Calcolo Esempi

$y = 3 \cos (\frac{x}{2})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \cos (\frac{x}{2})$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{2}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$3 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$3 (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 (\sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Passaggio 1.3.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \sin (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

$\frac{1}{2}$ e $- 3$ .

$\frac{- 3}{2} \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3.2

$\frac{- 3}{2}$ e $\sin (\frac{x}{2})$ .

$\frac{- 3 \sin (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- \frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} \sin (\frac{x}{2})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2}))$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2}))$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot (\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2}))$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

$\cos (\frac{x}{2})$ e $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\cos (\frac{x}{2}) \cdot 3}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x}{2}$

Passaggio 2.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $\cos (\frac{x}{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \cdot \cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x}{2}$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} x$

Passaggio 2.3.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{4} \cdot \frac{d}{d x} x$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{4}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{2} = 0$

Passaggio 4

Poni il numeratore uguale a zero.

$3 \sin (\frac{x}{2}) = 0$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 \sin (\frac{x}{2}) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 \sin (\frac{x}{2}) = 0$ .

$\frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 5.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 5.1.2.1.2

Dividi $\sin (\frac{x}{2})$ per $1$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{0}{3}$

Passaggio 5.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Dividi $0$ per $3$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = 0$

Passaggio 5.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{x}{2} = \arcsin (0)$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$\frac{x}{2} = 0$

Passaggio 5.4

Poni il numeratore uguale a zero.

$x = 0$

Passaggio 5.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$\frac{x}{2} = π - 0$

Passaggio 5.6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Passaggio 5.6.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Passaggio 5.6.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 (π - 0)$

Passaggio 5.6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.1

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = 2 π$

Passaggio 5.7

La soluzione dell'equazione $\frac{x}{2} = 0$ .

$x = 0, 2 π$

Passaggio 6

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{3 \cos (\frac{0}{2})}{4}$

Passaggio 7

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$- \frac{3 \cos (\frac{2 (0)}{2})}{4}$

Passaggio 7.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{3 \cos (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{4}$

Passaggio 7.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{3 \cos (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{4}$

Passaggio 7.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{3 \cos (\frac{0}{1})}{4}$

Passaggio 7.1.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$- \frac{3 \cos (0)}{4}$

Passaggio 7.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- \frac{3 \cdot 1}{4}$

Passaggio 7.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- \frac{3}{4}$

Passaggio 8

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 9

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 3 \cos (\frac{0}{2})$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Dividi $0$ per $2$ .

$f (0) = 3 \cos (0)$

Passaggio 9.2.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (0) = 3 \cdot 1$

Passaggio 9.2.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (0) = 3$

Passaggio 9.2.4

La risposta finale è $3$ .

$y = 3$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda per $x = 2 π$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{3 \cos (\frac{2 π}{2})}{4}$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{3 \cos (\frac{2 π}{2})}{4}$

Passaggio 11.1.2

Dividi $π$ per $1$ .

$- \frac{3 \cos (π)}{4}$

Passaggio 11.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- \frac{3 (- \cos (0))}{4}$

Passaggio 11.2.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- \frac{3 (- 1 \cdot 1)}{4}$

Passaggio 11.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{3 \cdot - 1}{4}$

Passaggio 11.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- \frac{- 3}{4}$

Passaggio 11.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{3}{4}$

Passaggio 11.4

Moltiplica $- - \frac{3}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{3}{4})$

Passaggio 11.4.2

Moltiplica $\frac{3}{4}$ per $1$ .

$\frac{3}{4}$

Passaggio 12

$x = 2 π$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 2 π$ è un minimo locale

Passaggio 13

Trova il valore di y quando $x = 2 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2 π$ nell'espressione.

$f (2 π) = 3 \cos (\frac{2 π}{2})$

Passaggio 13.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (2 π) = 3 \cos (\frac{2 π}{2})$

Passaggio 13.2.1.2

Dividi $π$ per $1$ .

$f (2 π) = 3 \cos (π)$

Passaggio 13.2.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (2 π) = 3 (- \cos (0))$

Passaggio 13.2.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (2 π) = 3 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 13.2.4

Moltiplica $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (2 π) = 3 \cdot - 1$

Passaggio 13.2.4.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f (2 π) = - 3$

Passaggio 13.2.5

La risposta finale è $- 3$ .

$y = - 3$

Passaggio 14

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 3 \cos (\frac{x}{2})$ .

$(0, 3)$ è un massimo locale

$(2 π, - 3)$ è un minimo locale

Passaggio 15