Calcolo Esempi

$y = (6 x^{4} - x + 1) (- x^{5} + 6)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 6 x^{4} - x + 1$ e $g (x) = - x^{5} + 6$ .

$(6 x^{4} - x + 1) \frac{d}{d x} [- x^{5} + 6] + (- x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [6 x^{4} - x + 1]$

Passaggio 2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{5} + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$(6 x^{4} - x + 1) (\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [6]) + (- x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [6 x^{4} - x + 1]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{5}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$(6 x^{4} - x + 1) (- \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [6]) + (- x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [6 x^{4} - x + 1]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$(6 x^{4} - x + 1) (- (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [6]) + (- x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [6 x^{4} - x + 1]$

Passaggio 3.3

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$(6 x^{4} - x + 1) (- 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [6]) + (- x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [6 x^{4} - x + 1]$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(6 x^{4} - x + 1) (- 5 x^{4} + 0) + (- x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [6 x^{4} - x + 1]$

Passaggio 4.2

Somma $- 5 x^{4}$ e $0$ .

$(6 x^{4} - x + 1) (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [6 x^{4} - x + 1]$

Passaggio 4.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{4} - x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(6 x^{4} - x + 1) (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 6) (\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 5

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

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Passaggio 5.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{4}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$(6 x^{4} - x + 1) (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 6) (6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$(6 x^{4} - x + 1) (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 6) (6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 5.3

Moltiplica $4$ per $6$ .

$(6 x^{4} - x + 1) (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 6) (24 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 6

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Passaggio 6.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(6 x^{4} - x + 1) (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 6) (24 x^{3} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 6.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(6 x^{4} - x + 1) (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 6) (24 x^{3} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 6.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(6 x^{4} - x + 1) (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 6) (24 x^{3} - 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 7.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(6 x^{4} - x + 1) (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 6) (24 x^{3} - 1 + 0)$

Passaggio 7.2

Somma $24 x^{3} - 1$ e $0$ .

$(6 x^{4} - x + 1) (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 6) (24 x^{3} - 1)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$6 x^{4} (- 5 x^{4}) - x (- 5 x^{4}) + 1 (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 6) (24 x^{3} - 1)$

Passaggio 8.2

Applica la proprietà distributiva.

$6 x^{4} (- 5 x^{4}) - x (- 5 x^{4}) + 1 (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 6) (24 x^{3}) + (- x^{5} + 6) \cdot - 1$

Passaggio 8.3

Applica la proprietà distributiva.

$6 x^{4} (- 5 x^{4}) - x (- 5 x^{4}) + 1 (- 5 x^{4}) - x^{5} (24 x^{3}) + 6 (24 x^{3}) + (- x^{5} + 6) \cdot - 1$

Passaggio 8.4

Applica la proprietà distributiva.

$6 x^{4} (- 5 x^{4}) - x (- 5 x^{4}) + 1 (- 5 x^{4}) - x^{5} (24 x^{3}) + 6 (24 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 6 \cdot - 1$

Passaggio 8.5

Raccogli i termini.

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Passaggio 8.5.1

Moltiplica $- 5$ per $6$ .

$- 30 x^{4} x^{4} - x (- 5 x^{4}) + 1 (- 5 x^{4}) - x^{5} (24 x^{3}) + 6 (24 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 6 \cdot - 1$

Passaggio 8.5.2

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 8.5.2.1

Sposta $x^{4}$ .

$- 30 (x^{4} x^{4}) - x (- 5 x^{4}) + 1 (- 5 x^{4}) - x^{5} (24 x^{3}) + 6 (24 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 6 \cdot - 1$

Passaggio 8.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 30 x^{4 + 4} - x (- 5 x^{4}) + 1 (- 5 x^{4}) - x^{5} (24 x^{3}) + 6 (24 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 6 \cdot - 1$

Passaggio 8.5.2.3

Somma $4$ e $4$ .

$- 30 x^{8} - x (- 5 x^{4}) + 1 (- 5 x^{4}) - x^{5} (24 x^{3}) + 6 (24 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 6 \cdot - 1$

Passaggio 8.5.3

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$- 30 x^{8} + 5 x \cdot x^{4} + 1 (- 5 x^{4}) - x^{5} (24 x^{3}) + 6 (24 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 6 \cdot - 1$

Passaggio 8.5.4

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 8.5.4.1

Sposta $x^{4}$ .

$- 30 x^{8} + 5 (x^{4} x) + 1 (- 5 x^{4}) - x^{5} (24 x^{3}) + 6 (24 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 6 \cdot - 1$

Passaggio 8.5.4.2

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ .

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Passaggio 8.5.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 30 x^{8} + 5 (x^{4} x^{1}) + 1 (- 5 x^{4}) - x^{5} (24 x^{3}) + 6 (24 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 6 \cdot - 1$

Passaggio 8.5.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 30 x^{8} + 5 x^{4 + 1} + 1 (- 5 x^{4}) - x^{5} (24 x^{3}) + 6 (24 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 6 \cdot - 1$

Passaggio 8.5.4.3

Somma $4$ e $1$ .

$- 30 x^{8} + 5 x^{5} + 1 (- 5 x^{4}) - x^{5} (24 x^{3}) + 6 (24 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 6 \cdot - 1$

Passaggio 8.5.5

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$- 30 x^{8} + 5 x^{5} - 5 x^{4} - x^{5} (24 x^{3}) + 6 (24 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 6 \cdot - 1$

Passaggio 8.5.6

Moltiplica $24$ per $- 1$ .

$- 30 x^{8} + 5 x^{5} - 5 x^{4} - 24 x^{5} x^{3} + 6 (24 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 6 \cdot - 1$

Passaggio 8.5.7

Moltiplica $x^{5}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 8.5.7.1

Sposta $x^{3}$ .

$- 30 x^{8} + 5 x^{5} - 5 x^{4} - 24 (x^{3} x^{5}) + 6 (24 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 6 \cdot - 1$

Passaggio 8.5.7.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 30 x^{8} + 5 x^{5} - 5 x^{4} - 24 x^{3 + 5} + 6 (24 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 6 \cdot - 1$

Passaggio 8.5.7.3

Somma $3$ e $5$ .

$- 30 x^{8} + 5 x^{5} - 5 x^{4} - 24 x^{8} + 6 (24 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 6 \cdot - 1$

Passaggio 8.5.8

Moltiplica $24$ per $6$ .

$- 30 x^{8} + 5 x^{5} - 5 x^{4} - 24 x^{8} + 144 x^{3} - x^{5} \cdot - 1 + 6 \cdot - 1$

Passaggio 8.5.9

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- 30 x^{8} + 5 x^{5} - 5 x^{4} - 24 x^{8} + 144 x^{3} + 1 x^{5} + 6 \cdot - 1$

Passaggio 8.5.10

Moltiplica $x^{5}$ per $1$ .

$- 30 x^{8} + 5 x^{5} - 5 x^{4} - 24 x^{8} + 144 x^{3} + x^{5} + 6 \cdot - 1$

Passaggio 8.5.11

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$- 30 x^{8} + 5 x^{5} - 5 x^{4} - 24 x^{8} + 144 x^{3} + x^{5} - 6$

Passaggio 8.5.12

Sottrai $24 x^{8}$ da $- 30 x^{8}$ .

$- 54 x^{8} + 5 x^{5} - 5 x^{4} + 144 x^{3} + x^{5} - 6$

Passaggio 8.5.13

Somma $5 x^{5}$ e $x^{5}$ .

$- 54 x^{8} + 6 x^{5} - 5 x^{4} + 144 x^{3} - 6$