Calcolo Esempi

$f (x) = \sin (x) \cos (x) + 7$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (x) \cos (x) + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.2.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.2.4

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.2.5

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.2.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.2.7

Somma $1$ e $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.2.8

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.2.9

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.2.10

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.2.11

Somma $1$ e $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.3

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 0$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Somma $- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ e $0$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Passaggio 1.4.2

Riordina $- \sin^{2} (x)$ e $\cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Passaggio 1.4.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \cos (x)$ e $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 1.4.4

Espandi $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 1.4.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 1.4.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 1.4.5

Combina i termini opposti in $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.5.1

Riordina i fattori nei termini di $\cos (x) (- \sin (x))$ e $\sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 1.4.5.2

Somma $- \cos (x) \sin (x)$ e $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 1.4.5.3

Somma $\cos (x) \cos (x)$ e $0$ .

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 1.4.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.6.1

Moltiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.6.1.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 1.4.6.1.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 1.4.6.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 1.4.6.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Passaggio 1.4.6.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

Passaggio 1.4.6.3

Moltiplica $- \sin (x) \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.6.3.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Passaggio 1.4.6.3.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Passaggio 1.4.6.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Passaggio 1.4.6.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Passaggio 1.4.7

Applica l'identità a doppio angolo del coseno.

$\cos (2 x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$f'' (x) = - \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} x$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\cos (2 x) = 0$

Passaggio 4

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$2 x = \arccos (0)$

Passaggio 5

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Passaggio 6

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{2}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.3.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 7

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 8

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 8.1.2

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 8.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 8.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 8.1.5

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 8.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{3 π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{3 π}{2}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Passaggio 8.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Passaggio 8.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 8.2.3.2

Moltiplica $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{3 π}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 8.2.3.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 9

La soluzione dell'equazione $2 x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{π}{4}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 2 \sin (2 (\frac{π}{4}))$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$- 2 \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

Passaggio 11.1.2

Elimina il fattore comune.

$- 2 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Passaggio 11.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 2 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 11.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Passaggio 11.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2$

Passaggio 12

$x = \frac{π}{4}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{π}{4}$ è un massimo locale

Passaggio 13

Trova il valore di y quando $x = \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4}) + 7$

Passaggio 13.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4}) + 7$

Passaggio 13.2.1.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 7$

Passaggio 13.2.1.3

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

Passaggio 13.2.1.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

Passaggio 13.2.1.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

Passaggio 13.2.1.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + 7$

Passaggio 13.2.1.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} + 7$

Passaggio 13.2.1.3.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} + 7$

Passaggio 13.2.1.4

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + 7$

Passaggio 13.2.1.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + 7$

Passaggio 13.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + 7$

Passaggio 13.2.1.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + 7$

Passaggio 13.2.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2}{4} + 7$

Passaggio 13.2.1.4.5

Calcola l'esponente.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2}{4} + 7$

Passaggio 13.2.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.5.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 (1)}{4} + 7$

Passaggio 13.2.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.5.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 7$

Passaggio 13.2.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 7$

Passaggio 13.2.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} + 7$

Passaggio 13.2.2

Per scrivere $7$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} + 7 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 13.2.3

$7$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} + \frac{7 \cdot 2}{2}$

Passaggio 13.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1 + 7 \cdot 2}{2}$

Passaggio 13.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.5.1

Moltiplica $7$ per $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1 + 14}{2}$

Passaggio 13.2.5.2

Somma $1$ e $14$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{15}{2}$

Passaggio 13.2.6

La risposta finale è $\frac{15}{2}$ .

$y = \frac{15}{2}$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{3 π}{4}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 2 \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

Passaggio 15

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$- 2 \sin (2 \frac{3 π}{2 (2)})$

Passaggio 15.1.2

Elimina il fattore comune.

$- 2 \sin (2 \frac{3 π}{2 \cdot 2})$

Passaggio 15.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 15.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 15.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 15.4

Moltiplica $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 2 \cdot - 1$

Passaggio 15.4.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$2$

Passaggio 16

$x = \frac{3 π}{4}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{3 π}{4}$ è un minimo locale

Passaggio 17

Trova il valore di y quando $x = \frac{3 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3 π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4}) + 7$

Passaggio 17.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4}) + 7$

Passaggio 17.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{3 π}{4}) + 7$

Passaggio 17.2.1.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \cos (\frac{π}{4})) + 7$

Passaggio 17.2.1.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 7$

Passaggio 17.2.1.5

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1.5.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

Passaggio 17.2.1.5.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

Passaggio 17.2.1.5.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

Passaggio 17.2.1.5.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + 7$

Passaggio 17.2.1.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} + 7$

Passaggio 17.2.1.5.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} + 7$

Passaggio 17.2.1.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + 7$

Passaggio 17.2.1.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + 7$

Passaggio 17.2.1.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + 7$

Passaggio 17.2.1.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + 7$

Passaggio 17.2.1.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2}{4} + 7$

Passaggio 17.2.1.6.5

Calcola l'esponente.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2}{4} + 7$

Passaggio 17.2.1.7

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1.7.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 (1)}{4} + 7$

Passaggio 17.2.1.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1.7.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 7$

Passaggio 17.2.1.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 7$

Passaggio 17.2.1.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{1}{2} + 7$

Passaggio 17.2.2

Per scrivere $7$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{1}{2} + 7 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 17.2.3

$7$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{1}{2} + \frac{7 \cdot 2}{2}$

Passaggio 17.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 1 + 7 \cdot 2}{2}$

Passaggio 17.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.5.1

Moltiplica $7$ per $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 1 + 14}{2}$

Passaggio 17.2.5.2

Somma $- 1$ e $14$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{13}{2}$

Passaggio 17.2.6

La risposta finale è $\frac{13}{2}$ .

$y = \frac{13}{2}$

Passaggio 18

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \sin (x) \cos (x) + 7$ .

$(\frac{π}{4}, \frac{15}{2})$ è un massimo locale

$(\frac{3 π}{4}, \frac{13}{2})$ è un minimo locale

Passaggio 19