Calcolo Esempi

$x^{2} (3 x^{3} - 1)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 3 x^{3} - 1$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 1] + (3 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{3} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x^{2} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$x^{2} (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{2} (9 x^{2} + 0) + (3 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.2

Somma $9 x^{2}$ e $0$ .

$x^{2} (9 x^{2}) + (3 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (9 x^{2}) + (3 x^{3} - 1) (2 x)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} (9 x^{2}) + 3 x^{3} (2 x) - 1 (2 x)$

Passaggio 5.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.2.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} \cdot 9 + 3 x^{3} (2 x) - 1 (2 x)$

Passaggio 5.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2 + 2} \cdot 9 + 3 x^{3} (2 x) - 1 (2 x)$

Passaggio 5.2.1.3

Somma $2$ e $2$ .

$x^{4} \cdot 9 + 3 x^{3} (2 x) - 1 (2 x)$

Passaggio 5.2.2

Sposta $9$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$9 \cdot x^{4} + 3 x^{3} (2 x) - 1 (2 x)$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$9 x^{4} + 6 x^{3} x - 1 (2 x)$

Passaggio 5.2.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$9 x^{4} + 6 (x^{1} x^{3}) - 1 (2 x)$

Passaggio 5.2.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$9 x^{4} + 6 x^{1 + 3} - 1 (2 x)$

Passaggio 5.2.6

Somma $1$ e $3$ .

$9 x^{4} + 6 x^{4} - 1 (2 x)$

Passaggio 5.2.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$9 x^{4} + 6 x^{4} - 2 x$

Passaggio 5.2.8

Somma $9 x^{4}$ e $6 x^{4}$ .

$15 x^{4} - 2 x$