Calcolo Esempi

$f (x) = \sin (x) + 8$ , $0 < x < 2 π$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (x) + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.1.1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.1.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\cos (x) + 0$

Passaggio 1.1.1.3.2

Somma $\cos (x)$ e $0$ .

$f' (x) = \cos (x)$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\cos (x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Passaggio 1.2.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.4

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.5

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.5.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.5.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 1.2.5.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 1.2.5.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 1.2.6

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 1.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 1.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 1.2.6.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 1.2.7

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.2.8

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $\sin (x) + 8$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $\frac{π}{2}$ a $x$ .

$\sin (\frac{π}{2}) + 8$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$1 + 8$

Passaggio 1.4.1.2.2

Somma $1$ e $8$ .

$9$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = \frac{3 π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $\frac{3 π}{2}$ a $x$ .

$\sin (\frac{3 π}{2}) + 8$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$- \sin (\frac{π}{2}) + 8$

Passaggio 1.4.2.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- 1 \cdot 1 + 8$

Passaggio 1.4.2.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1 + 8$

Passaggio 1.4.2.2.2

Somma $- 1$ e $8$ .

$7$

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

$(\frac{π}{2} + 2 π n, 9), (\frac{3 π}{2} + 2 π n, 7)$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2

Escludi i punti che non si trovano sull'intervallo.

$(\frac{π}{2}, 9), (\frac{3 π}{2}, 7)$

Passaggio 3

Usa il test della derivata prima per determinare quale punto può essere il massimo o il minimo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Passaggio 3.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dell'intervallo $(- \infty, \frac{π}{2})$ nella derivata prima $\cos (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = \cos (0)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f' (0) = 1$

Passaggio 3.2.2.2

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 3.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $3$ , dell'intervallo $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ nella derivata prima $\cos (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = \cos (3)$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Calcola $\cos (3)$ .

$f' (3) = - 0.98999249$

Passaggio 3.3.2.2

La risposta finale è $- 0.98999249$ .

$- 0.98999249$

Passaggio 3.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $7$ , dell'intervallo $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ nella derivata prima $\cos (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $7$ nell'espressione.

$f' (7) = \cos (7)$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Calcola $\cos (7)$ .

$f' (7) = 0.75390225$

Passaggio 3.4.2.2

La risposta finale è $0.75390225$ .

$0.75390225$

Passaggio 3.5

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = \frac{π}{2}$ , allora $x = \frac{π}{2}$ è un massimo locale.

$x = \frac{π}{2}$ è un massimo locale

Passaggio 3.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = \frac{3 π}{2}$ , allora $x = \frac{3 π}{2}$ è un minimo locale.

$x = \frac{3 π}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 3.7

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \sin (x) + 8$ .

$x = \frac{π}{2}$ è un massimo locale

$x = \frac{3 π}{2}$ è un minimo locale

$x = \frac{π}{2}$ è un massimo locale

$x = \frac{3 π}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 4

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(\frac{π}{2}, 9)$

Minimo assoluto: $(\frac{3 π}{2}, 7)$

Passaggio 5