Calcolo Esempi

$y = x - \cos (x)$

Passaggio 1

Scrivi $y = x - \cos (x)$ come funzione.

$f (x) = x - \cos (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$1 - - \sin (x)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 + 1 \sin (x)$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$1 + \sin (x)$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Passaggio 3.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Passaggio 3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 0 + \cos (x)$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $\cos (x)$ .

$f'' (x) = \cos (x)$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$1 + \sin (x) = 0$

Passaggio 5

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sin (x) = - 1$

Passaggio 6

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- 1)$

Passaggio 7

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.1

Il valore esatto di $\arcsin (- 1)$ è $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Passaggio 8

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Passaggio 9

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 9.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Passaggio 9.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{2}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 10

La soluzione dell'equazione $x = - \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{π}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\cos (- \frac{π}{2})$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda.

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Passaggio 12.1

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\cos (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 12.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 12.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$0$

Passaggio 13

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

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Passaggio 13.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Passaggio 13.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 4$ , dall'intervallo $(- \infty, - \frac{π}{2})$ nella derivata prima $1 + \sin (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f' (- 4) = 1 + \sin (- 4)$

Passaggio 13.2.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 13.2.2.1

Calcola $\sin (- 4)$ .

$f' (- 4) = 1 + 0.75680249$

Passaggio 13.2.2.2

Somma $1$ e $0.75680249$ .

$f' (- 4) = 1.75680249$

Passaggio 13.2.2.3

La risposta finale è $1.75680249$ .

$1.75680249$

Passaggio 13.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dall'intervallo $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ nella derivata prima $1 + \sin (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = 1 + \sin (0)$

Passaggio 13.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.2.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f' (0) = 1 + 0$

Passaggio 13.3.2.2

Somma $1$ e $0$ .

$f' (0) = 1$

Passaggio 13.3.2.3

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 13.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $7$ , dall'intervallo $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ nella derivata prima $1 + \sin (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $7$ nell'espressione.

$f' (7) = 1 + \sin (7)$

Passaggio 13.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.2.1

Calcola $\sin (7)$ .

$f' (7) = 1 + 0.65698659$

Passaggio 13.4.2.2

Somma $1$ e $0.65698659$ .

$f' (7) = 1.65698659$

Passaggio 13.4.2.3

La risposta finale è $1.65698659$ .

$1.65698659$

Passaggio 13.5

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = - \frac{π}{2}$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 13.6

Nessun massimo o minimo locale trovato per $f (x) = x - \cos (x)$ .

Nessun massimo o minimo locale

Passaggio 14