Calcolo Esempi

$\frac{6 x}{2^{4 x^{2}}}$

Passaggio 1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$6 \int \frac{x}{2^{4 x^{2}}} d x$

Passaggio 2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.1

Nega l'esponente di $2^{4 x^{2}}$ e rimuovilo dal denominatore.

$6 \int x {(2^{4 x^{2}})}^{- 1} d x$

Passaggio 2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{4 x^{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int x \cdot 2^{4 x^{2} \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$6 \int x \cdot 2^{- 4 x^{2}} d x$

Passaggio 3

Sia $u = - 4 x^{2}$ . Allora $d u = - 8 x d x$ , quindi $- \frac{1}{8} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = - 4 x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $- 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Passaggio 3.1.2

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 4 (2 x)$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$- 8 x$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$6 \int 2^{u} \frac{1}{- 8} d u$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$6 \int 2^{u} (- \frac{1}{8}) d u$

Passaggio 4.2

$2^{u}$ e $\frac{1}{8}$ .

$6 \int - \frac{2^{u}}{8} d u$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$6 (- \int \frac{2^{u}}{8} d u)$

Passaggio 6

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$- 6 \int \frac{2^{u}}{8} d u$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{8}$ fuori dall'integrale.

$- 6 (\frac{1}{8} \int 2^{u} d u)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

$\frac{1}{8}$ e $- 6$ .

$\frac{- 6}{8} \int 2^{u} d u$

Passaggio 8.2

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $8$ .

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Passaggio 8.2.1

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$\frac{2 (- 3)}{8} \int 2^{u} d u$

Passaggio 8.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 8.2.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 4} \int 2^{u} d u$

Passaggio 8.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 4} \int 2^{u} d u$

Passaggio 8.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 3}{4} \int 2^{u} d u$

Passaggio 8.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{4} \int 2^{u} d u$

Passaggio 9

L'integrale di $2^{u}$ rispetto a $u$ è $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ .

$- \frac{3}{4} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Riscrivi $- \frac{3}{4} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$ come $- \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$ .

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

Passaggio 10.2

Semplifica.

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Passaggio 10.2.1

Moltiplica $\frac{1}{\ln (2)}$ per $\frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{\ln (2) \cdot 4} \cdot 2^{u} + C$

Passaggio 10.2.2

Sposta $4$ alla sinistra di $\ln (2)$ .

$- \frac{3}{4 \ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 4 x^{2}$ .

$- \frac{3}{4 \ln (2)} \cdot 2^{- 4 x^{2}} + C$