π)$ .

$- 5 {(0)}^{2} \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

Passaggio 3.4.3

Eleva $0$ alla potenza di $2$ .

$- 5 \cdot 0 \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica $- 5$ per $0$ .

$0 \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

Passaggio 3.4.5

Calcola $\sec (π)$ .

$0 \cdot - 1 - 5 \sec^{3} (π)$

Passaggio 3.4.6

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$0 - 5 \sec^{3} (π)$

Passaggio 3.4.7

Calcola $\sec (π)$ .

$0 - 5 {(- 1)}^{3}$

Passaggio 3.4.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$0 - 5 \cdot - 1$

Passaggio 3.4.9

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$0 + 5$

Passaggio 3.4.10

Somma $0$ e $5$ .

$5$

Passaggio 3.5

La funzione ha un valore minimo poiché la derivata seconda è positiva in corrispondenza di $π$ .

$π$ è un minimo locale

Passaggio 3.6

Elenca il punto di estremo locale

$0$ è un massimo locale

$π$ è un minimo locale

$0$ è un massimo locale

$π$ è un minimo locale

Passaggio 4

Confronta i valori $g (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $g (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $g (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(0, - 5)$

Minimo assoluto: $(π, 5)$

Passaggio 5