Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{x} + \ln (x)$ , $0.6 \leq x \leq 5$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{x} + \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 1.1.1.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$- x^{- 2} + \frac{1}{x}$

Passaggio 1.1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x}$

Passaggio 1.1.1.4.2

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x, x^{2}, 1$

Passaggio 1.2.2.2

Poiché $x, x^{2}, 1$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $1, 1, 1$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $x^{1}, x^{2}$ .

Passaggio 1.2.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 1.2.2.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 1.2.2.5

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 1.2.2.6

Il fattore di $x^{1}$ è $x$ stesso.

$x^{1} = x$

$x$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.2.2.7

I fattori di $x^{2}$ sono $x \cdot x$ , che corrisponde a $x$ moltiplicato per i fattori $2$ volte.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ si verifica $2$ volte.

Passaggio 1.2.2.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $x^{1}, x^{2}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$x \cdot x$

Passaggio 1.2.2.9

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2}$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica per $x^{2}$ ciascun termine in $\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$ per $x^{2}$ .

$\frac{1}{x} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 1.2.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 1.2.3.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$x - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x^{2}}$ nel numeratore.

$x + \frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x + \frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x - 1 = 0 x^{2}$

Passaggio 1.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1

Moltiplica $0$ per $x^{2}$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 1.2.4

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Imposta il denominatore in $\frac{1}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 1.3.2

Imposta il denominatore in $\frac{1}{x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} = 0$

Passaggio 1.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 1.3.3.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 1.3.3.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.4

Risolvi $\frac{1}{x} + \ln (x)$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$\frac{1}{1} + \ln (1)$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.1

Dividi $1$ per $1$ .

$1 + \ln (1)$

Passaggio 1.4.1.2.1.2

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 1.4.1.2.2

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$\frac{1}{0} + \ln (0)$

Passaggio 1.4.2.2

Il logaritmo naturale di zero è indefinito.

Indefinito

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

$(1, 1)$

Passaggio 2

Calcola agli estremi inclusi.

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Passaggio 2.1

Calcola per $x = 0.6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci $0.6$ a $x$ .

$\frac{1}{0.6} + \ln (0.6)$

Passaggio 2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Dividi $1$ per $0.6$ .

$1.\overline{6} + \ln (0.6)$

Passaggio 2.1.2.2

Somma $1.\overline{6}$ e $\ln (0.6)$ .

$1.15584104$

Passaggio 2.2

Sostituisci $5$ a $x$ .

$\frac{1}{5} + \ln (5)$

Passaggio 2.3

Elenca tutti i punti.

$(0.6, 1.15584104), (5, \frac{1}{5} + \ln (5))$

Passaggio 3

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(5, \frac{1}{5} + \ln (5))$

Minimo assoluto: $(1, 1)$

Passaggio 4